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1、授课类型T 周期性与对称性C 幂函数图像T 幂函数性质教学内容 周期性 1、周期函数的定义一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然，若T是函数的周期，则也是的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。推广：若，则是周期函数，是它的一个周期； ，则周期为T；的周期为的周期为。2、常见周期函数的函数方程：（1）函数值之和定值型，即函数
2、对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是特例：，则是以为周期的周期函数；（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型若，则得，所以函数的周期是（3）分式型，即函数满足由得，进而得，由前面的结论得的周期是（4）递推型：（或），则的周期T= 6a（联系数列）,则的周期T=5a；其中，则是以为周期的周期函数。3、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心），则该函数必为周期函数。相关结论如下：结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、，即，且，那么是周期函数，其
3、中一个周期结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，即和，那么是周期函数，其中一个周期结论3：一线一点对称型：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期例1、定义域为的函数满足，且为偶函数，则（ ）（A）是周期为4的周期函数 （B）是周期为8的周期函数（C）是周期为12的周期函数 （D）不是周期函数例2、定义在上的函数，给出下列四个命题：（1）若是偶函数，则的图象关于直线对称（2）若则的图象关于点对称（3）若=，且，则的一个周期为2。（4）与的图象关于直线对称。其中正确命题的序号为 。对称性一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对
4、称性的概念 函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 二、抽象函数的对称性1、函数图象本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称的图象关于直线对称 的图象关于直线对称.特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.（2）中心对称 的图象关于点对称 。 的图象关于点对称.特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.（3）对称性与周期性之间的联系若函数既关于直线对称，又关
5、于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；且函数为周期函数，周期；特别地：若是偶函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数； 若函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；且函数为周期函数，周期；若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为；且函数为周期函数，周期。特别地：若是奇函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数。1.已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，则 .2. 已知函数（），给出下列四个命题：当且仅当时，是偶函数； 函数一定存在零点； 函数在
6、区间上单调递减； 当时，函数的最小值为那么所有真命题的序号是 幂函数的图像与性质【知识梳理】1 幂函数的定义：形如 的函数称为幂函数(为常数,)2常用幂函数性质及其图像 定义域值域奇偶性单调性定点3 性质如下：（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴【典型例题分析】【例1】有下列函数：，其中哪些为幂函数？ 变式练习：幂函
7、数的图像经过点，幂函数，则下列四个函数，中，是幂函数的是_【例2】求函数的定义域。【例3】若的图像与坐标轴没有公共点，且关于轴对称，求的表达式。变式练习1：函数是幂函数，求实数m的值。变式练习2：幂函数的大致图像是如图所示的 （ ）再变：在上题的基础上加上函数是奇函数，则m的取值为 变式练习3：已知幂函数的图像不过原点，则的值为_【例4】比较下列各组中两个数的大小：（1）与 （2）与变式练习1：比较下列各组中两个数的大小（1） （2） （3） 变式练习2：已知，求的取值范围变式练习4：已知，求的取值范围。【例5】作出函数的图像。变式练习1：作出函数的图像。【例6】利用函数的图像解不等式：【例7
8、】已知函数，已知【例8】已知函数与关于对称（1）求的解析式，并求出的单调区间；（2）若，求证： 【课堂小练】一、选择题1、使x2x3成立的x的取值范围是 （）A、x1且x0B、0x1C、x1D、x12、若四个幂函数y，y，y，y在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是 （）A、dcbaB、abcdC、dcabD、abdc3、在函数y，y2x3，yx2x，y1中，幂函数有 （）A、0个B、1个C、2个D、3个4、若，且为整数，则下列各式中正确的是 （ ）A、 B、 C、 D、5、设，则 （ ）A、 B、 C、 D、6、.若集合M=y|y=2x, P=y|y=, MP= （ ）A、
9、y|y1 B、y|y1 C、y|y0 D、y|y07、设f(x)22x52x11它的最小值是 ( )A、0.5 B、3 C、 D、08、如果a1,b1,那么函数f(x)axb的图象在 ( )A第一、二、三象限 B第一、三、四象限C第二、三、四象限 D第一、二、四象限二、填空题9、已知0ab1,设aa, ab, ba, bb中的最大值是M，最小值是m，则M ，m .10、已知f（x）x5ax3bx8，f（2）10，则f（2）=_11、函数y(x22x)29的图象与轴交点的个数是_。12、函数y(x1)31的图象的中心对称点的坐标是_。三、解答题13、 14、已知幂函数f（x）（pZ）在（0，）上
10、是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）、15、已知幂函数的图象与x,y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值。【课后练习】一、基础巩固1.幂函数的值域为_2.函数的定义域为_3.两个不同的幂函数图像最多有_个交点，最少有_个交点。4.下列函数中，不是幂函数的是 （ ）A B C D 5.要作出函数的图像，将函数的图像 （ ）A 向上平移3个单位 B 向下平移3个单位C 向左平移3个单位 D向右平移3个单位6.幂函数的图像经过，则的值为 （ ）A B C 9 D 7.讨论函数的定义域、值域，并画出它的图像草图。二、能力提升8.如图，函数的示意图，则的值为_9.已知,试比较的大小。三、开放研究10.函数递增且为偶函数，求函数的解析式。四、高考体验11.已知幂函数的图像与轴，轴无交点，且关于轴对称，试确定函数的解析式。
