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1、高三数学理复数与逻辑人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：复数与逻辑二. 重点、难点：1. 复数的概念（1）虚数单位（2）复数（3）实部（4）虚部（5）虚数（6）纯虚数（7）复平面、实轴、虚轴（8）共扼复数：与 2. 复数运算 （） 3. 命题：真命题、假命题 4. 四种命题：原命题，逆命题，否命题，逆否命题。互为逆否命题的一对命题，同真同假。 5. 充分必要条件且，则称是的充分不必要条件。且，则称是的必要不充分条件。且，则称是的充要条件。且，则称是的既不充分也不必要条件 6. 逻辑联结词或（p，q中有一个真，为真）且（中有一个假，为假）非（与一真一假） 7. 全称量词（任意，所有）
2、全称命题 8. 存在量词 （存在一个，有一个）特称命题【典型例题】例1 若，求实数的值。分析：将等式左边整理成后，利用复数相等的充要条件，列出方程组，求出的值。解答：原式可以化为根据复数相等的充要条件，有，解得例2 已知关于x的方程有实根，则实数m满足（ ）A. B. C. D. 解答：设实根为，则，即 解得，故选D。例3 已知对应的点分别为P1、P2，则对应的复数为（ ）A. B. C. D. 解答：因为，对应的复数为，故选B。例4 复数的值为（ ）A. 0 B. 1 C. D. 解析：由及2010被4除余2知， 故选D。例5 已知，复数，当为何值时，（1）；（2）是纯虚数；（3）对应的点位
3、于复平面第二象限；（4）对应的点在直线上。分析：复数，当且仅当时，；当且仅当且时，为纯虚数，当时，对应的点位于复平面的第二象限；复数对应的点的坐标是直线方程的解，这个点就在这条直线上。解答：（1）由且，得，故当时，。（2）由解得，或 当或时，为纯虚数（3）由解得或故当或时，z对应的点位于复平面的第二象限。（4）由，得解得或 当或时，点z在直线上例6 计算：（1）；（2）分析：本题若按复数乘除法和乘方法则直接计算，则显得十分繁琐。若能结合题目特点，联想结论和的性质。对于（2）题并注意到，计算会简便许多。解答：（1）原式其中（2）原式例7 已知z是复数，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应
4、的点在第一象限，求实数的取值范围。解析：设，由题意得由题意得 根据条件，可知，解得 实数的取值范围是（2，6）例8 复数，复数满足，则复数z= 。答案：解析：设，则 例9 已知，且为实数，则等于（ ）A. 1 B. 2 C. 2 D. 1答案：A解析： 为实数 例10 设关于x的方程是；（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；（2）证明：对任意，方程无纯虚数根。解析：（1）设实数根是，则，即 ， ，且，又， （2）若方程存在纯虚数根，设为，则，即此方程组无实数解 对任意，方程无虚数根。例11 对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关，若要说明复数，线性相关，那么可取 。（只要写出
5、满足条件的一组值即可）解答：由得即 故填或等例12 已知：，求是的什么条件。解答：可转化为 观察上图知， 是的充分而不必要条件例13 命题甲：“成等差数列”，命题乙：“”，则甲是乙的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析： ，则也成等差数列，但推不出；反过来由，即成等差数列。综上所述，“成等差数列”是“”的必要不充分条件，故选A。例14 设是方程的两个实根，试分析且是两根均大于1的什么条件？分析：把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论分别指什么，然后再验证还是，还是。解答：据韦达定理得，判定的条件是，结论是（还
6、要注意条件中需要满足大前提）（1）由，得， （2）为了证明，可以举出反例：取，它满足，且满足，但不成立。由上述讨论可知：且是必要但不充分条件。例15 给出命题：“已知是实数，若且，则”。对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有（ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个解析：本题考查四种命题，其中原命题与逆否命题、逆命题与否命题等价，故只要判断原命题与逆命题的真假即可，可以判断出四个命题都是假命题。 选A。例16 下列判断错误的是（ ）A. 命题“若则”与命题“若则”互为逆否命题B. “”是“”的充要条件C. “矩形的两条对角线相等”的否定为假D. 命题“或”为真（其中为
7、空集）解析：由，但。故选B。例17 已知，求证：的充要条件是。证明：先证必要性。 ，即 再证充分性 ，即 由，即且 ，只有综上可知，当时，的充要条件是例18 设是简单命题，则“且为假”是“或为假”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解答：由“p且q为假”知p、q中至少有一个为假即可，而“p或q为假”则p，q都为假，由此可推断“p且q为假”是“p或q为假”的必要不充分条件，故选A。例19 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：（1）p是r的什么条件？（2）s是q的什么条件？（3）p、q、r、s中哪几对互
8、为充要条件？解析：作出“”图，如图可知：（1），且能否推出未知， 是r的充分条件。（2） ， s是q的充要条件。（3）共有三对充要条件，；例20 已知。设命题P：函数为减函数。命题Q：当时，函数恒成立，如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，求的取值范围。解析：由为减函数得当时，因为，故函数在上为减函数，在上为增函数。 在上的最小值为当时，由函数恒成立，得，解得如果P真，且Q假，则如果P假，且Q真，则所以的取值范围为例21 如果不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或 D. 或答案：B解析：由题意知则有，解得，故选B。例22 已知命题p：对，不等式恒成立；命题：不
9、等式有解。若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围。解：p：恒成立 q： ： 例23 已知：，：，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围。解：是的充不必是的充不必： ： 显然成立 综上所述，【模拟试题】1. 已知复数满足，则等于（ ） A. 0 B. C. 6 D. 2. 等于（ ） A. B. C. 2 D. 23. 等于（ ） A. B. C. D. 4. “复数为纯虚数”是“”的什么条件（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限6. 化
10、简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则是为纯虚数的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件8. 等于（ ） A. B. C. D. 9. 若复数是纯虚数，则实数m的值是（ ） A. 1或2 B. 或2 C. D. 210. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 定义运算，则符合条件的复数为（ ） A. B. C. D. 12. 设C=复数，A=实数，B=纯虚数，全集U=C，那么下面结论正确的是（ ） A. AB=C B. CUA=B C. ACUB= D. BCUB=C13. 集合，包含的S的子集共有（ ） A.
11、 2个 B. 3个 C. 5个 D. 8个14. 设全集为实数集R，集合，则（ ）A. B. C. D. 15. 已知非空集合，且若，则，那么集合M的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 816. 设，满足的集合C的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 017. 当命题“若，则”为真时，下列命题中一定正确的是（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则18. “若且，则全为0”的否命题是（ ）A. 若且，则全不为0B. 若且，则不全为0C. 若且全为0，则D. 若且，则19. “”是“直线与圆相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件
12、D. 既不充分也不必要条件20. 若与都是非零向量，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 21. 对任意的实数，给出下面命题： “”是“”的充要条件； “是无理数”是“是无理数”的充要条件； “”是“”的充分条件； “”是“”的必要条件。其中真命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 22. 如果命题：，命题：，那么命题是命题的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 23. 设A、B是非空集合，定义，已知，则等于（ ）A. B. C. 0，1 D. 0，2 24. 命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是（ ） A. 简单命题B.“p或q”形式的复合命题C.“p且q”形式的复合命题D.“非p”形式的复合命题 25. 设，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 26. 条件甲：“”是条件乙：“”的（
