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1、书 山 有 路 1 图 3 Ox y B D AC P 2016 中考数学专题复习 最短距离问题导读 最值问题是初中数学的重要内容 也是一类综合性较强的问题 它贯穿初中数学的始终 是中 考的热点问题 它主要考察学生对平时所学的内容综合运用 无论是代数问题还是几何问题都有最 值问题 在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论 如两点之间线段最短 三角形 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 垂线段最短等 利用一次函数和二次函数的性质求 最值 一 两点之间的连线中 线段最短 凡属于求 变动的两线段之和的最小值 时 大都 应用这一模型 几何模型 几何模型 饮马问题 饮马问题 条件 如图 A
2、 B是直线l同旁的两个定点 问题 在直线l上确定一点P 使PAPB 的值最小 方法 作点A关于直线l的对称点 A 连结AB 交l于点P 则PAPBAB 的值最小 不必证明 模型应用 模型应用 例 1 如图 1 正方形ABCD的边长为 2 E为AB的中点 P是AC上一动点 连结BD 由正方形对称性可知 B与D关于直线AC对称 连结ED交AC于P 则PBPE 的最 小值是 1 如图 2 O 的半径为 2 点ABC 在O 上 OAOB 60AOC P是 OB上一动点 求PAPC 的最小值 2 一次函数bkxy 的图象与 x y 轴分别交于点 A 2 0 B 0 4 O 为坐标原点 设 OA AB 的
3、中点分别为 C D P 为 OB 上一动点 求 PC PD 的最小值 并求取得最小值时 P 点坐标 A B A P l A B E P 图 1 A B C 图 2 P 书 山 有 路 2 3 已知抛物线 y ax 2 bx c a 0 的对称轴为 x 1 且抛物线经过 A 1 0 B 0 3 两点 与 x 轴交于另一点 B 在抛物线的对称轴 x 1 上求一点 M 使点 M 到点 A 的距 离与到点 C 的距离之和最小 并求出此时点 M 的坐标 例 2 如图 两条公路 OA OB 相交 在两条公路的中间有一个油库 设为点 P 如在两条公 路上各设置一个加油站 请你设计一个方案 把两个加油站设在何
4、处 可使运油车从油库 出发 经过一个加油站 再到另一个加油站 最后回到油库所走的路程最短 同类题训练 如图 4 45AOB P是AOB 内一点 10PO QR 分别是OAOB 上的动点 求PQR 周长的最小值 例 3 如图 村庄 A B 位于一条小河的两侧 若河岸 a b 彼此平行 现在要建设一座与河 岸垂直的桥 CD 问桥址应如何选择 才能使 A 村到 B 村的路程 最近 x y O x 1 A C B A B P R Q 图 4 书 山 有 路 3 二 归于 三角形两边之差小于第三边 凡属于求 变动的两线段之差的最大值 时 大 都应用这一模型 如图 抛物线2 4 1 2 xxy的顶点为 A
5、 与 y 轴交于点 B 1 若点 P 是 x 轴上任意一点 求证 PA PB AB 2 当 PA PB 最大时 求点 P 的坐标 练习 1 如图 当四边形PABN的周长最小时 a 2 如图 A B两点在直线的两侧 点A到直线的距离AM 4 点B到直线的距离BN 1 且 MN 4 P为直线上的动点 PA PB 的最大值为 D P B N B M A 3 如图 菱形ABCD中 A 60 AB 3 A B的半径分别为 2 和 1 P E F分别是 边CD A和 B上的动点 则PE PF的最小值是 4 动手操作 在矩形纸片ABCD中 AB 3 AD 5 如图所示 折叠纸片 使点A落在BC边 上的A 处
6、 折痕为PQ 当点A 在BC边上移动时 折痕的端点P Q也随之移动 若限定 点P Q分别在AB AD边上移动 则点A 在BC边上可移动的最大距离为 B O A x y 书 山 有 路 4 5 如图 直角梯形纸片ABCD AD AB AB 8 AD CD 4 点E F分别在线段AB AD上 将 AEF沿EF翻折 点A的落点记为P 当P落在直角梯形ABCD内部时 PD的最小值等 于 6 如图 MON 90 矩形ABCD的顶点A B分别在边OM ON上 当B在边ON上运动时 A随之在OM上运动 矩形ABCD的形状保持不变 其中AB 2 BC 1 运动过程中 点D到点 O的最大距离为 7 如图 线段A
7、B的长为 4 C为AB上一动点 分别以AC BC为斜边在AB的同侧作等腰直 角 ACD和等腰直角 BCE 那么DE长的最小值是 8 如图 菱形ABCD中 AB 2 A 120 点P Q K分别为线段BC CD BD上的任意一 点 则PK QK的最小值为 9 如图所示 正方形ABCD的边长为 1 点P为边BC上的任意一点 可与B C 重合 分 别过B C D 作射线AP的垂线 垂足分别为B C D 则BB CC DD 的取值范 围是 书 山 有 路 5 10 2010 宁德第 25 题 如图 四边形 ABCD 是正方形 ABE 是等边三角形 M 为对角线 BD 不含 B 点 上任意一点 将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN 连接 EN AM CM 求证 AMB ENB 当 M 点在何处时 AM CM 的值最小 当 M 点在何处时 AM BM CM 的值最小 并说明理由 当 AM BM CM 的最小值为13 时 求正方形的边长 E A D B C N M F E A D B C N M
