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1、水力学 第2章水静力学 主讲 马金花 2 1静水压强及其特性 2 2重力作用下静水压强的分布规律 2 3压强的计算基准和量度单位 2 4测量压强的仪器 2 5静水压强分布图 2 6作用在平面上的静水总压力 2 7作用在曲面上的静水总压力 2 8液体平衡微分方程 2 9重力和惯性力同时作用下液体的相对平衡 水静力学的主要内容 学习重点 1 静水压强的两个特性及有关基本概念 2 重力作用下静水压强基本公式和物理意义 3 静水压强的表示和计算 4 静水压强分布图和平面上的流体总压力的计算 5 压力体的构成和绘制以及曲面上静水总压力的计算 6 处于相对平衡状态的液体中压强的计算 2 1静水压强及其特性
2、 一 静水压强静水压力 是指液体内部相邻两部分之间相互作用的力或指液体对固体壁面的作用力 或静止液体对其接触面上所作用的压力 其一般用符号p表示 单位是kN或 1 平均静水压强如图2 所示它反映了受压面 A上静水压强的平均值 点压强 图2 1 二 静水压强的特性 静水压强的方垂直指向受压面或沿受压面的内法线方向这一特性可由反证法给予证明 如下图所示 p F 切向应力 作用力 法向压强 静止液体中作用于同一点各个方向的静水压强都相等 证明如下 在静止流体中任取一微元四面体 对其进行受力分析 py px pz pn 作用在ACD面上的流体静压强 作用在ABC面上的流体静压强 作用在BCD面上的静压
3、强 作用在ABD和上的静压强 图微元四面体受力分析 表面力 只有各面上的垂直压力即周围液体的静水压力 质量力 只有重力 静止 如图所示其质量为 单位质量力在各方向上的分别为X Y Z 则质量力在各方向上的分量为 以X方向为例 因为代入上式得 当四面体无限地缩小到0点时 上述方程中最后一项近于零 取极限得 即上式说明 在静止液体中 任一点静水压强的大小与作用面的方位无关 但液体中不同点上的静水压强可以不等 因此 静水压强是空间坐标的标量函数 即 2 2 2 2重力作用下静水压强的分布规律 压强由两部分组成 静水压强的基本方程 液面上的气体压强p0 高度为h的水柱产生的压强 gh 在质量力只有重力
4、的情况下 静止液体中的压强符合如下规律 静水压强的基本方程也可写成如下形式 式中c为积分常数 由边界条件确定 静水压强基本方程的适用范围是 重力场中连续 均质 不可压缩流体 若在静止液体中任取两点l和2 点1和点2压强各为p1和p2 位置坐标各为z1和z2 则可把式改写成另一表达式 即 为了进一步理解静水压强基本方程式 现在来讨论该方程的物理意义和几何意义1 物理意义式中 z的物理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位置势能 式中的表示单位重量流体的压强势能 这可说明如下 如图所示 容器离基准面z处开一个小孔 接一个顶端封闭的玻璃管 称为测压管 并把其内空气抽出 形成完全真空 p 0 在开孔处
5、流体静压强p的作用下 流体进入测压管 上升的高度h p g称为单位重量流体的压强势能 位势能和压强势能之和称为单位重量流体的总势能 所以静水压强基本方程表示在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的 这就是静止液体中的能量守恒定律 2 几何意义单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度来表示 并称为水头 式中 z具有长度单位 如图所示 z是流体质点离基准面的高度 所以z的几何意义表示为单位重量流体的位置高度或位置水头 也是长度单位 它的几何意义表示为单位重量流体的压强水头 位置水头和压强水头之和称为静水头 所以该式也表示在重力作用下静止流体中各点的静水头都相等 在实际工程中 常需计
6、算有自由液面的静止液体中任意一点的静压强 如图所示 在一密闭容器中盛有密度为 的液体 若自由液面上的压强为p0 位置坐标为z0 则在液体中位置坐标为z的任意一点A的压强p可由该式得到 即或式中h z0 z是静止流体中任意点在自由液面下的深度 上式是重力作用下流体液体方程的又一重要形式 由它可得到三个重要结论 1 在重力作用下的静止液体中 静压强随深度按线性规律变化 即随深度的增加 静压强值成正比增大 2 在静止液体中 任意一点的静压强由两部分组成 一部分是自由液面上的压强p0 另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重量 3 在静止液体中 位于同一深度 h 常数 的各点的静压强相等 即任一水
7、平面都是等压面 p0 pa 例题 已知 p0 98kN m2 h 1m 求 该点的静水压强 h 解 p pa 在容器壁面上同水深处的一点所受到的压强有多大 该点所受到的有效作用力有多大 等压面在流体中 压强相等的各点所组成的面称为等压面 1 等压面方程2 等压面特性 等压面就是等势面 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面 等压面不能相交 绝对静止流体的等压面是水平面 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面结论 同一种静止相连通的流体的等压面必是水平面 只有重力作用下 自由表面 不同流体的交界面都是等压面 一 压强的表示1 计算基准绝对压强 以完全真空时的绝对零压强 p 0
8、 为基准来计量的压强称为绝对压强 相对压强 以当地大气压强为基准来计量的压强称为相对压强 绝对压强与相对压强之间的关系可在下面导出 当自由液面上的压强是当地大气压强pa时 则液体中任一点的压强可写成因为p可以由压强表直接测得 所以又称计示压强 2 3压强的计算基准和量度单位 当流体的绝对压强低于当地大气压强时 就说该流体处于真空状态 例如水泵和风机的吸入管中 凝汽器 锅炉炉膛以及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强 这些地方的计示压强都是负值 称为真空或负压强 用符号pv表示 则为了正确区别和理解绝对压强 计示压强和真空之间的关系 可用图来说明 真空 绝对压强 计示压强 绝对压强 图绝对
9、压强 计示压强和真空之间的关系 流体静压强的量度单位主要有三种 应力单位 大气压的倍数和液注高度 为了便于换算 现将常遇到的几种压强单位及其换算系数列于表中 表压强的单位及其换算表 当地大气压强在没有特别说明情况下 一般以1个工程大气压强计 故 例题 如图已知 p0 98kN m2 h 1m 求 该点的绝对压强及相对压强 解 例2 如图已知 p0 50kN m2 h 1m 求 该点的绝对压强及相对压强 解 pa 相对压强为什么是负值 什么位置处相对压强为零 2 4测量压强的仪器 测压管U型管测压计差压计微压计 如图可测水中大于大气压的相对压强 1 测压管 2 U形管测压计 由于U形管1 2两点
10、在同一等压面上 由此可得A点的相对压强 当被测流体为气体时 由于气体的密度比较小 上式最后一项可以忽略不计 当被测流体压强较大时 常采用图所示的U形管测压计在连续静止的汞中读出 则有 例题 已知密闭水箱中的液面高度h4 60mm 测压管中的液面高度h1 100cm 形管中右端工作介质高度 如图所示 试求 形管中左端工作介质高度h3为多少 解 列1 1截面等压面方程 则 a 列2 2截面等压面方程 则 b 把式 a 代入式 b 中 0 1365 m 136 5 mm 例题图示 例题 用双 形管测压计测量两点的压强差 如图所示 已知h1 600mm h2 250mm h3 200mm h4 300
11、mm h5 500mm 1 1000 m3 2 800 m3 3 13598 m3 试确定 和 两点的压强差 解 根据等压面条件 图中1 1 2 2 3 3均为等压面 可应用流体静力学基本方程式逐步推算 P1 p2 1gh1p2 p1 3gh2p3 p2 2gh3p4 p3 3gh4pB p4 1g h5 h4 逐个将式子代入下一个式子 则pB pA 1gh1 3gh2 2gh3 3gh4 1g h5 h4 所以pA pB 1g h5 h4 3gh4 3gh2 2gh3 1gh1 9 806 1000 0 5 0 3 133400 0 3 7850 0 2 133400 0 25 9 806
12、1000 0 6 67876 Pa 例题图示 3 差压计 定义 管道上部为倒U形管式水柱差计 忽略空气密度 则计算公式为 测量两点压强差的仪器叫做压差计 如图所示 水管下部为U形管式汞差压计 它的计算公式为 4 微压计 测量较小压强或压强差的仪器叫做微压计 如图所示就是其中一种 定义 因此 根据静水压强基本方程可得 倾斜式微压计是由一根倾角可调的玻璃管 横截面面积为 和一个盛液体的小容器 横截面面积为 组成 如果斜管入口压强和容器入口压强相等 则容器内液面与斜管中的液面齐平 当和不相等时 例如 则斜管中液面将上升 容器内液面下降 由于容器内液面下降的体积与斜管中液面上升的体积相等 即有 又 整
13、理得 例2 1 如图所示为双杯双液微压计 杯内和 形管内分别装有密度 1 lOOOkg m3和密度 2 13600kg m3的两种不同液体 大截面杯的直径 100mm 形管的直径d 10mm 测得h 30mm 计算两杯内的压强差为多少 解 列1 2截面上的等压面方程由于两边密度为 1的液体容量相等 所以D2h2 d2h 代入上式得 3709 6 pa 图2 17 2 5静水压强分布图 即表示受压面上各点压强 大小和方向 分布的图形 简称静水压强图 绘制规则 按一定的比例尺 用一定长度的线段代表流体静压强的大小 用箭头表示流体静压强的方向 并与该处作用面相垂直 在水利工程中 一般只需计算相对压强
14、 所以只需绘制相对压强分布图 当流体的表面压强为时 即p与h呈线性关系 据此绘制流体静压强图 A B C 压强分布示意图 静水压强分布示意图 静水压强分布图实例 pa Pa gh 画出下列AB或ABC面上的静水压强分布图 相对压强分布图 ghB 画出下列容器左侧壁面上的压强分布图 2 6作用于平面壁上的静水总压力 图解法 解析法 适用于任意形状平面 适用于矩形平面 图解法 作用于矩形平面上的静水总压力的计算 静水压强分布图 把某一受压面上压强随水深变化的函数关系表示成图形 称为静水压强分布图 的绘制规则 1 按一定比例 用线段长度代表该点静水压强的大小 2 用箭头表示静水压强的方向 并与作用面
15、垂直 静水总压力的大小 其中b为矩形受压面的宽度 为静水压强分布图形的面积 静水总压力的方向 垂直并指向受压面 静水总压力的作用点 压力中心或压心 通过压强分布体的重心 或在矩形平面的纵对称轴上 且应通过压强分布图的形心点 举例 例题 如图所示 某挡水矩形闸门 门宽b 2m 一侧水深h1 4m 另一侧水深h2 2m 试用图解法求该闸门上所受到的静水总压力 解法一 首先分别求出两侧的水压力 然后求合力 方向向右 依力矩定理 可解得 e 1 56m 答 该闸门上所受的静水总压力大小为117 6kN 方向向右 作用点距门底1 56m处 合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和 解析法 作用于任
16、意形状平面上的静水总压力 M b L dA 其中为平面对Ob轴的面积矩 所以静水总压力的大小为 其中pc为受压面形心点的压强 A为受压面的面积 依力矩定理 其中为平面对Ob轴的面积惯性矩 记为 整理可得静水总压力的压心位置 其中Ic表示平面对于通过其形心点且与Ob轴平行的轴线的面积惯性矩 举例 例题 一垂直放置的圆形平板闸门如图所示 已知闸门半径R 1m 形心在水下的淹没深度hc 8m 试用解析法计算作用于闸门上的静水总压力 解 答 该闸门上所受静水总压力的大小为246kN 方向向右 在水面下8 03m处 例题 某泄洪隧洞 在进口倾斜设置一矩形平板闸门 如图 倾角 60 门宽b 4m 门长L 6m 门顶的淹深h1 10m 若不计闸门自重时 问 沿斜面拖动闸门所需的拉力T为多少 已知闸门与门之间摩擦系数f 0 25 门上静水总压力的作用点在哪里 解 当不计门重时 T至少需克服闸门与门之间的摩擦力 故T P f为此 需求出P 用图解法求P及其作用点 如图画出其压力分布图 则P A b 1 2 h1 h2 L b 2964KN作用点距闸门底部的斜距 h1 10 h2 10 6sin P距平面
