解析几何第二十五讲椭圆答案 .pdf

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1、专题九解析几何 第二十五讲椭圆 答案部分 2019 年 1 如图所示 设BF2 x 则AF2 2x 所以BF2 AB 3x 由椭圆定义BF1 BF2 2a 即4x 2a y A 又AF1 AF2 2a 4x AF x 所以 2 2 AF1 2x F1 O F2 x B 因此点 A 为椭圆的上顶点 设其坐标为0 b 3 b 由AF2 2 BF2 可得点 B 的坐标为 2 2 x2 y2 因为点 B 在椭圆 2 2 1 0 上 所以 a b a b 9 1 1 4a 4 2 解得a 2 3 又c 1 所以b 2 2 所以椭圆方程为 x y 故选 B 2 2 1 3 2 2 p p p 2 解析 由

2、题意可得 3 2 解得p 8 故选 D 3 解析 I 由题意得 b 2 1 c 1 所以 a 2 b2 c2 2 所以椭圆 C 的方程 为 x 2 2 y 2 1 设P x1 y1 Q x2 y2 则直线 AP 的方程 为 y 1 y 1 x 1 x 1 1 令 y 0 得点 M 的横坐 标 x M x 1 y1 1 x 又y1 kx1 t 从而 OM x 1 M kx t 1 1 x ON 2 同 理 kx t 1 2 y kx t 由 2 得 1 2k 2 x2 4ktx 2t 2 2 0 x y 2 1 2 则 4kt x x 1 2 2 1 2k 2t 2 2 x x 1 2 2 1

3、2k x x OM ON 1 2 所以 kx t 1 kx t 1 1 2 x x 1 2 k x x k t x x t 2 2 1 1 1 2 1 2 2t 2 2 1 2k 2 2t 2 4kt 2 k k t 1 t 1 2 2 1 2k 1 2k 2 2 1 t 2 1 t 又 OM ON 2 1 t 2 2 所以 1 t 解得 t 0 所以直线l 为y kx 所以直线l 恒过定点 0 0 4 解析 1 设椭圆C的焦距为 2c 因为 F1 1 0 F2 1 0 所以 F1F2 2 c 1 又因为 DF1 5 2 5 3 AF2 x 轴 所以DF2 DF 2 F F 2 2 2 2 1

4、 1 2 2 2 因此 2a DF1 DF2 4 从而 a 2 2 由 b2 a2 c 2 得 b2 3 因此 椭圆C的标准方程为 x y 2 2 1 4 3 2 解法一 由 1 知 椭圆C x y a 2 2 2 1 4 3 因为 AF2 x轴 所以点A 的横坐标为1 将 x 1 代入圆 F2 的方程 x 1 2 y 2 16 解得 y 4 因为点 A 在 x 轴上方 所以A 1 4 又 F1 1 0 所以直线 AF1 y 2x 2 由 y 2x 2 得5x 2 6x 11 0 x 1 y 16 2 2 11 解得x 1或x 5 x 11 代入y 2x 2 得12 将 5 5 11 12 B

5、 又 F2 1 0 所以直线BF2 因此 5 5 3 y x 1 4 由 3 y x 1 4 x y 2 2 1 4 3 得7x 2 6x 13 0 解得x 1或 13 x 7 又因为 E是线段 BF2 与椭圆的交点 所以x 1 将x 1代入 y x 得3 3 1 y 因此 4 2 3 E 1 2 解法二 由 1 知 椭圆C x y 如图所示 联结EF 2 2 1 1 4 3 因为 BF2 2a EF 1 EF2 2a 所以 EF1 EB 从而 BF1E B 因为 F2A F2B 所以 A B 所以 A BF 1E 从而 EF1 F2A 因为 AF2 x轴 所以EF1 x 轴 3 x 1 因为

6、 F1 1 0 由2 2 x y 得 1 4 3 3 y 2 又因为 E是线段 BF2 与椭圆的交点 所以 3 y 2 因此 3 E 1 2 5 解析 设椭圆的右焦点为F 连接PF 线段 PF的中点 A 在以原点O 为圆心 2 为半径的圆 连接 AO 可得PF2 AO 4 2 设 P 的坐标为 m n 可得3 m 4 n 可得m 3 15 3 2 2 15 由F 2 0 可得直线PF的斜率为 2 15 3 2 2 6 解 1 连结PF1 由 POF2 为等边三角形可知在 F1PF2 中 F1PF2 90 PF c 2 PF c 于是 1 3 2a PF PF 3 1 c 故C 的离心率是e c

7、 3 1 1 2 a 1 y c y y 1 2 由题意可知 满足条件的点P x y 存在当且仅当 2 16 2 x c x c x y 2 2 2 2 1 即c y 16 a b x 2 y 2 c 2 4 x y 2 2 2 2 1 a b 由 及a 2 b 2 c 2 得 y 2 b 4 又由 知 c 2 y 2 16 2 故b 4 c 2 a 2 由 得 x c b c 所以c 2 b 2 从而a2 b 2 c 2 2b 2 32 故a 4 2 2 2 2 2 当b 4 a 4 2 时 存在满足条件的点P 所以b 4 a的取值范围为 4 2 7 解析 设椭圆的半焦距为c 由已知有3a

8、2b 又由a 2 b 2 c 2 消去 b 得 2 2 3 2 a a c 2 解得 c a 1 2 所以 椭圆的离心率为 1 2 由 知 a 2c b 3c 故椭圆方程为 x y 2 2 2 2 1 4c 3c 由题意 F c 0 则直线l 的方程为3 y x c 4 点 P 的坐标满足 2 2 x y 2 2 1 4c 3c 消去y 并化简 得到7x2 6cx 13c2 0 解得 3 y x c 4 xc 1 13c x 代入到l 的方程 解得 2 7 3 y c 1 2 9 y c 2 14 因为点P 在x 轴上方 所以 P c c 3 2 由圆心C 在直线x 4 上 可设C 4 t 因

9、为OC AP 且由 知A 2c 0 故 3 2 c t 4 c 2c 解得t 2 因为圆C 与x 轴相切 所以圆的半径为2 又由圆C 与l 相切 得 3 4 c 2 4 2 2 3 1 4 可得 c 2 5 x y 2 2 所以 椭圆的方程为 1 16 12 x y 2 2 8 解析设M m n m n 0 椭圆C C 的a 6 b 2 5 c 2 1 36 20 e c 2 由于M 为C 上一点且在第一象限 可得 MF MF 1 2 a 3 MF F 为等腰三角形 可能 MF 2c 或 MF 2c 1 2 1 2 2 6 8 m 即m 3 n 15 即有 3 2 6 8 即m 3 0 舍去

10、可得M 3 15 m 3 D t A x y 1 9 解析 1 设 则 1 1 2 x1 2y1 2 由于y x 所以切线DA 的斜率为 1 2 y x 故 1 1 x t 1 x 1 整理得2 tx1 2 y1 1 0 设 B x y 同理可得 2 2 2tx 2 y 1 0 2 2 故直线 AB 的方程为2tx 2y 1 0 1 所以直线AB 过定点 0 2 2 由 1 得直线AB的方程 为 1 y tx 2 y tx x 2 y 2 1 2 由 可得x2 2tx 1 0 于是x1 x2 2t y1 y2 t x1 x2 1 2t 1 2 M t t 2 1 设 M 为线段 AB的中点 则

11、 2 由于EM AB 而EM t t AB 与向量 1 t 平行 所以 2 t t t 解得 2 2 2 0 t 0 或t 1 6 当t 0 时 EM 2 所求圆的方程 为 2 x 2 y 5 2 4 当t 1时 EM 2 所求圆的方程为 2 x y 2 2 5 2 2010 2018 年 1 C 解析 不妨设a 0 因为椭圆C 的一个焦点为 2 0 所以c 2 所以a2 b2 c2 4 4 8 所以 C 的离心率为2 c e 故选 C a 2 2 D 解析 由题设知1 2 90 F PF o F F 2c PF2 F1 60 1 2 所以 PF c PF 3c 由椭圆的定义得 PF PF 2

12、a 即3c c 2a 2 1 1 2 所以 3 1 c 2a 故椭圆C 的离心率2 3 1 e 故选 D c a 3 1 a 2 5 a 5 由椭圆的定义可知 P 到该椭圆的两个焦点的距离 3 C 解析 由题意 之和为2a 2 5 故选 C 4 B 解析 由题意可知 a b 2 4 c 2 a 2 b 2 5 离心率c 5 2 9 e a 3 选 B 5 A 解析 以线段A A 为直径的圆是x 2 y 2 a 2 直线 bx ay 2ab 0 与圆相切 1 2 2ab 所以圆心到直线的距离d a 整理为a 2 3b2 a b 2 2 即 a 2 3 a 2 c 2 2a 2 3c 2 即即 c

13、 2 a 2 2 c 6 e 故选 A 2 c 6 3 a 3 6 A 解析 当0 m 3 焦点在x 轴上 要使C 上存在点M 满足AMB 120 o a o 即3 3 则tan 60 3 得0 m 1 当m 3 焦点在y 轴上 b m 7 要使C 上存在点M 满足 AMB 120 o 则 a tan 60 3 m o 即3 b 3 得m 9 故m 的取值范围为 0 1 U 9 选 A 7 B 解析 不妨设直线l 过椭圆的上顶点 0 b 和左焦点 c 0 b 0 c 0 则直线l 的方程为bx cy bc 0 由已知得 bc b c 2 2 1 4 2b 解得b2 3c2 又b2 a 2 c

14、2 所以c 2 a 2 1 即1 e 故选 B 1 即1 4 2 8 A 解析 由题意 不妨设点P 在x 轴上方 直线l 的方程为y k x a k 0 分 别令x c与x 0 得 FM k a c OE ka 设OE 的中点为G 由 OBG FBM 得 OG OB 即 FM BF ka a 2k a c a c 整理得 c a 1 3 1 所以椭圆C 的离心率 e 故选 A 3 9 B 解析 抛物线C y 2 8x 的焦点坐标为 2 0 准线l 的方程为x 2 设 椭圆E 的方程为 xy 2 2 2 2 1 0 a b 所以椭圆E 的半焦距c 2 又椭圆的离心 a b 率为 1 2 x y

15、联立 2 2 所以a 4 b 2 3 椭圆E 的方程为 1 16 12 解得A 2 3 B 2 3 或A 2 3 B 2 3 所以 AB 6 选 B m2 25 42 9 因为m 0 所以m 3 故选 C 10 B 解析 由题意得 11 A 解析 设椭圆的左焦点为F 半焦距为c 连结 1 AF 1 BF 则四边形 1 AF BF 为 1 AF BF AF BF 4 根据椭圆定义 平行四边形 所以 1 1 AF AF BF BF 4a 所以8 4a 解得a 2 因为点M 到直线 有 1 1 l 3x 4y 0 的距离不小于 4 5 即 4b 4 b 1 所以b 2 1 5 5 8 所以a2 c

16、2 1 4 c2 1 解得0 c 3 所以0 c 3 所以椭圆的离 a 2 3 心率的取值范围为 0 2 12 D 解析 由题意可设Q 10 cos sin 圆的圆心坐标为C 0 6 圆心到Q 的距 离为 10 cos 2 sin 6 2 50 9 sin 2 2 50 5 2 CQ 当且 3 2 仅当 sin时取等号 所以 PQ CQ r 5 2 2 6 2 所以 max max 3 P Q 两点间的最大距离是6 2 13 D 解析 设A x y B x y 则 1 1 2 2 x x 2 1 2 y y 2 1 2 x y 2 2 1 21 21 a b xy 2 2 2 2 1 2 2 a b x x x x y y y y 得1 2 1 2 1 2 1 2 a b 2 2 0 k 2 b x x 2 a y y b 2 a 2 又 0 1 3 1 1 2 b 2 a 2 1 2 c 2 a2 b2 又 9 2 x y 故选 D 2 2 解得b 2 9 a 2 18 椭圆方程为 1 18 9 14 D 解析 c 1 a 2 b 3 选 D 15 C 解析 F PF 是底角为30