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1、 理论力学 25 2020 第一部分静力学 第三章平面任意力系 静力学 第三章 平面任意力系 本章讨论平面任意力系的简化 合成 与平衡问题 是静力学的重点 原因是 工程中的许多受力问题可以简化为平面任意力系 研究平面任意力系的方法具有一般性 平面任意力系的简化的思路 将力作用面内所有的力移到同一点 将力系简化 合成 目的是将力系转化为平面汇交 平面力偶系 引言 静力学 第三章 平面任意力系 在O点作用什么力系才能使二者等效 怎样才能把一个力移到另一个点 不是沿作用线移动 而不改变它对刚体的作用效果 问题 静力学 第三章 平面任意力系 F 本章的内容主要有 力的平移定理 平面任意力系向一点简化
2、简化结果讨论 平面任意力系的平衡条件 平面平行力系的平衡条件 物体系统的平衡 平面简单桁架的内力计算 静力学 第三章 平面任意力系 3 1平面任意力系向作用面内一点简化 一 力的平移定理 作用在刚体上的力可以向刚体上任一点平移 为了不改变原力对刚体的作用效果 平移后需附加一力偶 此力偶的力偶矩等于原力对平移点的矩 证明 静力学 第三章 平面任意力系 附加力偶的力偶矩 即由原力对平移点之力矩决定 另外 此定理可看作是将一个力分解为一个力和一个力偶 反之 一个力和一个力偶可以合成为一个力 即 力向一点平移 得到一个力和一个力偶 力偶的力偶矩等于原力对平移点之矩 静力学 第三章 平面任意力系 实例
3、攻丝 静力学 第三章 平面任意力系 二 平面任意力系向一点简化 主矢和主矩 1 简化思路 用力的平移定理将各力移至同一点 然后再合成 将每个力向简化中心O平移 任选一个简化中心O 其中 因此 平面任意力系 平面汇交力系 平面力偶系 静力学 第三章 平面任意力系 向O点简化 平面任意力系 平面汇交力系 平面力偶系 合力作用于O点 合力偶MO M 合成 静力学 第三章 平面任意力系 力系的主矢 2 力系的主矢和主矩 对O点的主矩 力系主矢的特点 对于给定的力系 主矢唯一 主矢仅与各力的大小和方向有关 主矢与简化中心O的位置无关 力系主矩的特点 力系主矩MO与简化中心O的位置有关 因此对于主矩必须指
4、明简化中心 静力学 第三章 平面任意力系 3 平面任意力系简化的结论 平面任意力系向力作用面内任一点O简化 可得一力和一力偶 该力为该力系的主矢 作用线过简化中心 该力偶的力偶矩等于该力系对简化点O的主矩 静力学 第三章 平面任意力系 向O点简化 4 平面任意力系简化的步骤 1 在力作用面内任选一个简化中心O 2 建立坐标 计算各力在坐标轴上的投影 得到主矢在坐标轴上的投影 3 计算主矢的大小和方向 4 计算各力对简化中心的矩 从而求出主矩 静力学 第三章 平面任意力系 静力学 第三章 平面任意力系 例1 为校核重力坝的稳定性 需要确定出在坝体截面上所受主动力的合力作用线 并限制它和坝底水平线
5、的交点E与坝底左端点O的距离不超过坝底横向尺寸的2 3 即 重力坝取1m长度 坝底尺寸b 18m 坝高H 36m 坝体斜面倾角 70 已知坝身自重W 9 0 103kN 左侧水压F1 4 5 103kN 右侧水压力F2 180kN F2力作用线过E点 各力作用位置的尺寸a 6 4m h 10m c 12m 试求坝体所受主动力的合力 合力作用线方程 并判断坝体的稳定性 静力学 第三章 平面任意力系 解 选O为简化中心 建立图示坐标系Oxy 图示 90 20 力系向O点简化为 主矩MO 主矢 静力学 第三章 平面任意力系 力系的合力大小FR F R 合力作用线方程由合力矩定理求解 y 0 得x 1
6、1 40 即合力作用线与坝底交点至坝底左端点O的距离x 11 40m 该重力坝的稳定性满足设计要求 求合力作用线位置 判定重力坝稳定性 5 平面任意力系简化结果的应用 分析固定端约束的约束力 静力学 第三章 平面任意力系 明显固定端约束有三个待求的未知量 平面任意力系向力作用面内任一点O简化 可得一力和一力偶 1 MO 0 此时 原力系与一个力偶等效 合成为合力偶 在这种情况下 主矩与简化中心的位置无关 3 2平面任意力系的简化结果分析 一 简化结果讨论 静力学 第三章 平面任意力系 问题 2 MO 0 作用于点的是合力吗 3 MO 0 最后可得作用于点的合力 原力系的合力 这种情况下 可以进
7、一步简化 d 此时 原力系与一个力等效 该力为原力系的合力 合力作用线过简化中心 合力作用线位于O点的哪一侧 需由主矩的转向和主矢的方向确定 静力学 第三章 平面任意力系 即是力平移定理的逆过程 合力作用线到O点的距离为 4 MO 0 这是平衡的情况 需专门讨论 5 平面任意力系简化结果小结 1 合力偶只有当主矢为零时 才可能为合力偶 2 合力当主矢不为零时 可以简化为合力如主矩为零 则作用于简化中心的主矢即为合力 如主矩不为零 则可进一步简化为合力 3 平衡 静力学 第三章 平面任意力系 1 合力的大小和方向与主矢相同 主矢与简化中心无关 2 对一给定的力系合力与原力系等效 而主矢不能与原力
8、系等效 力系的主矢与合力的联系与区别 6 讨论 二 合力矩定理 定理 当平面任意力系有合力时 合力对作用面内任一点的矩等于力系中各分力对同一点的矩的代数和 即若合力为 则 证明 由平面任意力系简化为合力的情况 有 而 所以 静力学 第三章 平面任意力系 d 3 3平面任意力系的平衡条件和平衡方程 受平面任意力系作用的刚体 平衡 平衡方程 由 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系有三个独立的方程 可解三个未知量 投影轴可任选 力矩方程的矩心也可任选 静力学 第三章 平面任意力系 例2 图示构件 主动力及几何尺寸如图 求支座A B处约束反力 解 取DC为研究对象 受力如图 分布力用集中力代替 静力
9、学 第三章 平面任意力系 解 因为 X 0 主矢 0 可以合成为合力 合力作用线过A点 合力作用线过B点 合力作用线过AB连线 因为 Y 0 主矢 0 主矢 y轴 例3 已知有一平面任意力系 满足 X 0 Y 0 A为x轴上的点 B为y轴上的点 OB b 角已知 求 OA 因为 因为 静力学 第三章 平面任意力系 例4 图示机构 P 100kN M 20kN m F 400kN q 20kN m l 1m 求固定端A的约束反力 解 取ABD为对象 受力图如图示 其中Fq 1 2 q 3l 30kN X 0 FAx Fq Fsin600 0 Y 0 FAy P Fcos600 0 MA M Fq
10、l Fcos600l Fsin6003l 0 解得 FAx 316 4kN FAy 300kNMA 1188kN m 与图示转向相反 静力学 第三章 平面任意力系 平衡方程的其它形式 1二矩式 X 0 A B连线不垂直于x轴 A B C三点不在同一条直线上 附加条件 附加条件 2三矩式 静力学 第三章 平面任意力系 二矩式的证明 必要性 即 力系平衡 二矩式成立 由力系平衡 MO 0 则 力系的主矢在任一轴上的投影为零 对任一点的矩为零 二矩式成立 即 力系平衡 二矩式成立 充分性 则 力系不可能合成为合力偶 只可能合成为合力或平衡 由 静力学 第三章 平面任意力系 若有合力 则合力作用线过A
11、点 若有合力 则合力作用线过B点 合力作用线过AB 又因 X 0且x轴不与AB连线垂直 故必有 合力为零 即力系平衡 证毕 三矩式的证明类似 请自行证明 由 由 静力学 第三章 平面任意力系 例5 在例2中 用二距式平衡方程求支座A B处约束反力 解 取DC为研究对象 受力如图 分布力用集中力代替 静力学 第三章 平面任意力系 3 4平面平行力系的平衡方程 设平面平行力系如图 取y轴与各力平行 由平面任意力系的平衡方程 其中 故 平面平行力系的平衡方程为 两个独立的平衡方程 解两个未知量 静力学 第三章 平面任意力系 对于平面平行力系 条件 AB连线不能与各力作用线平行 二矩式平衡方程 静力学
12、 第三章 平面任意力系 例6 起重机自重P1 700kN 作用线过塔架中心 最大起重量P2 200kN 最大臂长为12m 轨道间距为4m 平衡荷到塔中心线距离6m 求 能安全工作时 平衡重P3 解 取整体为研究对象 受力如图 静力学 第三章 平面任意力系 可能的不安全情况 满载时绕B顺时针翻倒 空载时绕A逆时针翻倒 不翻倒的条件 不绕B顺时针翻倒的条件 FA 0 不绕A逆时针翻倒的条件 问题分析 FB 0 静力学 第三章 平面任意力系 1 满载时 由FA 0 得 静力学 第三章 平面任意力系 求解 2 空载时 P2 0 由 FB 0 得 故安全时 75kN P3 350kN 静力学 第三章 平
13、面任意力系 静力学 第三章 平面任意力系 几点讨论 根据题意选择研究对象 分析研究对象的受力情况 正确地画出其受力图 研究对象与其他物体相互连接处的约束 按约束的性质表示约束反力 正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位 静力学 第三章 平面任意力系 两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律 求解过程中 应适当地选取坐标轴 为避免解联立方程 可选坐标轴与未知力垂直 一矩 二距 三距式形式的平衡方程灵活应用 根据计算结果的正负判定假设未知力的指向是否正确 3 5物体系统的平衡 静定和超静定问题 物体系统由若干个物体通过适当的约束相互连接而成的系统 超静定问题的基本概念 对于给
14、定的力系 独立的平衡方程的个数是一定的 当未知力的个数超过独立的平衡方程的个数时 就无法仅由平衡方程解出全部未知力 这种问题称为静不定问题 或超静定问题 静力学 第三章 平面任意力系 对于超静定问题 未知约束力数 独立平衡方程数 超静定次数 静定问题 超静定问题 1次 未知约束力的个数 独立的平衡方程数 静定问题 未知约束力的个数 独立的平衡方程数 静不定问题 或超静定问题 静力学 第三章 平面任意力系 系统静定性的判断 静力学 第三章 平面任意力系 独立的平衡方程数 3未知力数 3独立的平衡方程数 未知力数 独立的平衡方程数 3未知力数 4未知力数 独立的平衡方程数 静定问题 超静定问题 静
15、力学 第三章 平面任意力系 独立的平衡方程数 6未知力数 6独立的平衡方程数 未知力数 独立的平衡方程数 6未知力数 7未知力数 独立的平衡方程数 静定问题 超静定问题 图示物体系统 是否为静定系统 取整体 受力如图 取AD 受力如图 取CB 受力如图 是静定系统 静力学 第三章 平面任意力系 一个由N个刚体组成的系统 若受到平面一般力系的作用 则可列出3N个独立的平衡方程 当未知力的个数 3N时 即为静定问题 一般情况 静力学 第三章 平面任意力系 首先判断物体系统是否属于静定问题 恰当地选择研究对象 在一般情况下 首先以系统的整体为研究对象 这样则不出现未知的内力 易于解出未知量 当不能求
16、出未知量时应选取单个物体或部分物体的组合为研究对象 一般应先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象 求出部分未知量后 再研究其他物体 物体系统的平衡问题 静力学 第三章 平面任意力系 物体系统平衡问题常需求解系统的内力及约束反力 求解中注意以下问题 静力学 第三章 平面任意力系 受力分析 首先从二力构件入手 可使受力图较简单 有利于解题 解除约束时 要严格地按照约束的性质 画出相应的约束力 切忌凭主观想象画力 对于一个销钉连接三个或三个以上物体时 要明确所选对象中是否包括该销钉 解除了哪些约束 然后正确画出相应的约束反力 画受力图时 正确画出铰链约束力 除二力构件外 通常用二分力表示铰链反力 不画研究对象的内力 两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律 静力学 第三章 平面任意力系 列平衡方程 求未知量 列出恰当的平衡方程 尽量避免在方程中出现不需要求的未知量 为此可恰当地运用力矩方程 适当选择两个未知力的交点为矩心 所选的坐标轴应尽可能与较多的未知力垂直 判断清楚每个研究对象所受的力系及其独立方程的个数及物体系统独立平衡方程的总数 避免列出不独立的平衡方程 解题时应从未知力最少
