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1、物体排开液体的体积究竟等于什么摘要：根据液体体积的等积变换，用图示的方法释疑一个让人感到困惑的浮力问题。说明对柱状容器而言，不论是什么形状的物体，也不论物体是浸没于液体制止还是部分体积浸入液体，在液体没有排出容器之外的情况下，物体排开液体的体积都等于容器的截面积与液面升高高度的乘积。关键词：浮力；长方体；浸在；截面积；上升阿基米德原理说的是浸在液体中的物体所受浮力大小与物体排开液体重力间的关系，其数学表达式为。但凡涉及物体所受液体浮力大小的计算，条件改变时物体所受浮力大小变化的判断，几个物体所受液体浮力大小的比较等问题，往往需要对物体排开液体体积的大小进行定性比较或定量计算。教学中发现，对各种
2、不同情况下物体排开液体体积大小的判断问题，不仅学生有时存在疑虑，而且很多教师也存在不同的看法。例题1（2016湖南长沙中考二模，24题）.如图1甲所示，台秤上放置一个装有适量水的薄壁烧杯，杯的底面积为100cm2。如图1乙所示，将一个长方体实心物体A用弹簧测力计吊着，然后将其一半浸入烧杯的水中，杯内水没有溢出，此时弹簧测力计的示数为4.5N，台秤的示数为750g，烧杯中液面上升了1.5cm(g取10N/kg)求：（1）物体A所受的浮力；（2）物体A的密度；（3）物体放入烧杯之前烧杯对台秤的压强。这是早前某物理群一位老师给出的一道浮力题目，曾经在群内引起众多老师的关注和讨论。群内老师主要是对第一
3、个问题“物体A所受的浮力”的计算存在争议，大部分老师认为仅根据题目给出条件，无法确定物体A排开水体积的大小，当然也就无法根据阿基米德原理计算物体所受浮力的大小了；而该题目后面两个问题的求解均是建立在浮力求解的基础之上，所以，如果物体A所受水的浮力无法确定的话，那么，接下来的两个问题物体A密度的计算以及物体放入烧杯之前烧杯对台秤的压强，也将成为无法确定答案的问题了。当然，群内也有少数老师的观点是，拿容器的底面积100cm2与放入物体A之后烧杯中的水面上升的高度1.5cm的乘积，作为物体A排开水的体积，进而利用阿基米德原理可以计算出它所受的浮力，物体A所受水的浮力一旦求出，后面的两个问题也就不难解
4、决了。但持这样观点的老师无法说明这个乘积等于A排开水体积的原因，所以，群内的多数老师并不认同这一观点。我们不妨分情况讨论浸在柱状容器液体中的物体，物体排开液体的体积与容器横截面积、液面升高高度间的定量关系。1物体浸没在液体中的情形如图2所示，量筒内装有水，将一外形不规则的物体（外形不规则的物体更具一般性）投入其中，若物体不吸水，且物体密度比水大，则物体会沉入水底，易知，在这种情况下物体排开水的体积与物体体积相等，大小等于容器的横截面积与液面升高高度的乘积：当然，如果柱状容器原来装满液体（比如，开口在顶部的溢水杯装液体的状况），当物体放入液体并浸没在液体中时，被物体排开的液体将全部流淌到容器之外
5、，如图3所示。如果我们选择一个与容器横截面积相同的柱状容器来承接被物体排开的液体，则物体排开液体的体积依然等于容器的横截面积与液面“升高高度”的乘积在液体溢出之后，如果把承接液体的容器内液体高度的增量认为是原来装满液体的容器液面升高高度的话。此时依然有2物体部分体积浸在液体中的情形我们仍以更具一般性的外形不规则的物体浸在液体中的情形为例进行分析。如图4所示，将一个外形不规则的几何体，放入盛有水的柱状容器中，设容器的横截面积为S，跟原来容器中的水面相比，假设物体浸在水中之后只有部分体积在水中，稳定后水面上升，由图4可知（注：我们看到的是容器的竖向切面图，被物体“挤”出去并上升的水的体积在图4（乙
6、）中看起来是和两部分，实际上这两部分是连在一块并环绕物体一周的，不过，这并不影响问题的讨论），此时物体排开水的体积为，而（这相当于物体浸入水中时，把这部分水给“挤”到了和的位置，属于水的等积变换）故有 物体浸在液体中时，物体排开液体的体积指的是物体在液体中“占有”的体积，不是所有情况下都等于被物体“挤走”的那部分液体的体积（图3（乙）所示的情形，物体放入装满水的容器中时，相对于物体，液面没有上升，所以，被物体“挤”出去的水的体积等于物体排开水的体积）。从以上分类讨论的结果可以发现，不论物体是浸没在液体之内的状况，还是物体的部分体积浸在液体中的情形（比如物体漂浮在液面的情形），对柱状容器而言，物
7、体放入其中时，如果液体没有排出容器之外的话，物体排开液体的体积都等于容器的横截面积与液面升高高度的乘积。前面提到的一些老师对上面给出例题1题设的不同看法，是指部分老师错误的认为，当物体放入水中并漂浮时，物体排开水的体积是被物体“挤走”的水的体积，大小应该等于容器的横截面积与物体A的横截面积之差跟液面升高高度的乘积，由于题目条件只是给出了容器的横截面积，没有给出物体A的横截面积，所以，这部分老师误认为该题目条件不足，无法求解。如果说例题1给出的漂浮物体排开液体体积的判断容易让人产生误解的话，那么，下面的这个判断物体排开液体体积的问题，欺骗性会更强。例2.如图5所示，一连通器内装有水，已知该连通器
8、左右两管的横截面积分别为和，现将一个体积是8000cm3，截面形状与左管横截面形状相同，面积略小于的柱状木块慢慢投入左管内，木块漂浮时，木块与容器器壁间很薄的夹缝内有水隔离，稳定后测得右管水面上升10cm，不计夹缝内水的体积，求木块的密度（g取10N/kg）？这道题目，因为木块放入左管之后与容器间的夹缝很小，题目有“夹缝内水的体积可以忽略”的条件（这实际上是一个“陷阱”条件，即使木块与容器器壁间的距离很宽，它们之间的夹缝内水的体积不可以忽略，在其他条件不变的情况下，依然不影响问题的答案），所以，根据题目条件很容易让人产生物体投入左管后，“右管上升的体积就是物体排开水的体积”的假象，如果按这一错误思路分析，将右管横截面积100cm2与物体投入左管后，右管水面升高高度10cm的乘积1000cm3作为木块排开水的体积，进而利用阿基米德原理求出木块所受水的浮力（10N）作为漂浮在水面的木块的重力，最后计算出木块密度（这样计算出木块密度的结果为）的做法，则是一种错误的处理问题的方法。本问题中，物体排开液体的体积等于容器的横截面积（即连通器左右两管横截面积之和，大小为600cm2）与液面上升高度10cm的乘积，大小是6000cm3，利用这一数据根据阿基米德原理求出物体所受浮力作为漂浮木块的重力，计算出的木块的密度是。
