《2020年中考数学压轴解答题06 二次函数与圆的综合问题（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年中考数学压轴解答题06 二次函数与圆的综合问题（教师版）（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、压轴解答题直面高考备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律 专题06 二次函数与圆的综合问题【典例分析】【例1】（2019湖南中考真题）如图,抛物线(a为常数,a0)与x轴交于O,A两点,点B为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(3t0),连接BD并延长与过O,A,B三点的P相交于点C（1）求点A的坐标；（2）过点C作P的切线CE交x轴于点E如图1,求证：CEDE；如图2,连接AC,BE,BO,当,CAEOBE时,求的值思路点拨（1）令y=0,可得ax（x+6）=0,则A点坐标可求出；（2）连接PC,连接PB延长交x轴于点M,由切线的性质可证得ECD=COE,则CE=DE；设OE=m,由
2、CE2=OEAE,可得m,由CAE=OBE可得,则m,综合整理代入可求出的值满分解答（1）令ax2+bax=0ax（x+6）=0 A（6,0）（2）连接PC,连接PB延长交x轴于M过O、A、B三点,B为顶点,又PC=PB,CE为切线,又,CE=DE,（3）设OE=m,即E（m,0）由切割定理：CE2=OEAE,已知,由角平分线定理：即：由得t2=18t36,【名师点睛】本题是二次函数与圆的综合问题,涉及二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识把圆的知识镶嵌其中,会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键【例2】（2018山东中考真题）如图,在平面直角坐标系中,圆
3、心为P（x,y）的动圆经过点A（1,2）且与x轴相切于点B（1）当x=2时,求P的半径；（2）求y关于x的函数解析式,请判断此函数图象的形状,并在图中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合）,给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合（4）当P的半径为1时,若P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D,其中交点D（m,n）在点C的右侧,请利用图,求cosAPD的大小思路点拨（1）由题意得到AP=PB,求出y的值,即为圆P的半径；（2）利用两点间的距离公式,根据AP=PB,确定出y关于x的函数解析式,
4、画出函数图象即可；（3）类比圆的定义描述此函数定义即可；（4）画出相应图形,求出m的值,进而确定出所求角的余弦值即可满分解答（1）由x=2,得到P（2,y）,连接AP,PB,圆P与x轴相切,PBx轴,即PB=y,由AP=PB,得到=y,解得：y=,则圆P的半径为；（2）同（1）,由AP=PB,得到（x1）2+（y2）2=y2,整理得：y=（x1）2+1,即图象为开口向上的抛物线,画出函数图象,如图所示；（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合；故答案为点A；x轴；（4）连接CD,连接AP并延长,交x轴于点F,交CD于E,设PE=a,则
5、有EF=a+1,ED=,D坐标为（1+,a+1）,代入抛物线解析式得：a+1=（1a2）+1,解得：a=2+或a=2（舍去）,即PE=2+,在RtPED中,PE=2,PD=1,则cosAPD=2【名师点睛】此题属于圆的综合题,涉及的知识有：两点间的距离公式,二次函数的图象与性质,圆的性质,勾股定理,弄清题意是解本题的关键【例3】（2018江苏中考真题）如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=（x-a）（x-3）（0a3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）,与y轴交于点D,过其顶点C作直线CPx轴,垂足为点P,连接AD、BC（1）求点A、B、D的坐标；（2）若AOD与BPC相似,求a的值
6、；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上,若能,求出a的值,若不能,请说明理由.思路点拨（1）根据二次函数的图象与x轴相交,则y=0,得出A（a,0）,B（3,0）,与y轴相交,则x=0,得出D（0,3a）.（2）根据（1）中A、B、D的坐标,得出抛物线对称轴x=,AO=a,OD=3a,代入求得顶点C（,-）,从而得PB=3- =,PC=；再分情况讨论：当AODBPC时,根据相似三角形性质得,解得：a= 3（舍去）；AODCPB,根据相似三角形性质得 ,解得：a1=3（舍）,a2=；（3）能；连接BD,取BD中点M,根据已知得D、B、O在以BD为直径,M（,a）为圆心的圆上,若点C也在此圆上,
7、则MC=MB,根据两点间的距离公式得一个关于a的方程,解之即可得出答案.满分解答（1）y=（x-a）（x-3）（0a3）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）,A（a,0）,B（3,0）,当x=0时,y=3a,D（0,3a）；（2）A（a,0）,B（3,0）,D（0,3a）.对称轴x=,AO=a,OD=3a,当x= 时,y=- ,C（,-）,PB=3-=,PC=,当AODBPC时,即 ,解得：a= 3（舍去）；AODCPB,即 ,解得：a1=3（舍）,a2= .综上所述：a的值为；（3）能；连接BD,取BD中点M,D、B、O三点共圆,且BD为直径,圆心为M（,a）,若点C也在此圆上,MC=MB
8、, ,化简得：a4-14a2+45=0,（a2-5）（a2-9）=0,a2=5或a2=9,a1=,a2=-,a3=3（舍）,a4=-3（舍）,0a3,a=,当a=时,D、O、C、B四点共圆.【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等,综合性较强,有一定的难度,正确进行分析,熟练应用相关知识是解题的关键.【例4】（2009山东中考真题）如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长（3）过点作圆的切线交的延长线于点,
9、判断点是否在抛物线上,说明理由思路点拨（1）根据O半径为1,得出D点坐标,再利用CO=1,AO=1,点M、N在直线y=x上,即可求出答案；（2）先利用配方法求出顶点坐标,再根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果；（3）先求出直线CD的解析式,即可得到点P的坐标,从而可以判断点是否在抛物线上满分解答（1）圆心在坐标原点,圆的半径为1,点的坐标分别为抛物线与直线交于点,且分别与圆相切于点和点, 点在抛物线上,将的坐标代入,得：解之,得：抛物线的解析式为：（2）抛物线的对称轴为,连结,又,（3）点在抛物线上设过点的直线为：,将点的坐标代入,得：,直线为：过点作圆的切线与轴平行,点的纵坐标为,将代入
10、,得： 点的坐标为,当时,所以,点在抛物线上【例5】（2017四川中考真题）如图,已知抛物线（a0）的图象的顶点坐标是（2,1）,并且经过点（4,2）,直线与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t,1）,直线m上每一点的纵坐标都等于1（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BEm,垂足为E,再过点D作DFm,垂足为F,求MF的值思路点拨（1）可设抛物线的顶点式,再结合抛物线过点（4,2）,可求得抛物线的解析式；（2）联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标,则可求得C点坐标和线段BD的长,可求得圆的半径,可证得结论
11、；（3）过点C作CHm于点H,连接CM,可求得MH,利用（2）中所求B、D的坐标可求得FH,则可求得MF和BE的长,可求得其比值满分解答（1）已知抛物线（a0）的图象的顶点坐标是（2,1）,可设抛物线解析式为,抛物线经过点（4,2）,解得a=,抛物线解析式为,即；（2）联立直线和抛物线解析式可得,解得：或,B（,）,D（,）,C为BD的中点,点C的纵坐标为=,BD=5,圆的半径为,点C到x轴的距离等于圆的半径,圆C与x轴相切；（3）如图,过点C作CHm,垂足为H,连接CM,由（2）可知CM=,CH=1=,在RtCMH中,由勾股定理可求得MH=2,HF=,MF=HFMH=,BE=1=,=【例6】
12、如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是以AB为直径的M的内接四边形,点A,B在x轴上,MBC是边长为2的等边三角形,过点M作直线l与x轴垂直,交M于点E,垂足为点M,且点D平分（1）求过A,B,E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点P,使得ABP的面积等于定值5？若存在,请求出所有的点P的坐标；若不存在,请说明理由思路点拨（1）根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标,再利用顶点式求出函数解析式；（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出AMD=CMD=AMC=60,进而得出DC=CM=MA=AD,即可得出答案；（3）首先表示出ABP的面积
13、进而求出n的值,再代入函数关系式求出P点坐标满分解答（1）由题意可知,MBC为等边三角形,点A,B,C,E均在M上, 则MA=MB=MC=ME=2,又COMB, MO=BO=1, A（3,0）,B（1,0）,E（1,2）,抛物线顶点E的坐标为（1,2）, 设函数解析式为y=a（x+1）22（a0）把点B（1,0）代入y=a（x+1）22, 解得：a=,故二次函数解析式为：y=（x+1）22；（2）连接DM, MBC为等边三角形, CMB=60, AMC=120, 点D平分弧AC,AMD=CMD=AMC=60, MD=MC=MA, MCD,MDA是等边三角形,DC=CM=MA=AD, 四边形AM
14、CD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）存在理由如下： 设点P的坐标为（m,n） SABP=AB|n|,AB=4 4|n|=5, 即2|n|=5,解得：n=, 当时,（m+1）22=, 解此方程得：m1=2,m2=4即点P的坐标为（2,）,（4,）,当n=时,（m+1）22=, 此方程无解,故所求点P坐标为（2,）,（4,）【变式训练】一、单选题1如图,抛物线与轴交于、两点,是以点（0,3）为圆心,2为半径的圆上的动点,是线段的中点,连结.则线段的最大值是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0）,B（4,0）,故O点为AB的中点,又Q是AP上的中点可知OQ=BP,故OQ最大即为BP最大,即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大,进而即可求得OQ的最大值.【详解】抛物线与轴交于、两点A（-4,0）,B（4,0）,即OA=4.在直角三角形COB中BC=Q是AP上的中点,O是AB的中点
