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1、第八章第八章第八章第八章非线性非线性非线性非线性控制系统分析控制系统分析控制系统分析控制系统分析 8 8 1 1 非线性控制系统的概述非线性控制系统的概述非线性控制系统的概述非线性控制系统的概述 8 8 2 2 常见非线性常见非线性常见非线性常见非线性特性及其对系统运动的影响特性及其对系统运动的影响特性及其对系统运动的影响特性及其对系统运动的影响 8 8 3 3 相平面法相平面法相平面法相平面法 8 8 4 4 描述函数描述函数描述函数描述函数法法法法 8 8 5 5 非线性控制的非线性控制的非线性控制的非线性控制的逆系统逆系统逆系统逆系统方法方法方法方法 8 8 6 6 非线性控制系统设计非
2、线性控制系统设计非线性控制系统设计非线性控制系统设计 8 8 4 4 描述函数描述函数描述函数描述函数法法法法 1940年 达尼尔年 达尼尔 P J Daniel 首先提出描述函数法 首先提出描述函数法 基本思想基本思想 当系统满足一定假设条件时 系统中 当系统满足一定假设条件时 系统中非线 性环节 非线 性环节在在正弦信号作用下正弦信号作用下的输出可用的输出可用一次谐波分量一次谐波分量来近 似 由此导出非线性环节的 来近 似 由此导出非线性环节的近似等效频率特性近似等效频率特性近似等效频率特性近似等效频率特性 即描述 函数 此时 非线性系统近似 即描述 函数 此时 非线性系统近似等效为等效为
3、一个一个线性系统线性系统 并可应 用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析 描述函数法主要用来分析在 并可应 用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析 描述函数法主要用来分析在无外作用时无外作用时 非线性系统 的 非线性系统 的稳定性和自振荡稳定性和自振荡稳定性和自振荡稳定性和自振荡问题 并且问题 并且不受系统阶次限制不受系统阶次限制 描述 函数法对系统结构 非线性环节的特性和线性部分的性 能都有一定的要求 故描述函数法是 描述 函数法对系统结构 非线性环节的特性和线性部分的性 能都有一定的要求 故描述函数法是近似分析方法近似分析方法 应 用该方法有一定的限制条件 应 用该方法有一定的限制
4、条件 描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性 不能 给出时间响应的确切信息 描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性 不能 给出时间响应的确切信息 1 描述函数的基本概念描述函数的基本概念 描述函数的 描述函数的定义定义 设非线性环节输入输出描述为 当非线性环 节输入为时 可对非线性环节的 设非线性环节输入输出描述为 当非线性环 节输入为时 可对非线性环节的稳态输出稳态输出 进行进行谐波分析谐波分析 一般情况下 为非正弦的周期 信号 因而可以 一般情况下 为非正弦的周期 信号 因而可以展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数 其中 为直流分量 为第 其中 为直流分量
5、为第 n 次谐波分量 且有 次谐波分量 且有 yf x sinx tAt y t y t 00 11 cossin sin nnnn nn y tAAn tBn tAYn t 0 Asin nn Yn t 22 nnn YAB arctan n n n A B 式中 为式中 为傅里叶系数傅里叶系数 以下式描述 以下式描述 n A n B 2 0 1 cos n Ay tn td t 2 0 1 sin n By tn td t 1 2 n 2 0 0 1 2 Ay t d t 直流分量直流分量 若且当时 均很小 则可近似认为非线 性环节的正弦响应 若且当时 均很小 则可近似认为非线 性环节的正
6、弦响应仅有一次谐波分量仅有一次谐波分量仅有一次谐波分量仅有一次谐波分量 0 0A 1n n Y 1111 cossinsin y tAtBtYt 上式表明 非线性环节可近似认为具有和线性环节相 类似的频率响应形式 为此 定义 上式表明 非线性环节可近似认为具有和线性环节相 类似的频率响应形式 为此 定义正弦输入信号作用正弦输入信号作用下 非线性环节的下 非线性环节的稳态 输出中一次谐波分量 稳态 输出中一次谐波分量和和输入信号的复数比输入信号的复数比为非线性环节 的 为非线性环节 的描述函数描述函数描述函数描述函数 用表示 用表示 N A 例例8 3 设继电特性为 试计算该非线性特性的描述函数
7、 解 设继电特性为 试计算该非线性特性的描述函数 解 1 111 jjN A YBjA N AN A ee AA 描述函数为 描述函数为 0 0 Mx y x Mx sinx tAt 0 2 Mt y t Mt 22 0 00 1 0 22 M Ay t d td td t 2 0 sinsin 0 M uu 2 2 10 0 14 sin coscos MM By ttd tuu 11 4 BjAM N A AA sinx tAt 0 2 Mt y t Mt 22 1 00 1 cos coscos M Ay ttd ttd ttd t 一般情况下 描述函数一般情况下 描述函数N是输入信号幅
8、值是输入信号幅值A和频率的 函数 和频率的 函数 继电特性描述函数 继电特性描述函数 当非线性环节中当非线性环节中不包含储能元件时不包含储能元件时 其输出的一次谐 波分量的 其输出的一次谐 波分量的幅值和相位与无关幅值和相位与无关 故 故描述函数只与描述函数只与输入 信号 输入 信号幅值幅值A有关有关 情况情况情况情况1 3 1 3 对于 对于直流分量直流分量 若非线性环节的 若非线性环节的正弦响 应为关于 正弦响 应为关于 t 的的奇对称函数奇对称函数奇对称函数奇对称函数 即 即 f x f x 0 A sin y tf Aty t 22 0 00 11 22 Ay t d ty t d t
9、y t d t tu 0 00 1 2 Ay t d ty ud u 00 1 0 2 y t d ty u d u 取变换 取变换 当非线性特性为输入当非线性特性为输入x的奇函数时 即的奇函数时 即 则 则 fxf x sin sin y tf Atf At sin fAtfxf xy t y t 1 B 1 A 1 0 2 sinBy ttd t 1 0 2 cosAy ttd t y t y tyt 即为即为 t 的的奇对称函数奇对称函数奇对称函数奇对称函数 直流分量为 直流分量为0 计算 计算 0 A 情况情况情况情况2 3 2 3 若为奇函数 即 计算描 述函数 若为奇函数 即 计算
10、描 述函数 2 1 0 11 cos cosAy ttd ty ttd t 0 0 1 cos cos y ttd ty ttd t 00 1 cos cos 0ytt d ty ttd t 1 0A 情况情况情况情况3 3 3 3 若为 若为奇函数 奇函数 且为且为半周期对称半周期对称 即 即 y tyt 2 1 0 4 sinBy ttd t y t 则 则 1 0A 例例8 4 设某非线性元件的特性为 试计算其描述函数 解 因为为的奇函数 则 设某非线性元件的特性为 试计算其描述函数 解 因为为的奇函数 则 3 11 24 y xxx y x x 0 0A sinx tAt 3 3 si
11、nsin 24 AA y ttt t 1 0A 2 1 0 4 sinBy ttd t 3 24 22 00 4 sinsin 24 AA td ttd t y t 为的为的奇函数奇函数奇函数奇函数 且 且半周期对称半周期对称半周期对称半周期对称 则 则 由由定积分重要结论定积分重要结论定积分重要结论定积分重要结论 2 0 1 3 4 2 21 2 4 5 3 1 sin 1 3 5 3 1 2 2 4 4 2 2 n n nn nk n nn Itd t nn nk n nn 3 3 1 433 2 44 8 2216 AAA BA 2 1 13 216 B N AA A 3 24 22 1
12、 00 4 sinsin 24 AA Btd ttd t 得 则该非线性元件描述函数为 得 则该非线性元件描述函数为 0 0A fxf x y x x t y ty t 非线性系统 非线性系统描述函数法描述函数法分析的分析的应用条件应用条件 非线性系统简化为一个 非线性系统简化为一个非线性环节非线性环节和一个和一个线性部分线性部分闭 环连接 闭 环连接 典型结构如图 典型结构如图8 36所示 非线性环节的输 入输出特性 是的奇函数 即 或在正弦输入下的输出为的奇对称 函数 即 以保证非线性环节的正弦 响应不含有常值分量 即 系统 所示 非线性环节的输 入输出特性 是的奇函数 即 或在正弦输入下
13、的输出为的奇对称 函数 即 以保证非线性环节的正弦 响应不含有常值分量 即 系统线性部分线性部分应具有应具有较好的低通滤波较好的低通滤波性能 输入为正 弦信号时 非线性环节输出中的高次谐波分量 经过 线性部分后 由于其低通滤波作用而大大削弱 因此 闭环通道内 性能 输入为正 弦信号时 非线性环节输出中的高次谐波分量 经过 线性部分后 由于其低通滤波作用而大大削弱 因此 闭环通道内近似地只有一次谐波分量流通近似地只有一次谐波分量流通 从而保证 从而保证 应用描述函数分析方法所得结果比较准确 对于实际非线性系统 很容易满足这个条件 应用描述函数分析方法所得结果比较准确 对于实际非线性系统 很容易满
14、足这个条件 线性部线性部线性部线性部 分阶次越高 低通滤波性能越好分阶次越高 低通滤波性能越好分阶次越高 低通滤波性能越好分阶次越高 低通滤波性能越好 而欲具有 而欲具有低通滤波 性能 低通滤波 性能 线性部分的 线性部分的极点应位于极点应位于复平面的复平面的左半平面左半平面 描述函数的物理意义 描述函数的物理意义 线性系统频率特性反映正弦信号作用下 系统稳态输 出中与输入同频率分量的幅值和相位相对于输入信号的 变化 非线性环节描述函数反映非线性系统正弦响应中一次 谐波分量的幅值和相位相对于输入信号的变化 因此 忽略高次谐波分量 仅考虑基波分量 非线性 环节描述函数表现为复数增益的放大器 线性
15、系统频率特性反映正弦信号作用下 系统稳态输 出中与输入同频率分量的幅值和相位相对于输入信号的 变化 非线性环节描述函数反映非线性系统正弦响应中一次 谐波分量的幅值和相位相对于输入信号的变化 因此 忽略高次谐波分量 仅考虑基波分量 非线性 环节描述函数表现为复数增益的放大器 注意注意注意注意 线性系统频率特性是输入正弦信号频率的函 数 与正弦信号幅值无关 由描述函数表示的非线性 环节的近似频率特性则是输入正弦信号幅值的函数 因而描述函数可表现为输入正弦信号幅值的 线性系统频率特性是输入正弦信号频率的函 数 与正弦信号幅值无关 由描述函数表示的非线性 环节的近似频率特性则是输入正弦信号幅值的函数
16、因而描述函数可表现为输入正弦信号幅值的复变增益 放大器 复变增益 放大器 这是 这是线性与非线性频率特性的本质区别线性与非线性频率特性的本质区别 当非线性环节频率特性由描述函数近似表示后 就可 以推广应用频率法分析非线性系统运动性质 当非线性环节频率特性由描述函数近似表示后 就可 以推广应用频率法分析非线性系统运动性质 2 典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数 典型非线性特性具有典型非线性特性具有分段线性分段线性分段线性分段线性特点 描述函数计算重 点是确定 特点 描述函数计算重 点是确定正弦响应曲线正弦响应曲线和和积分区间积分区间 一般采用图解法 一般采用图解法 A A A G jA 1 111 j YBjA N Ae AA 死区饱和非线性环节 死区饱和非线性环节 输入 非线性特性 输出 输入 非线性特性 输出 x t y x y t y a y a y tt 1 2 输出的数学表达式 输出的数学表达式 输出的数学表达式 输出的数学表达式 1 12 2 0 0 sin 2 t y tK Att K at 1 arcsin A 2 arcsin a A 因因奇函数奇函数 因
