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1、名师整理 助你成功 高三数学第一轮复习讲义 57 2004 11 30 空间直线 一 复习目标 1 了解空间两条直线的位置关系 2 掌握两条直线所成的角和距离的概念 会计算给出的异面直线的公垂线段的长 二 课前预习 1 下列四个命题 1 分别在两个平面内的两条直线是异面直线 2 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 3 和两条异面直线都相交的两条直线必异面 4 若a与b是异面直线 b与c是异面直线 则a与c也异面 其中真命题个数为 D A3 B2 C1 D0 2 在正方体ABCD DCBA中 M N分别是棱 AA和AB的中点 P为上底面 ABCD的中心 则直线PB与MN所成的角为 A A30
2、 0 B450 C600 D 3 在棱长为a的正四面体中 相对两条棱间的距离为 答案 a 2 2 4 两条异面直线a b间的距离是1cm 它们所成的角为600 a b上各有一点 A B 距公垂线的垂足都是10cm 则 A B 两点间的距离为 答案 cmcm301101或 三 例题分析 例 1 已知不共面的三条直线a b c相交于点P aA aB bC cD 求证 AD与BC是异面直线 证一 反证法 假设AD 和 BC 共面 所确定的平面为 那么点 P A B C D 都在平面 内 直线a b c 都 在平面 内 与已知条件a b c 不共面矛盾 假设不成立 AD 和 BC 是异面直线 证二 直
3、接证法 a c P 它们确定一个平面 设为 由已知C平面 B 平 面 AD平面 BAD AD 和 BC 是异面直线 名师整理 助你成功 小结 例 2 在三棱台ABCCBA 111 中 侧棱 1 BB 底面ABC 且 2 1C AAABC cmBAAB2211 1 求证 BABC 1 AABC 1 BAAA 11 2 求异面直线AA 1 和BC的距离 1 略证 先证BC 平面 AA1B1B 即得 BC A1B BC A1A 又 A1A A1C 已知 由三垂线定理的逆定理 可知 A1A A1B 2 略解 由 1 知 A1A A1B A1B BC A1B 就是 A1A 和 BC 的公垂线段 但 AA
4、1B BB1A1 111 1 BA AB AB BA 又 AB 2cm A1B1 1cm A1B 2cm 小结 例 3 一条长为 cm2 的线段 AB夹在互相垂直的两个平面 之间 AB 与所成角 为 0 45 与所成角为 0 30 且l lAC lBD C D是垂足 求 1 CD的长 2 AB与CD所成的角 解 1 连 BC AD 可证 AC BD ABC 30 0 BAD 45 0 Rt ACB 中 BC AB cos300 3 在 Rt ADB 中 BD AB sin450 2 在 Rt BCD 中 可求出CD 1cm 也可由AB 2 AC2 BD2 CD2 2AC BD cos900 求
5、得 2 作 BE l CE BD BE CE 则 ABE 就是 AB 与 CD 所成的角 连AE 由三垂线 定理可证 BE AE 先求出AE 3 再在 Rt ABE 中 求得 ABE 60 0 说明 在 3 中也可作CH AB 于 H DF AB 于 F HF 即为异面直线CH DF 的公垂 线 利用公式CD2 CH 2 DF2 HF2 2 CH DFcos 求出 cos 3 3 小结 名师整理 助你成功 四 课后作业 班级学号姓名 1 AB CD 在平面 内 AB CD 且 AB 与 CD 相距 28 厘米 EF 在平面 外 EF AB 且 EF 与 AB 相距 17 厘米 EF 与平面 相
6、距15 厘米 则EF 与 CD 的距离为 C A25 厘米 B39 厘米 C25 或 39 厘米 D15 厘米 2 已知直线a 如果直线b 同时满足条件 a b 异面 a b 所成的角为定值 a b 间的距离为定值 则这样的直线b 有 D A1 条 B2 条 C4 条 D无数条 3 已知异面直线a 与 b 所成的角为500 P 为空间一点 则过点 P 与 a b 所成的角都是 300的直线有且仅有 B A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 4 在正三棱柱 111 CBAABC中 若 1 2BBAB 则 1 AB与BC1 所成的角的大小 答案 0 90 5 如图 在正方体ABCD A1B1C1
7、D1的中 求证 B1D 被平面 A1BC1分成 1 2 的两段 证明 如图1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 连结 B1D1 A1C1 BD AC 设 B1D1 A1C1 M BDAC N M N 分别是 B1D1 AC 的中点 连结 BM D1N BB1 DD1 且 BB1 DD1 四边形 BDD1B1是平行四边形 在平面 BDD1B1中 设 B1D BM O B1DD1N O1 在平行四边形BDD1B1中 D1M NB 且 D1M NB A1 A B B1 D D1 C C1 O A1 A B B1 D D1 C C1 图 1 M O N O1 名师整理 助你成功 四边形 BND1M
8、 是平行四边形 BM ND1 即 OM O1D1 O 是 BO1的中点 即 O1O OB1 同理 OO1 O1D O1O OB1 O1D 综上 OB1 OD1 1 2 6 如图 已知平面 交于直线l AB CD 分别在平面 内 且与l分别交于B D 两点 若 ABD CDB 试问 AB CD 能否平行 并说明理由 证明 直线AB CD 不能平行 否则 若AB CD 则 AB CD 共面 记这个平面为 AB CD AB D 由题知 AB D 且 DAB 根据过一条直线及这条直线外一点 有且仅有一个平面 与 重合 同理 与 重合 与 重合 这与题设矛盾 AB CD 不能平行 7 平行六面体ABCD A1B1C1D1中 求证 CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直 线 证明 假设CD1所在的直线与 BC1所在的直线不是异面直线 设直线 CD1与 BC1共面 BC D A l A A1 D1 D C C1 B1 B 名师整理 助你成功 C D1 CD1 B C1 BC1 C D1 B C1 CC1 BB1 CC1 BB1确定平面 BB1C1C C B C1 平面 BB1C1C 不共线的三点C B C1只有一个平面 平面 与平面 BB1C1C 重合 D1 平面 BB1C1C 矛盾 因此 假设错误 即CD1所在的直线与 BC1所在的直线是异面直线
