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1、第三章立体 3 1立体的投影 3 2截切立体的投影 3 3相贯立体的投影 基本要求 基本要求 1 掌握立体的投影特征及作图方法2 掌握立体表面上取点和线的作图方法3 掌握平面与立体相交截交线的投影作图方法 3 1体的三面投影 三视图 一 体的投影 体的投影 实质上是构成该体的所有表面的投影总和 用正投影法绘制的物体的投影图称为视图 二 三面投影与三视图 1 视图的概念 体的正面投影 主视图 体的水平投影 俯视图 体的侧面投影 左视图 2 三视图之间的度量对应关系 三等关系 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应 3 三视图之间的方位对应关系 主视图反映 上 下 左 右 俯视图反映 前 后
2、左 右 左视图反映 上 下 前 后 上 下 左 右 后 前 上 下 前 后 左 右 上 下 左 右 前 后 结束 继续 立体 立体是由表面所围成 按照立体表面的几何形状不同分为两类 表面全部为平面的立体叫平面立体 表面为曲面或平面与曲面组成的叫曲面立体 曲面为回转面时又叫回转体 3 1 1平面立体 一 平面立体的投影 平面立体是由平面多边形 直线和点所围成 画平面立体的投影就是画所有组成平面立体的平面多边形 直线和点的投影 对于可见的表面和棱线 画粗实线 不可见的表面和棱线画虚线 常见的平面立体可分为棱柱和棱锥 六棱柱 侧棱面 底面 棱线 底边 棱柱的棱线相互平行 一 棱柱 六棱柱 侧棱面 底
3、面 棱线 底边 棱柱的棱线相互平行 形成 由多边形沿直线拉伸而成 L m L m 直棱柱 Lm 斜棱柱 一 棱柱 六棱柱 棱柱由两个底面和六个侧棱面组成 侧棱面与侧棱面的交线称为侧棱线 侧棱线相互平行 底面平行水平面 使一个侧面平行正立投影面 1 六棱柱的组成 2 棱柱投影时的安放位置 3 画棱柱投影图的步骤及方法 1 第一步先画作图基准线 2 第二步画棱柱顶面和底面的水平投影 3 第三步画棱柱顶面和底面的正面和侧面投影 4 第四步画六个侧面的正面和侧面投影 5 第五步检查 整理并加深 4 棱柱的投影的特征和几何含义 一个投影为多边形 另外两个投影为小矩形组成的大矩形 棱锥 锥顶 棱锥的棱线相
4、交于锥顶 侧棱面 底面 棱线 底边 形成 由多边形沿直线拉伸而成 但拉伸过程中多边形大小均匀变化 L m 棱锥 锥顶 棱锥的棱线相交于锥顶 侧棱面 底面 棱线 底边 二 三棱锥 棱锥由一个底面和三个侧棱面组成 侧棱线汇交于有限远一点 锥顶 底面平行水平投影面 使一个侧棱面垂直正立投影面或侧立投影面 1 三棱锥的组成 2 棱锥投影时的安放位置 3 画棱锥投影作图的方法及步骤 1 先画底面的三面投影图 2 再画锥顶的三面投影图 3 然后画棱线的三面投影图 4 检查 整理 加深图线 3 画棱锥投影作图的方法及步骤 1 先画底面的三面投影图 2 再画锥顶的三面投影图 3 然后画棱线的三面投影图 4 检
5、查 整理 加深图线 4 棱锥的投影投影特征和几何含义 一个投影为三角形组成的多边形 另外两个投影为小三角形组成的大三角形 二 平面立体表面上取点 由于平面立体表面都是平面 所以平面立体表面上取点的方法同平面上取点的方法一样 所不同的是要判断点在立体的哪一个平面上以及可见性 点的可见性规定 若点所在的平面的投影可见 点的投影也可见 若平面的投影积聚成直线 点的投影也可见 一 棱柱表面上取点 a a a A b b b r 二 三棱锥表面上取点 n n n 三棱锥表面上取点 3 三棱锥表面上取点 在棱锥表面取线 例棱锥表面的折线MNK m n k 求另二投影 如何在平面上取点 K m k n M
6、N 分析 M SA N SB K SBC n k m m n k 连线 注意分析点 直线所在表面的可见性 平面 基本体 截交线 平面体 本节重点 截交线求法 回转体 平面与基本体相交 截平面 共有线 三 平面与平面立体相交 平面与立体相交 称为立体被平面截切 该平面称为截平面 截平面与立体表面的交线称为截交线 画截切立体的投影时 为了清楚地表达立体被截后的形状 既要画出截切立体表面上截交线的投影 又要画出立体未切的轮廓线的投影 同时要擦掉被切轮廓线的投影 截交线 平面与平面立体相交所得截交线形状 例题1 求立体的侧面投影 截切立体的图例 2共有性 截交线即在截平面上 又在立体表面上 是截平面与
7、立体表面共有点的集合 1封闭性 因为被截割的立体占有一定的空间 所以截交线为封闭的平面图形 一 截交线基本性质 截交线是一个封闭的平面多边形 多边形的各边是截平面与立体各棱面的交线 求截交线的关键 平面立体截交线的特点 求截平面与棱线的交点 截平面与棱面的交线 多边形的顶点是截平面与各条棱线的交点 二 求截切立体投影的方法与步骤 1 先画立体未被切的投影图2 再画截交线的投影图3 擦掉被切的轮廓线 1分析投影确定立体的形体 棱柱 棱锥 积聚性 和投影特征 2确定截平面相对投影面的位置及投影特征 平行 垂直 3确定截平面与立体的相交范围 4求棱线的交点以及棱面的交线5检查漏线和多线6判断可见性
8、求平面与平面立体截交线的步骤和方法 截交线投影分析 例7 1 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影 截平面是正垂面 截交线在正立面内积聚为一线 截平面 截交线空间及投影分析 截平面是正垂面 截交线在正立面内积聚为一线 水平投影和侧面投影是小于原形的类似形 截交线空间是三边形 截交线的正面投影 例7 1 求三棱锥被正垂面截切截交线的投影 截平面 确定截平面与三棱锥上各条棱线的交点 s a b c s b a c S A B C 作图步骤 a b c 1 找出有积聚性的投影2 从已知投影开始 确定各棱线的交点1 2 3 3 用线上取点的方法求得其余各投影 4 连接棱面上的交线并判断可见性 例7 1 求
9、三棱锥被正垂面截切截交线的投影 s 完成作图 将多余的线擦去 将不可见的线画成虚线 交线的形状 投影分析 例1 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图 空间分析 求截交线 分析棱线的投影 检查尤其注意检查截交线投影的类似性 3 2 1 4 3 截交线的投影分析 积聚性 1 平面立体形体表面性质的分析 积聚性 3 5 例7 2 求四棱柱被截切截交线的投影 2 截平面相对投影面的位置 平行 垂直 4 求棱线的交点连线或求棱面的交线 线上取点或棱面上取线 5 检查漏线和多线 6 判断可见性 分析 作图 例7 3试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影 空间分析 四棱锥被正垂面切割 截交线也应是平面多边形 其正
10、面投影积聚为一条直线 水平投影侧面投影小于实形的类似形 空间分析 四棱锥被水平面切割 截交线应是平面多边形 其水平投影反映实形 正面和侧面投影是一条直线 例7 3试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影 8 4 5 四棱锥表面上取截交线的各顶点 作图步骤 1 找出有积聚性的投影2 确定截平面的特点及数量 3 各棱线的交点1 2 3 4 5 6 7 8 3 用线上取点的方法求得其余各投影 4 连接棱面上的交线并判断可见性 完成作图 1 将各点连成线2 检查漏线和多线3 判断可见性 例题4 求立体切割后的投影 1 6 例题5 求立体切割后的投影 6 5 例题2 求立体切割后的投影 3 1 2常见曲面体
11、 回转体 的投影 二 圆柱体的投影 四 圆球体的投影 三 圆锥体的投影 基本要求 一 概述 五 圆环体的投影 基本要求 一 概述 二 圆柱的投影 一 圆柱的形成 二 圆柱的画法 三 圆柱的投影特点 四 圆柱投影可见性的判别 五 圆柱表面上取点 一 圆柱的形成 圆柱体 形成 轴线 底面 圆柱面 若干条和轴线 的素线构成 若干个和轴线 的纬圆构成 圆柱面的形成 轴线 母线 素线 圆柱体 形成 轴线 底面 圆柱面 若干条和轴线 的素线构成 若干个和轴线 的纬圆构成 L 圆柱面的形成 轴线 母线 素线 圆柱体的投影 对V面的外形轮廓线 对W面的外形轮廓线 外形轮廓线投影的对应关系 圆柱面投影可见性判断
12、 二 圆柱的画法 三 圆柱的投影特点 最左轮廓线 最右轮廓线 最前轮廓线 最后轮廓线 例题 分析圆柱轮廓素线的投影 四 圆柱投影可见性的判别 五 圆柱表面上取点 运用聚积性求点 例AC位于圆柱体表面 已知a c 求ac a c a c 分析 a c 不平行轴线故AC为曲线 作图 找特殊点 求H投影 求W投影 光滑连接曲线 b d a c b d b d a c 外形轮廓线上的点是曲线投影的虚 实分界点 三 圆锥的投影 一 圆锥的形成 二 圆锥的画法 三 圆锥的投影特点 四 圆锥投影可见性的判别 五 圆锥表面上取点 一 圆锥的形成 圆锥体 形成 S 底面 圆锥面 锥顶 轴线 无数个 轴线的纬圆构
13、成 无数条过锥顶的素线构成 过圆锥面上任一点可作一条直线通过锥顶 亦可在圆锥面上作一圆 纬圆的半径 圆锥体的投影 S s s 对V面的外形轮廓线 对W面的外形轮廓线 外形轮廓线投影的对应关系 圆锥面投影可见性判断 s 圆锥体表面取点取线 例圆锥体表面一点M 已知m 求m m S M m m m 如何在曲面内取点 辅助线如何作 作直素线 作水平圆 二 圆锥的画法 三 圆锥的投影特点 最左轮廓线 最右轮廓线 最前轮廓线 最后轮廓线 四 圆锥可见性的判别 五 圆锥表面上取点 a a a 必须作辅助线 辅助线可以是垂直轴线的纬圆 也可以是过锥顶的直素线 例ABC位于圆锥体表面 已知V投影 求H W投影
14、 a b c 分析 ABD不通过锥顶 故为曲线 作图 找特殊点 求H W面投影 光滑连接曲线 d e a c b d e a b c d e 四 圆球的投影 一 圆球的形成 二 圆球的画法 三 圆球的投影特点 四 圆球投影可见性的判别 五 圆球表面上取点 一 圆球的形成 圆球 轴线 圆球表面无直线 形成 1 无数个纬圆构成2 纬圆 轴线3 关注和投影面 3条轴线4 关注三个方向的纬圆 球面 纬圆的半径 圆球的投影 a b c 外形轮廓线投影的对应关系 球面投影可见性判断 平行H面的最大圆 平行V面的最大圆 平行W面的最大圆 点N在球面的一水平圆上 n n n 圆球表面取点取线 N 例圆球表面一
15、点N 已知n 求n n 二 圆球的画法 三 圆球的投影特点 平行V面的最大圆 平行V面的最大圆 平行H面的最大圆 平行H面的最大圆 平行W面的最大圆 平行W面的最大圆 四 圆球可见性的判别 五 圆球表面上取点 a a a 1 c c c 必须用辅助线求点 辅助线只能是平行于投影面的园 五 圆环的投影 一 圆环的形成 二 圆环的画法 三 圆环的投影特点 四 圆环投影可见性的判别 五 圆环表面上取点 一 圆环的形成 圆环可以看成是以圆为母线 绕与圆在同一平面内 但不通过圆心的轴线旋转而成 二 圆环的画法 三 圆环的投影特点 距轴线最远点 距轴线最远点 距轴线最近点 距轴线最近点 最高点 最高点 平
16、行V面的圆 最低点 平行V面的圆 四 圆环投影可见性的判别 五 圆环表面上取点 必须用辅助线求点 辅助线只能是垂直轴线的纬圆 本节结束 3 2 2平面与曲面立体相交 二 平面与圆柱相交 三 平面与圆锥相交 四 平面与圆球相交 一 概述 五 综合题 基本要求 基本要求 1 掌握回转体截交线的性质 2 掌握特殊位置平面与回转体表面相交 求截交线的方法 3 掌握单个平面与多个平面作截交线的作图步骤和方法 一 概述 平面与曲面立体相交 在曲面立体的表面会产生交线 该交线称为截交线 平面称为截平面 截交线因立体不同 截平面与立体的位置不同 截交线也不同 截平面 截交线 1 截交线一般是封闭的平面曲线 是由曲线和直线所围成或多边形 2 截交线是曲面立体表面和截平面所共有线 3 截交线上的点是曲面立体表面和截平面的共有点 一 曲面立体截交线的性质 二 求曲面立体截交线的方法 找出曲面立体表面和截平面上的若干共有点 然后依次光滑地连线 并判别可见性 1 利用投影的积聚性2 素线法3 纬圆法4 辅助平面 三 求共有点的方法 三 求作截交线的方法 四 求曲面体的截交线的作图步骤 1 分析投影确定立体表面的
