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1、 时间序列分析简介 最早的时间序列分析可以追溯到7000年前的古埃及 引言 尼罗河涨落的情况 古埃及的农业迅速发展 埃及灿烂的史前文明 按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列 随机序列 按时间顺序排列的一组随机变量 时间序列的定义 观察值序列 随机序列的n个有序观察值 称之为序列长度为n的观察值序列 时间序列分析方法 描述性时序分析 统计时序分析 描述性时序分析案例 太阳黑子的活动 统计时序分析 频域分析方法 时域分析方法 原理 时域分析方法 事件的发展惯性 序列值之间的关系 统计规律 目的 时域分析方法 寻找统计规律 拟合数学模型 预测未来走势 时间序列的预处理
2、平稳性检验 纯随机性检验 宽平稳序列 特征统计量 均值 方差 自协方差 自相关系数 宽平稳序列 宽平稳序列的特征 协方差结构的平移不变性 常数均值 常数方差 实际应用的普遍性 平稳性的检验 图检验方法 统计检验方法 时序图检验 自相关图检验 单位根检验 时序图检验 根据平稳时间序列均值 方差为常数的性质 平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动 而且波动的范围有界 无明显趋势及周期 自相关图检验 平稳序列通常具有短期相关性 该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加 平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零 例子 例1 检验1964年 1999年中国纱年产量序列的平稳性 时
3、序图 自相关图 例子 例2 检验1962年1月 1975年12月平均每头奶牛月产奶量序列的平稳性 时序图 自相关图 例子 例3 检验1949年 1998年北京市每年最高气温序列的平稳性 时序图 自相关图 纯随机序列 没有记忆的序列 过去的行为对将来的发展丝毫没有影响 纯随机序列是没有任何分析价值的序列 纯随机序列 白噪声序列的性质 纯随机性 方差齐性 例子 例4 随机产生1000个服从标准正态分布的白噪声序列观察值 时序图 自相关图 纯随机性检验 检验原理 Barlett定理 纯随机性检验 假设条件 纯随机性检验 检验统计量 Q统计量 LB统计量 纯随机性检验 判别原则 当检验统计量大于分位点
4、 或该统计量的P值小于时 则可以以的置信水平拒绝原假设 认为该序列为非白噪声序列 否则 就接受原假设 即认为该序列为白噪声序列 例子 例4 续 检验结果 结论 接受原假设 即该序列是白噪声序列 例子 时序图 例5 对1950年 1998年北京市城乡居民定期储蓄所占比例序列的平稳性与纯随机性进行检验 自相关图 检验结果 结论 拒绝原假设 即该序列是非白噪声序列 平稳非白噪声序列的建模及预测 平稳时间序列分析 差分运算 一阶差分 p阶差分 k步差分 延迟算子 延迟算子与差分运算 k阶差分 k步差分 线性差分方程 AR模型 AutoRegressionModel MA模型 MovingAverage
5、Model ARMA模型 AutoRegressionMovingAveragemodel AR模型 具有如下结构的模型称为p阶自回归模型 简记为AR p AR p 序列中心化变换 令 今后都简化为对中心化模型进行分析 AR模型 p阶自回归系数多项式 AR模型平稳性判别 图示法 特征根判别法 平稳域判别法 例子 例1 考察如下四个模型的平稳性 时序图 图示法 时序图 时序图 时序图 特征根判别 AR p 模型平稳的充要条件是它的特征根都在单位圆内 AR p 模型平稳的充要条件是自回归系数多项式的根都在单位圆外 平稳域判别 AR p 模型的平稳域 AR 1 模型的平稳域 AR 2 模型的平稳域
6、例子 例2 考察如下四个模型的平稳性 平稳AR模型自相关系数的性质 拖尾性 呈复指数衰减 例子 例3 考察如下AR模型的自相关图 平稳AR模型偏自相关系数的截尾性 例4 考察如下AR模型的偏自相关图 MA模型 具有如下结构的模型称为q阶移动平均模型 简记为MA q MA模型 q阶移动平均系数多项式 例子 例5 考察如下MA模型的相关性质 自相关图 自相关图 偏自相关图 偏自相关图 MA模型的可逆性 自相关系数的不唯一性 自相关系数和模型之间不是一一对应 给模型增加约束条件 可逆性条件 MA q 模型的可逆条件 特征根判别 MA q 模型可逆的充要条件是它的特征根都在单位圆内 MA q 模型可逆
7、的充要条件是移动平均系数多项式的根都在单位圆外 MA q 模型的可逆条件 可逆域判别 MA q 模型的可逆域 MA 1 模型的可逆域 MA 2 模型的可逆域 ARMA模型 具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型 简记为ARMA p q ARMA模型 平稳条件 ARMA p q 模型的平稳条件 可逆条件 ARMA p q 模型的可逆条件 例子 例6 拟合下列模型ARMA 1 1 并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质 自相关系数拖尾性 自相关图 偏自相关系数拖尾性 偏自相关图 ARMA模型相关性特征 平稳序列建模 建模步骤 模型识别 参数估计 模型检验 模型优化 序列预测 平稳非白噪
8、声序列 计算样本相关系数 模型识别 参数估计 模型检验 模型优化 序列预测 Y N 建模步骤 计算样本相关系数 样本自相关系数 样本偏自相关系数 模型识别 模型识别的困难 由于样本的随机性 样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况 本应截尾的ACF或PACF仍会呈现出小值振荡的情况 由于平稳时间序列通常都具有短期相关性 随着延迟阶数的增加 ACF与PACF都会衰减至零值附近作小值波动 当ACF或PACF在延迟若干阶之后衰减为小值波动时 什么情况下该看作相关系数截尾 什么情况下该看作相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢 模型定阶经验方法 如果样本 偏 自相关系数在最初的d阶明
9、显大于两倍标准差范围 而后几乎95 的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内 而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然 这时 通常视为 偏 自相关系数截尾 截尾阶数为d 例子 例7 选择合适的ARMA模型拟合1950年 1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列 时序图 该序列是非白噪声序列 自相关图 自相关系数拖尾 偏自相关图 偏自相关系数1阶截尾 AR 1 模型 例子 例8 选择合适的ARMA模型拟合美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列 时序图 自相关图 自相关系数1阶截尾 偏自相关图 偏自相关系数拖尾 MA 1 模型 矩估计 极大似然估计 最小二乘估计 参数
10、估计 例子 例7续 确定1950年 1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径 拟合模型 AR 1 估计方法 极大似然估计 模型口径 例子 例8续 确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径 拟合模型 MA 1 估计方法 最小二乘估计 模型口径 模型检验 模型的显著性检验 整个模型对信息的提取是否充分 参数的显著性检验 模型结构是否最简 残差项是否含有相关信息 每一个参数是否显著非零 模型的显著性检验 检验目的 检验模型的有效性 对信息的提取是否充分 判定原则 残差序列是否为白噪声序列 检验对象 残差序列 参数的显著性检验 检验目的 删除不显著参
11、数使模型结构最精简 判定原则 每一个未知参数是否显著非零 检验对象 模型参数 例子 例7续 检验1950年 1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的显著性 残差白噪声检验 参数显著性检验 例子 例8续 对OVERSHORTS序列的拟合模型进行检验 残差白噪声检验 参数显著性检验 模型优化 问题提出 当一个拟合模型通过了检验 说明在一定的置信水平下 该模型能有效地拟合观察值序列的波动 但这种有效模型并不是唯一的 优化目的 选择相对最优模型 例子 例9 拟合某一化学反应序列 时序图 白噪声检验结果 自相关系数2阶截尾 MA 2 模型 偏自相关系数1阶截尾 AR 1 模型 模型一的残差白噪声检验 模型一的参数显著性检验 MA 2 有效 模型二的残差白噪声检验 模型二的参数显著性检验 AR 1 有效 AIC准则 SBC准则 模型优化 例子 例9续 用AIC准则和SBC准则评判例9中两个拟合模型的相对优劣 AR 1 模型优于MA 2 模型 序列预测 预测方差最小原则
