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1、数学基础知识与典型例题复习第二章函数映射映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：AB，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。例1.若，,则到的映射有 个，到的映射有 个；若，, 则到的一一映射有 个。例2. 设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是( )（A）2 （B）3（C）4 （D）5函数1.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x
2、)|xA为值域。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。3. 函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。例3.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。例4. 求函数的定义域. 例5. 若函
3、数的定义域为-1,1，求函数的定义域。函数4.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；判别式法；反函数法（反解法）；换元法（代数换元法）；不等式法；单调函数法.注:求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。函数的值域为R;二次函数 当时值域是,当时值域是；反比例函数的值域为； 指数函数的值域为；对数函数的值域为R；函数的值域为-1，1；函数,的值域为R；例6.已知 (x0), 求.例7. 求函
4、数的值域.例8. 下列函数中值域为的是( ) (A) (B) (C) (D) 单调性函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数.例9.讨论函数的单调性。单调性单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：定义法（作差比较和作商比较）；图象法；单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；复合函数单调性判断法则;导数法（适用于多项式函数）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面
5、，如比较大小，解抽象函数不等式等。例10. 函数在定义域上的单调性为( )（A）在上是增函数，在上是增函数;（B）减函数;（C）在上是减函数，在上是减函数;（D）增函数例11.已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f g (x)在 R上也是增函数。奇偶性1.偶函数：.设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.满足，或，若时，.2.奇函数：.设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.满足，或，若时，.注:函数定义域关于原点
6、对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，（f(x)0）例12.判断下列函数的奇偶性：,反函数1.反函数定义：只有满足，函数才有反函数. 例如：无反函数.函数的反函数记为，习惯上记为. 2.求反函数的步骤:将看成关于的方程,解出，若有两解，要注意解的选择；将互换，得；写出反函数的定义域（即的值域）。3.在同一坐标系，函数与它的反函数的图象关于对称.注：一般地，的反函数. 是先的反函数，在左移三个单位.是先左移三个单位，在的反函数.例13.求函数 （-1 x 0）的反函数例14.已知，函数y=g(x)图象与的图象关于直线y= x对称，求
7、g(11)的值。反函数4.单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. 一般地，如果函数有反函数，且，那么. 这就是说点（）在函数图象上，那么点（）在函数的图象上.注:1.函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的
8、重要思想。2.设函数f(x)定义域为A，值域为C，则 f-1f(x)=x,(xA)ff-1(x)=x,(xC)例15. 若函数的图象经过，那么的反函数图象经过点( )(A) (B)(C) (D)例16. 设，则_.例17. 函数与互为反函数的充要条件是_.例18. 若点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=_，=_指数函数与对数函数1.指数函数：（），定义域R，值域为（）.当，指数函数：在定义域上为增函数；当，指数函数：在定义域上为减函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.例19.函数(，且)的图象必经过点( )(A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (
9、2，2)例20. 指数函数与对数函数2.对数函数：如果（）的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作（，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数.对数运算：例如：中x0而中xR）.（）与互为反函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.例21.设 且, 求证:;比较的大小.例22.已知 ， ,试比较的大小。例23.求函数的单调减区间，并用单调定义给予证明。例24. 求下列函数的定义域、值域：; 图象变换y = f（x）y =f（x）y =f（x）y=f(x)y=f(|x|),把轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称y=f(x)y=|f(x)|把轴右边的图象保留，然后将轴右边部分关于轴对称
10、。（注意：它是一个偶函数）伸缩变换：y=f(x)y=f(x), y=f(x)y=Af(x+)具体参照三角函数的图象变换。注:一个重要结论：若f(ax)f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；例25.讨论函数的图象与的图象的关系。一次函数与二次函数二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为；则：根的情况等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根充要条件af(k)0另外:二次方程f(x)=0的一根小于p，另一根大于q(pq)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)f(q)0，或（检验）或（检验）。若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开
11、区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。特别指出,分段函数也是重要的函数模型。一次函数与二次函数例26. 当0x1时，函数y=ax+a1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（ ）(A)a1 (C)a1 (D)a1例27.已知函数在上递增，则的取值范围是( )（A） （B）（C） （D）例28. 已知二次函数的图像开口向上，且，则实数取值范围是( )(A) (B) (C) (D) 例29.设函数，则方程的解为 .数学基础知识与典型例题(第二章函数)答案例1. , ,6; 例2. C例3.,对于实际问题，在求出
12、函数解析式后，此时的定义域要根据实际意义来确定。例4. 解：解析式有意义的充要条件是：函数的定义域为 x|例5. 解：要使函数有意义, 必须:的定义域是.例6.解一: 令, 则 , 解二：令 则 例7. 解：设 则 t0x=1-t2代入得 y=f (t )=2(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4t0y4所求值域为例8. B例9. 解：定义域 x|-1x1,在-1,1上任取x1,x2且x1x2则,-= ,另外，恒有 若-1x1x20 则 x1+x20 则-, 若x10 则-, 在-1，0上f(x)为增函数，在0，1上为减函数。例10. C例11. 证：任取 且 x1 x2 g (x) 在R上是增函数,g (x1) g (x2),又f (x) 在R上是增函数,f g (x1) f g (x2)而且 x1 x2 , f g (x) 在R上是增函数同理可以推广：若 f (x)、g (x) 均是R上的减函数，则 f g (x) 是R上的增函数若 f (x).g (x) 是R上的一增、一减函数，则 f g (x) 是R上的减函数例12解：定义域：,关于原点非对称区间此函数为非奇非偶函数.解：定义域：定义域为 x =1,f (1) = 0, 此函数为
