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1、第六章定积分习题课 1 1 定积分的定义 定积分定义的四要素 分割 近似 求和 取极限 2 定积分的几何意义 用图表示 一 定积分的概念与性质 曲边梯形的面积 2 3 可积的充分条件 若在区间上连续 则在上可积 若在区间上有界 且只有限个间断点 则在上可积 4 定积分的性质 反号性 与积分变量无关性 线性性质 区间可加性 3 区间长 保号性 如果在区间上 则 单调性 如果在区间上 则 估值定理 设和分别是函数在区间上的最大值和最小值 则 4 奇偶对称性 若在上连续 则 二 积分上限函数与牛顿 莱布尼兹公式 1 积分上限函数 是奇函数 是偶函数 0 设函数在区间上连续 则称 定积分中值定理 如果
2、函数在闭区间上连续 则至少存在一点 使下式成立 5 1 2 3 3 牛顿 莱布尼兹公式 若函数为连续函数在区间上的个原函数 则 2 积分上限函数的微分 6 三 定积分的计算方法 求定积分的总体原则 先求被积函数的原函数 然后利用牛顿 莱布尼兹公式计算 即 1 换元积分法 1 凑微分法 2 变量置换法 函数满足条件 7 2 分部积分法 四 反常积分 1 无穷限的反常积分 8 2 无界函数的反常积分 设为的瑕点 则 设为的瑕点 则 设为的瑕点 则有 9 五 典型例题 解 由于在上连续 且是在上的一个原函数 故 例1 设在上有连续导数 且是在上的一个原函数 求 10 例2 求定积分 解 注 当定积分
3、的被积函数中包含绝对值符号时 必须设法将其去掉 并且要特别注意被积函数的符号 11 例3 设 求 解 12 例4 设求 分析 利用变量代换将在上的定积分化为在上的定积分再计算 解 设 则 13 例5 设为连续函数 求 解 令 则 当时 当时 则 故 14 例7 求定积分 解 设 则 15 例8 计算定积分 解 令则 当时 当时 16 例9 计算定积分 解 17 例10 求定积分 分析 由于积分区间为对称区间 可考虑被积函数是否具有奇偶性或部分具有奇偶性 解 原式 18 例11 设求 解 因为 所以 19 例17 求反常积分 解 20 例18 求积分 分析 被积函数在积分区间上不是连续的 解 因
4、为 故该积分发散 21 注 由于定积分与瑕积分的表达式没有区别 在计算积分时要特别注意 错误在于将反常积分误认为定积分 在应用牛顿 莱布尼兹公式计算定积分时 必须注意其使用条件 即被积函数在积分区间内必须连续 常见的错误做法 22 定积分应用 23 一 定积分应用的类型 几何应用 平面图形的面积 特殊立体的体积 旋转体的体积 平行截面面积为已知立体的体积 24 二 构造微元的基本思想及解题步骤 1 构造微元的基本思想 元素法的实质是局部上 以直代曲 以不变代变 以均匀变化代不均匀变化 的方法 其 代替 的原则必须是无穷小量之间的代替 将局部上所对应的这些微元无限积累 通过取极限 把所求的量表示
5、成定积分 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法 25 2 在求解定积分应用问题时 主要有四个步骤 选取适当的坐标系 确定积分变量和变化范围 在上求出微元解析式 积分式 把所求的量表示成定积分 三 典型例题 1 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积 特殊立体的体积 解决这些问题的关键是确定面积元素 体积元素 26 例1 求由所围成图形的面积 分析 在直角坐标系下 由给定曲线所围成的几何图形如图所示 如果取为积分变量 则 解 1 确定积分变量和积分区间 的交点为和 取为积分变量 则 由于曲线和 27 2 求微元 任取 如果将图形上方直线的纵坐标记为 将图形下方抛物线的纵坐标记为 那么
6、 就是区间所对应的矩形的面积 因此 3 求定积分 所求的几何图形的面积表示为 计算上面的积分得 28 例5 设由曲线 及围成 平面图形绕轴 轴旋转而成的旋转体的体积 29 解 一 求绕轴旋转而成的旋转体的体积 1 确定积分变量和积分区间 绕轴旋转如图 2 求微元 对 取为积分变量 则 30 3 求定积分 绕轴旋转而成的旋转体的体积表示为 计算积分得 1 确定积分变量和积分区间 绕轴旋转如图 取为积分变量 则 二 求绕轴旋转而成的旋转体的体积 31 2 求微元 对 旋转体的体积元素 是对应的矩形绕轴所得的旋转体体积 即 3 求定积分 绕轴所得的旋转体的体积表示为 32 计算积分得 33 例7 计算底面是半径为2的圆 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积 建立如图所示的坐标系 解 1 确定积分变量和积分区间 则底圆方程为 取为积分变量 所以 34 2 求微元 因为过点的截面为等边三角形 如图 其边长为高为 所以截面积为 因此 对所对应的体积元素为 3 求定积分 所求立体的体积为 35 36
