函数与极限知识点知识讲解

《函数与极限知识点知识讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数与极限知识点知识讲解（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第一章函数与极限 函数与极限 微积分中的二个重要基本概念 函数 高等数学研究的基本对象 极限 是否采用极限的运算方法 是高等数学与初等数学的根本区别 第一节函数 一 函数概念 常量与变量 常量 某一变化过程中保持数值不变的量 变量 在某一变化过程中取不同数值的量 一个量是常量还是变量只是相对而言的 例 同一地点的 9 8米 秒2 初等数学研究的主要对象 例 自由落体 gt2 2中的S与t都是变量 函数的表示方法 解析法 如y f x 列表法图象法其他 解析法可用一个式子表示也可用多个式子表示 例如 分段函数 注 分段函数虽然由多个式子组成的 但它不是多个函数 而是一个函数 幂函数 xa指数函数

2、 ax对数函数 logax三角函数 sinx y cosx y tgx y ctgx 反三角函数 y arcsinx y arccosx y arctgx y arcctgx 二 初等函数 1 基本初等函数 中学学过的 2 复合函数 形如 f x u x 定义 设变量y是变量u的函数 变量u又是变量x的函数即y f u u x 如果变量x的某些值通过中间变量u可以确定变量y的值时 则称y是x的复合函数 记作y f x y 因变量 u 中间变量 既是自变量又是因变量 x 自变量 注 函数u x 的值域不能超过函数y f u 的定义域 形成复合函数的中间变量可以不止一个 如 y f x 例 y c

3、os 2t 3 那么拆成什么形式好呢 一般复合函数拆开的结果应使拆成的每一个函数都是基本初等函数或是它们的和 差 积 商 将复合函数拆成简单函数 重点 例 例 可分解为 y cosx x 2t 3 或 y cos2x x t 6 3 初等函数 定义 由基本初等函数经过有限次加 减 乘 除四则运算和有限次复合运算而构成的仅用一个解析式表达的函数 称为初等函数 注 不用一个式子表示的函数就不是初等函数 问 分段函数是否是初等函数 不是初等函数 但它是一个函数 例 都是初等函数 第二节函数的极限 极限概念的引入 例1 有一变量其变化趋势为 1 1 2 1 3 1 4 1 n 则该变量的极限是0 数列

4、极限 例2 已知圆的半径为R 求圆面积S 解题思路 1 求圆的内接正多边形 正n边形 的面积2 取极限 n 时正n边形的面积即为圆的面积 一 函数的极限 对于函数y f x 我们将分别考察以下两种情况的极限 1 自变量x x0时函数的极限 2 自变量x 时函数的极限 x x0 0时 函数的极限x x0 0时 函数的极限 x 时 函数的极限x 时 函数的极限 1 x x0时函数的极限 记作 定义 设函数f x 在点x0附近有定义 但在x0处可以没有定义 当自变量x以任何方式无限趋近于定值x0时 若函数f x 无限趋近于一个常数A 就说当x趋近于x0时 函数f x 以A为极限 注 仅要求函数在点x

5、0附近有定义 但在x0处可以没有定义 自变量x以任何方式无限趋近于定值x0 是指左趋近和右趋近 对于一元函数 函数的单侧极限 x从左侧趋近于x0时产生的极限 记作 x从右侧趋近于x0时产生的极限 记作 即左极限和右极限都存在并且相等时 才能说函数的极限存在 例 右图中的函数f x 分段函数 A B 即左极限 右极限 此函数f x 在x0处的极限不存在 2 x 时函数的极限 函数在正无限处极限 函数在负无限处极限 函数在正负无限处极限 例 对于函数f x arctgx x 时极限是否存在 解 当x 时 f x arctgx 2 函数极限不存在 当x 时 当x 时 f x arctgx 2 极限不

6、存在的几种情形式 1 当x x0 x 时 f x 极限不存在 这时虽然f x 的极限不存在 但也可记作 2 左右极限至少有一个不存在或都存在但不相等时 极限不存在 3 当x x0 x 时 f x 的变化趋势振荡不定 此时函数极限不存在 二 无穷小和无穷大 1 无穷小定义 以零为极限的变量就是无穷小量 例 当x 时 1 x的极限为零 注 称一个函数是无穷小量时 必须指出其自变量的变化趋势 无穷小量是变量而不是常数0 也不是很小的数 如10 10000 但0可以看成是无穷小量 当x 1时 x 1的极限也是零 2 无穷大定义 在变化过程中其绝对值无限变大 无穷大量的变化趋势和无穷小的变化趋势相反 例

7、 当x 0时 1 x的值无限增大 注 称一个函数是无穷大量时 必须指出其自变量的变化趋势 无穷大量是变量 而不是一个很大的量 无穷大量 无穷小量是变量 而不是一个确定的量 当x 2时 y tgx的绝对值 y 无限增大 3 无穷小与无穷大的关系 互为倒数关系 例 当x 0时 1 x为无穷大量 而x为无穷小量 在同一变化过程中 4 无穷小定理 定理1 函数f x 以A为极限的充分必要条件是函数f x 与常数A之差是一个无穷小量 即limf x A成立的充要条件是 lim f x A 0 亦即 若函数f x 以A为极限 若设f x A 则 为该极限过程中的无穷小量 定理2 有限个无穷小的代数和仍为无

8、穷小量 定理3 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小量 有界函数 若函数f x 在某个区间X内满足 A f x B 其中A B是两个定数 则称f x 在区间X内有界 A 下界 B 上界 推论1 常数与无穷小量之积仍为无穷小量 推论2 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量 5 无穷小的比较 设 为两个无穷小 若lim 0 或lim 则称 是比 高阶的无穷小或称 是比 低阶的无穷小 若lim k 0 则称 与 是同阶无穷小 特别地若lim 1 则称 与 是等价无穷小 记作 即lim 0 是比 高阶的无穷小 是比 低阶的无穷小 k 0 与 是同阶无穷小 1 与 是等价无穷小 在求等价无穷小的比值的极限时 可

9、将其中每一个 或仅仅一个 换为与其等价的无穷小 即若 1 1 则lim lim 1 lim 1 lim 1 1 注 等价无穷小有一个很有用的性质 例 求 三 极限的四则运算法则 定理 设在某变化过程中有limf x A limg x B 则有 lim f x g x limf x limg x A B lim f x g x limf x limg x AB limf x g x limf x limg x A B B 0 性质 limC C C为常量 limCf x Climf x lim f x n limf x n n为正整数 当x x0时 若分母极限不为0 则可直接应用商定理求出其极限

10、 若分母的极限为0时 想法消去使分母极限为零的因子 而后用商定理出其极限 求分式函数的极限时 可能会遇到0 0型 型 0型等极限 这时需对分式函数作恒等变换 而后约去公因式 化为可求解的形式 利用罗必塔法则求解 四 两个重要极限 一 函数的增量 函数y f x 当自变量x从x0变到x1时 函数y就从f x0 变到f x1 这时称 x x1 x0为自变量x的增量 称 y f x1 f x0 或 y f x0 x f x0 为函数在x x0处的增量 函数增量的几何意义 记作 y f x1 f x0 或 y f x0 x f x0 二 函数的连续点与间断点 1 连续性定义 于是函数的连续性定义可用以

11、下三种不同的形式给出 连续函数的几何意义 由定义知 函数y f x 在点x0处连续必须满足以下三个条件 f x 在点x0及其附近有定义 要求比极限存在的条件高 2 间断点 不满足以上三个条件之一的点就叫做f x 的间断点 而f 0 1 y f x 在x 0处不连续 若定义中x 0时 f x 0 则f x 在x 0处连续 3 函数的左连续与右连续 4 函数f x 在点x0处连续的充分必要条件是 即充要条件为 f x 在x0点既是左连续又是右连续 5 连续点与极限的关系 函数在x0点处连续 函数在x0处极限存在 回忆极限定义与连续点定义 解 f x 在点x 3处没有定义 点x 3是一个间断点 例

12、考察函数的间断点 虽然极限存在 x 0时 函数的极限不存在 x 0点是间断点 而其余点是连续的 三 在区间上连续的函数 1 f x 在开区间 a b 上连续 如果函数f x 在开区间 a b 上每一点都连续 则称函数f x 在开区间 a b 上连续 2 f x 在闭区间 a b 上连续 如果函数f x 在开区间 a b 上连续 且有 即f x 在左端点处右连续 即f x 在右端点处左连续 则称函数f x 在闭区间 a b 上连续 它们在区间 上是连续的 解 x 0处函数无定义 函数在x 0点处是间断点 即在 不是都连续的 在闭区间上连续函数的两个性质 定理1 最大值最小值定理 在闭区间上的连续

13、函数在该区间上至少取得它的最大值和最小值各一次 即一段连续曲线必有最高点和最低点 定理2 介值定理 如果函数y f x 在闭区间 a b 上连续 且f a f b 则对介于f a 和f b 之间的任何值C 在开区间 a b 内至少存在一点 使f C a b 其几何意义 连续曲线y f x 与水平直线y c至少相交于一点 特殊地 若f a 与f b 异号则连续曲线y f x 与x轴至少相交于一点 即方程f x 0在区间 a b 内至少有一实根 四 初等函数的连续性 1 一切基本初等函数在其定义域内都是连续的 2 连续函数的运算 利用连续性定义和极限的运算法则即可得出连续函数的运算法则 定理 设函数f x 和g x 均在x0处连续 则 F x f x g x 在点x0处连续 F x f x g x 在点x0处连续 F x f x g x 在点x0处连续 可推广至多个函数 即连续函数的和 差 积 商仍是连续函数 即当x x0时 u u0 又 函数y f u 在点u u0处连续 4 初等函数的连续性 一切初等函数在其定义域内是连续的 注 此结论肯定了一个初等函数的定义区间就是这个函数的连续区间 此结论肯定了初等函数在其定义区间内任何一点的极限值就是该点的函数值 这就提供了一种非常简单而又实用的极限计算方法 解 原式 lntg 4 ln1 0 例 求 解 原式 解 原式