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1、华中科技大学力学系 钱勤 材料力学MechanicsofMaterials E mail qianqin Tel 87543837 O 第四章弯曲强度 材料力学 平面弯曲的概念 梁的载荷及计算简图 剪力与弯矩 剪力图与弯矩图 剪力 弯矩和分布载荷集度间的微分关系 纯弯曲梁的正应力 梁的切应力 梁弯曲时的强度计算 剪力与弯矩 梁的内力 上节回顾 弯曲变形 直线变成曲线的变形形式 简称弯曲 梁 外力垂直于杆的轴线 使得杆的轴线由 以弯曲为主要变形的杆件 平面弯曲 外力作用在梁的纵向对称平面内 使梁的 轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形 剪力 FS 与横截面的法向垂直的内力 弯矩 M 横截面上的内
2、力偶矩 剪力与弯矩 梁的内力 上节回顾 符号规定 剪力与弯矩 梁的内力 剪力与弯矩的正负号规则 弯矩M 由下转向上为正 微段向上凹 反之为负 上节回顾 实用法则 弯矩 剪力与弯矩 外力矩 左顺右逆 M为正 剪力 外力 左上右下 FS为正 上节回顾 剪力图和弯矩图 一 剪力方程和弯矩方程 二 剪力图和弯矩图 第四章弯曲强度 三 列方程法作剪力图和弯矩图 四 叠加法作弯矩图 剪力图和弯矩图 剪力方程 一 剪力方程和弯矩方程 弯矩方程 剪力随横截面变化的函数表达式 弯矩随横截面变化的函数表达式 剪力图 二 剪力图和弯矩图 弯矩图 2 剪力正值画在上方 负值画在下方 做法 1 横轴表示横截面位置 纵轴
3、表示剪力或弯矩 剪力随横截面的变化曲线 弯矩随横截面的变化曲线 剪力图和弯矩图 3 弯矩正值画在下方 负值画在上方 正值弯矩在受拉边 作剪力图和弯矩图的方法 二 剪力图和弯矩图 1 列方程法 2 叠加法 3 控制点法 剪力图和弯矩图 三 列方程法作剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图 2 列内力方程 例2作图示梁的内力图 解 3 作内力图 1 求支反力 剪力图和弯矩图 例3作图示梁的内力图 内力图特点 解 2 列内力方程 3 作内力图 1 求支反力 FS图突变 突变值等于集中力大小 M图转折 集中力作用截面 例4作图示梁的内力图 集中力偶作用 截面 M图突变 突变值等 内力图特点 解 2 列内力方程
4、 3 作内力图 1 求支反力 于集中力偶大小 FS图不变 作梁的内力图的一般步骤 求约束反力 受力图 剪力图和弯矩图 例3已知q 9kN m F 45kN M0 48kN m 求梁的内力 解 1 求约束反力 MA F 12FE M0 8F 2 4q 0FAy 49kN FE 32kN Fx FAx 0 Fy FAy FE F 4q 0 截面法求内力AB段 0 x1 4m Fy FAy qx1 FS1 0 FS1 49 9x1 剪力图和弯矩图 例3已知q 9kN m F 45kN M0 48kN m 求梁的内力 2 截面法求内力BC段 4m x2 6m Fy FAy 4q FS2 0 FS2 1
5、3kN Mc F M2 4q x2 2 FAyx2 0 M2 13x2 72 kN m CD段 6m x3 8m DE段 8m x4 12m FS3 13kN M3 13x3 24 kN m FS4 32kN M4 384 32x4 kN m 剪力图和弯矩图 取右边部分如何 DE段 8m x4 12m FS4 FE 32kNM4 FE 12 x4 384 32x4 内力同样要按正向假设 结果应当相同 可以用于验算 剪力图和弯矩图 分段处的剪力弯矩值 x1 0 FSA 49 MA 0 x4 8 FSD 32 MD 128 x2 4 FSB 13 MB 124 x3 6 FSC 13 MC 102
6、 x3 6 MC 150 x4 8 FSD 13 注意 集中力 力偶 作用处左右二侧FS M 不同 剪力图和弯矩图 剪力 弯矩图 注意 C D处左右二侧M FS之差等于该处的集中力偶 集中力 剪力图和弯矩图 四 叠加法作弯矩图 可见 剪力方程和弯矩方程都是 载荷F q和Me的线性函数 剪力图和弯矩图 四 叠加法作弯矩图 叠加原理 由几个外力同时作用时所引起的构件内的某一参数 内力 应力或位移等 由各个外力单独作用时所引起的构件内的该一参数 的矢量和或代数和 适用条件 小变形情况 剪力图和弯矩图 例5试用叠加法作图示简支梁的弯矩图 解 1 作出F单独作用时的弯矩图 2 作出Me单独作用时的弯矩图
7、 3 叠加上述两图 得到F和Me同时作用时的弯矩图 例6试用叠加法作图示简支梁的弯矩图 解 1 作出q单独作用时的弯矩图 2 作出Me单独作用时的弯矩图 3 叠加上述两图 第四章弯曲强度 剪力 弯矩和分布载荷集度间的微分关系 一 FS M和q之间的微分关系 二 突变条件 三 控制点法作剪力图和弯矩图 一 FS M和q之间的微分关系 剪力 弯矩和分布载荷集度间的微分关系 规定 q 为 取微段dx为研究对象 由 Fy 0 得到 由 MC 0 忽略二阶微量 得到 一 FS M和q之间的微分关系 剪力 弯矩和分布载荷集度间的微分关系 即 由此得到 一 FS M和q之间的微分关系 梁的平衡微分方程 剪力
8、 弯矩和分布载荷集度间的微分关系 即 由此得到 一 FS M和q之间的微分关系 梁的平衡微分方程 剪力 弯矩和分布载荷集度间的微分关系 微分关系对应表 剪力 弯矩和分布载荷集度间的微分关系 二 突变条件 突变条件对应表 剪力 弯矩和分布载荷集度间的微分关系 三 控制点法作剪力图和弯矩图 剪力 弯矩和分布载荷集度间的微分关系 任一段梁上 剪力增量等于q图的面积 弯矩增量等于剪力图的面积 考虑任一段梁 AB段 把平衡微分方程在这段梁上积分 例7试作图示外伸梁的FS和M图 求内力最大值 解 1 求支反力 2 作FS图 3 作M图 G 解 4 求AD段的极值弯矩 1 求极值弯矩的位置 解析法 令 得到
9、 几何法 由剪力图 得到 例7试作图示外伸梁的FS和M图 求内力最大值 解 2 求极值弯矩的数值 例7试作图示外伸梁的FS和M图 求内力最大值 4 求AD段的极值弯矩 解 5 求梁的和 例7试作图示外伸梁的FS和M图 求内力最大值 控制点法画剪力图与弯矩图主要步骤 根据载荷及约束力的作用位置 确定控制点 面 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值 假定剪力和弯矩都为正方向 建立FS一x和M一x坐标系 并将控制点 面 上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状 进而画出剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强度 例9 梁由一个固定铰支座和一个
10、可动铰支座所支承 但是梁的一端向外伸出 这种梁称为外伸梁 overhangingbeam 梁的受力以及各部分尺寸均示于图中 试画出 其剪力图和弯矩图 并确定剪力和弯矩绝对值的最大值 解 1 确定约束力 根据梁的整体平衡 由 求得A F二处的约束力 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强度 解 2 确定控制面 由于AB段上作用有连续分布载荷 故A B两个截面为控制面 约束力FBy右侧的C截面 以及集中力qa左侧的D截面 也都是控制面 3 建立坐标系建立FS x和M x坐标系 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强度 解 4 确定控制面上的剪力和弯矩值 并将其标在FS x和M x坐标系中 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强
11、度 5 根据微分关系连图线对于剪力图 在AB段 因有均布载荷作用 剪力图为一斜直线 于是连接a b两点 即得这一段的剪力图 在CD段 因无分布载荷作用 故剪力图为平行于x轴的直线 由连接c d二点而得 或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强度 5 根据微分关系连图线对于弯矩图 在AB段 因有均布载荷作用 图形为二次抛物线 又因为q向下为负 弯矩图为凸向M坐标正方向的抛物线 于是 AB段内弯矩图的形状便大致确定 为了确定曲线的位置 除AB段上两个控制面上弯矩数值外 还需确定在这一段内二次抛物线有没有极值点 以及极值点的位置和极值点的弯矩数值 从剪力图上可以看出 在e
12、点剪力为零 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强度 6 确定弯矩图极值点的位置 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强度 7 确定剪力与弯矩的最大绝对值 从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强度 注意到在右边支座处 由于约束力的作用 该处剪力图有突变 支座两侧截面剪力不等 弯矩图在该处出现折点 弯矩图的曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线cd的斜率 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强度 例题10 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强度 FS 例题11 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强度 例题12 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强度 剪力图与弯矩图的绘制方法小结 根据载荷及约束力的作用位置 确定控制
13、面 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值 假定剪力和弯矩都为正方向 建立FS一x和M一x坐标系 并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状 进而画出剪力图与弯矩图 剪力图与弯矩图 第四章弯曲强度 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 返回 返回总目录 B 简单刚架的组成 横梁 立柱与刚节点 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 刚架 若干杆件通过刚性连接而成的结构 面内载荷作用下 刚架各杆横截面上的内力分量 轴力 剪力和弯矩 特点 内力分量的正负号与观察者位置的关系 轴力的正负号与观察者位置无关 剪力的正负号与观察者位置无关 弯矩的正负
14、号与观察者位置有关 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 轴力的正负号与观察者位置无关 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 剪力的正负号与观察者位置无关 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 弯矩的正负号与观察者位置有关 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 刚架内力图的画法 1 无需建立坐标系 2 控制面 平衡微分方程 3 弯矩的数值标在受拉边 4 轴力 剪力画在里侧和外侧均可 但需标出正负号 5 注意节点处的平衡关系 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 节点处的平衡关系 B 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 例13 已知平面刚架上的均布载荷集度q 长度l B 试 画出刚架的内力图 刚架的内力与
15、内力图 第四章弯曲强度 B 解 1 确定约束力 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 解 2 确定控制面 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 解 3 确定控制面上的内力 考察立柱AB的平衡 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 解 3 确定控制面上的内力 考察横梁BC的平衡 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 解 4 画剪力图和弯矩图 将控制面上的剪力和弯矩分别标在FS和M坐标中 根据微分关系连图线 剪力图标上正负号 弯矩图画在受拉的一侧 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 解 4 画轴力图 将控制面上的轴力标在FN坐标中 连图线 根据轴力的拉 压性质 在图上标上正负号 刚架的内力与内力图 第四章
16、弯曲强度 例题14 刚架的内力与内力图 第四章弯曲强度 结论与讨论 第四章弯曲强度 返回 返回总目录 结论与讨论 第四章弯曲强度 关于剪力弯矩与载荷集度之间微分关系的证明 关于弯曲内力的几点重要结论 平衡微分关系的灵活应用 怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩 三个微分方程 一套方法 结论与讨论 第四章弯曲强度 关于弯曲内力的几点重要结论 比较三个梁的受力 剪力和弯矩图的相同之处和不同之处 从中能得到什么重要结论 结论与讨论 第四章弯曲强度 关于弯曲内力的几点重要结论 从中能得到什么重要结论 比较三种情形下梁的受力 剪力和弯矩图的相同之处和不同之处 结论与讨论 第四章弯曲强度 确定控制面上剪力和弯矩有几种方法 怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值 结论与讨论 第四章弯曲强度 怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩 力系简化方法应用于确定控制面上剪力和弯矩 结论与讨论 第四章弯曲强度 确定控制面上剪力和弯矩有几种方法 怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值 结论与讨论 第四章弯曲强度 平衡微分关系的灵活应用 通过平衡微分方程的积分确定弯矩图上极值点处的弯矩数值 结论与讨论 第四章弯曲强度
