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1、广义逆矩阵的计算方法摘 要：上世纪兴起的广义逆矩阵经过几十年的发展，已经成为现代数学研究中一个活跃的领域作为逆矩阵的推广，广义逆矩阵的理论已成为数理统计、最优化理论、现代化控制理论和网络理论等学科的重要工具在科学研究和工程应用中，很多问题都可以归结为求解矩阵广义逆（特别是伪逆）的数学问题本文首先回顾逆矩阵的相关知识，并结合例题对逆矩阵求解进行说明然后通过对逆矩阵的推广来引出广义逆矩阵这一概念，并对其定义、性质、分类、计算以及与逆矩阵的关系进行介绍我们将提出计算矩阵的不同类型的几类广义逆矩阵的不同方法，最后讲述广义逆矩阵在线性方程组中的应用关于这个学说我们会给出一些数值计算关系关键词：逆矩阵；广
2、义逆矩阵；满秩分解；线性方程组1The calculation method of generalized inverse matrixAbstract：Arisen in the last century, generalized inverse has developed for several decades and become an active area of mathematics. As the promotion of the inverse matrix, the generalized matrix theory has become an important tool
3、in the mathematical statistics, optimization theory, modern control theory, network theory and so on. In scientific research and engineering applications, many problems could be reduced as the mathematical problems of solving generalized inverse(especially, pseudo inverse).First, the paper reviews t
4、he inverse matrix knowledge, and states the calculation of inverse matrix combined with the examples. Then draws forth the concept of generalized inverse matrix through the promotion of inverse matrix, and its definition, properties, classification, calculation method and the relationship between ge
5、neralized inverse matrix with inverse matrix. We discuss the Moore-Penrose inverse of block matrices, full-rank factorization. Finally the generalized inverse matrix in the application of linear equations are introduced. We give some numerical computations relative to this theory.Key words：inverse m
6、atrix；generalized inverse matrix；full rank decomposition；the system of liner equations1 目 录第一章 绪论11.1 研究目的及意义11.2 国内外研究现状11.3 毕业论文主要内容2第二章 逆矩阵32.1 常义逆矩阵32.2 广义逆矩阵42.3 常义逆与广义逆的异同62.4 其他广义逆6第三章 矩阵的范数与分解93.1 矩阵的范数93.2 矩阵的满秩分解113.2.1 满秩分解113.2.2 满秩分解的方法12第四章 广义逆矩阵的计算144.1 减号逆（即）144.2 自反广义逆（即）174.3 最小范数广
7、义逆（即）184.4 最小二乘广义逆（即）204.5 加号逆（即）21第五章 广义逆矩阵的应用275.1 线性方程组的求解问题275.2 相容方程组的通解与285.3 相容方程组的极小范数解305.4 不相容方程组的最小二乘解与325.5 加号逆的应用355.6 广义逆矩阵在其他领域的应用37第六章 结论38参考文献39致 谢40附 录411第一章 绪论1.1 研究目的及意义矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理论逆矩阵和广义逆矩阵是矩阵理论的重要分支，在高等代数中我们已经了解到逆矩阵的一些基本的性质和计算，当时讨论矩阵的逆都是在矩阵为方阵且行列式不为零的情况下进行讨论的而
8、针对更一般的矩阵我们就提出广义逆矩阵的概念，广义逆矩阵是常义逆矩阵的推广一般的逆矩阵只是对非奇异的方阵才有意义，但是在很多实际问题中，我们碰到的矩阵并不都是方阵，即使是方阵，也不都是非奇异的，显然不存在常义逆矩阵因此提出广义逆矩阵的概念以便更加牢固地掌握理论知识，更加熟练的解决各种问题矩阵是现代自然科学、工程技术乃至科学许多领域的一个不可或缺的数学工具，因此广义逆矩阵的应用也相当广泛由于计算机的出现，推动了计算科学的发展，广义逆矩阵得到了迅速的发展，它在网络理论、数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等领域有重要的应用，如在线性方程组的计算、测量平差、煤热值等方面都有重要的应用，因而大大
9、推动了广义逆矩阵的研究，使其得到迅速的发展，成为矩阵的一个重要分支本文将在介绍逆矩阵的基础上，重点研究广义逆矩阵的性质及其在解线性方程组、煤热值等的应用1.2 国内外研究现状广义逆矩阵是常义逆矩阵的推广，广义逆矩阵的概念最早是由瑞典数学家弗德霍姆在1903年提出的，他讨论了关于积分算子的一种广义逆（称之为伪逆）1904年，德国数学家希尔伯特D在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆1920年美国芝加哥的摩勒(Moore)EH首先引进了广义逆矩阵这一概念，但由于不知其用途及他特殊难懂的符号，该理论几乎未被注意，在以后30年中都没有多大的发展我国数学家曾远荣在1933年，美籍匈牙利数学
10、家冯洛伊曼J和弟子默里FJ在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论和研究1951年瑞典人布耶哈梅尔重新发现了摩勒(Moore)EH广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose R)以更明确的形式给出了与摩勒(Moore)EH等价的广义逆矩阵定义，因此后来通常称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入一个新阶段，是广义逆的研究中一个重要的里程碑Moore-Penrose广义逆矩阵是以四个矩阵方程定义的广义逆近五十年来，广义逆矩阵的理论和应用得到了迅速发展其中，在广义逆研究的高峰时期，统计学家的研究工作
11、占了相当分量通过研究逆的结构表示和不唯一性并把它应用于统计参数估计理论，特别是线性模型和方差分析的估计与检验问题广义逆的理论经过80年的演化和深入的研究，已经取得了丰硕的成果，但仍然是国际数学界非常活跃的一个研究领域，因为广义逆在最优化、数值线性代数、数值分析、控制论、微分和积分方程等许多领域以及其它应用学科中都有重要的应用现今，广义逆矩阵在数据分析、信号处理、系统理论、网络理论、现代控制理论等喜多领域中有着重要的作用,如在线性方程组的计算、测量平差、煤热值等方面1.3 毕业论文主要内容通过学习和总结，主要分析并完成以下内容： 1阅读有关矩阵运算和分解的参考资料2了解不同广义逆的概念、性质、种
12、类以及在工程中的应用 3给出4种以上求广义逆的计算方法及其比较4了解约束逆、加权逆、群逆的概念5对的迭代方法给出算法设计第二章 逆矩阵2.1 常义逆矩阵定义2-1 对于阶方矩阵,如果有一个阶方矩阵，使 , 则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，简称逆阵1,9定理2-1 如果矩阵是可逆的，那么的矩阵是惟一的证明：设都是的逆阵，则有 所以的逆阵是唯一的的逆阵记作即若，则= 定理 2-2 若矩阵可逆，则 定理 2-3 若，则矩阵可逆，且 ， 其中为矩阵的伴随阵当=0时，称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵由上面两定理可知：是可逆矩阵的充分必要条件是，即可逆矩阵就是非奇异矩阵10推论 若，则方阵的逆阵满足
13、下述运算规律：1）若可逆，则亦可逆，且2）若可逆，且，则可逆，且3）若，为同阶矩阵且均可逆，则亦可逆，且例2-1 求二阶矩阵的逆阵解： ，利用逆阵公式，当时，有 2.2 广义逆矩阵逆矩阵的概念只是对非奇异矩阵才有意义，但是在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即便是方阵也不一定非奇异，这就需要考虑，将常义逆推广广义逆矩阵是常义逆矩阵的推广，这种推广的必要性，首先是从线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组 当是阶方阵，且时，则方程组的解存在，并可写成 但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵往往是奇异方阵或是任意的矩阵（一般），显然不存在常义的逆矩阵，这就促使人们去思考能否推广逆的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵，使得其解仍可以表示为类似于的形式？即 所以为了能解决更多的实际问题，我们提出了广义逆矩阵的概念并讨论它的性质和算法本重着重介绍广义逆的概念，将使用和14相同的符号定义2-2 设矩阵，若矩阵满足如下四个方程 的某几个或全部，则称为的广义逆矩阵；我们用表示方程的解集，这里，且任一称为的逆特别地，称满
