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1、专题九解析几何 第二十六讲椭圆 2019 年 1 2019 全国 I 理 10 已知椭圆 C 的焦点为F1 1 0 F2 1 0 过 F 2 的直线与 C 交于 A B 两点 若 AF 2 F B AB BF 则 C 的方程为 2 2 1 A x 2 2 y 2 1 B x y C 2 2 1 3 2 xy D 2 2 1 4 3 xy 2 2 1 5 4 2 2019 全国 II 理 21 1 已知点A 2 0 B 2 0 动点 M x y 满足直线AM 与 BM 的斜 率之积为 1 2 记 M 的轨迹为曲线C 1 求 C 的方程 并说明C 是什么曲线 x y 2 2 3 2019 北京理
2、4 已知椭圆 2 2 1 a b 0 的离心率为 a b 1 2 则 A a 2 2b 2 B 3a 2 4b 2 C a 2b D 3a 4b 4 2019 全国 III 理 15 设F1 F2 为椭圆 C x y 的两个焦点 M 为 C上一点且在第 2 2 1 36 20 一象限 若 M F1F2 为等腰三角形 则M 的坐标为 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 全国卷 已知 x y 2 2 F C 2 2 1 a b 0 F 是椭圆的左 右焦点 A 是C 的 1 2 a b 左顶点 点P 在过A 且斜率为 3 6 的直线上 PF F 为等腰三角形 1 2 120 F F P
3、 1 2 则C 的离心率为 1 A 2 3 B 1 2 1 3 C D 1 4 2 2018 上海 设P 是椭圆 x y 上的动点 则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2 2 1 5 3 A 2 2 B 2 3 C 2 5 D 4 2 3 2017 浙江 椭圆 x y 的离心率是 2 2 1 9 4 A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 4 2017 新课标 已知椭圆C xy 2 2 2 2 1 0 a b 的左 右顶点分别为 a b A 1 A 2 且以线段A A 为直径的圆与直线bx ay 2ab 0 相切 则 C 的离心率为 1 2 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D
4、1 3 x y 2 2 5 2016 年全国 III 已知 O 为坐标原点 F 是椭圆 C 2 2 1 a b 0 的左焦点 A a b B 分别为 C 的左 右顶点 P 为 C 上一点 且PF x 轴 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交 于点 M 与 y 轴交于点E 若直线BM 经过 OE 的中点 则C 的离心率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 x x 2 2 6 2016 年浙江 已知椭圆C 2 1 C 2 1 y m 1 与双曲线y 2 2 n 0 的焦 1 2 m n 点重合 e e 分别为C C 的离心率 则 1 2 1 2 A m n 且e e B m n 且
5、e e 1 2 1 1 2 1 C m n 且e e D m n 且e e 1 2 1 1 2 1 x 2 7 2014 福建 设P Q 分别为62 x 和椭圆y 1上的点 则P Q 两点间 2 y 2 2 10 的最大距离是 2 A 5 2 B 46 2 C 7 2 D 6 2 x 2 y 2 8 2013 新课标 1 已知椭圆b 2 1 a b 0 的右焦点为 F 3 0 过点F 的直线交椭圆于 a 2 A B 两点 若AB 的中点坐标为 1 1 则 E 的方程为 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 A 1 B 1 C 1 D 1 45 36 36 27 27
6、18 18 9 9 2012 新课标 设F 1 x y 2 2 F 是椭圆E 1 a b 0 2 2 2 a b 的左 右焦点 P 为直线 3a x 上一点 2PF F 是底角为30 o 的等腰三角形 则 E 的离心率为 1 2 1 2 3 4 A B C D 2 3 4 5 二 填空题 10 2018 浙江 已知点P 0 1 椭圆 x 2 4 2 m 1 上两点A B 满足AP 2PB y m 则当m 时 点B 横坐标的绝对值最大 11 2018 北京 已知椭圆 x y 2 2 M a b 2 2 1 0 双曲线 a b x y 2 2 N 若双曲线N 2 2 1 m n 的两条渐近线与椭圆
7、M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点 则椭圆M 的离心率为 双曲线N 的离心率为 x y 2 2 12 2016 江苏省 如图 在平面直角坐标系xOy 中 F 是椭圆 2 2 1 a b 0 的右焦 a b 点 直线 b y 与椭圆交于B C 两点 且BFC 90 则该椭圆的离心率是 2 y B C O F x x y 的三个顶点 且圆心在x 的正半轴上 则 2 2 13 2015 新课标 1 一个圆经过椭圆1 16 4 该圆的标准方程为 3 14 2014 江西 过点M 1 1 作斜率为 1 的直线与椭圆C 2 xy 2 2 2 2 1 0 相交 a b a b 于A B
8、 两点 若M 是线段AB 的中点 则椭圆C 的离心率等于 15 2014 辽宁 已知椭圆C x y 点M 与C 的焦点不重合 若M 关于C 的焦 2 2 1 9 4 点的对称点分别为A B 线段MN 的中点在C 上 则 AN BN x y 2 2 16 2014 江西 设椭圆 10 C a b 的左右焦点为 a b 2 2 F1 F 作 2 F 作x 轴的垂 2 线与C 交于A B 两点 F1B 与y 轴相交于点D 若AD F1B 则椭圆C 的离心率 等于 y 2 17 2014 安徽 设F1 F2 分别是椭圆 1 01 E x 2 b 的左 右焦点 过点 b 2 F 的 1 直线交椭圆E 于
9、A B 两点 若 AF1 3 BF AF x 轴 则椭圆E 的方程为 1 2 x y 2 2 18 2013 福建 椭圆 1 a b 0 a b 2 2 的左 右焦点分别为 F 焦距为2c 若 1 F 2 直线y 3 x c 与椭圆的一个交点M 满足 MF 则该椭圆的离 1F 2 MF F 2 2 1 心率等于 19 2012 江西 椭圆 x y 2 2 2 2 1 a b 0 的左 右顶点分别是A B 左 右焦点分别 a b 是F F 若 AF F F F B 成等比数列 则此椭圆的离心率为 1 2 1 1 2 1 20 2011 浙江 设F F 分别为椭圆 1 2 x 2 3 y 2 1的
10、左 右焦点 点A B 在椭圆上 若 F A F B 则点A 的坐标是 1 5 2 三 解答题 21 2018 全国卷 设椭圆C x2 2 y 2 1的右焦点为F 过F 的直线l 与C 交于A B 两 点 点M 的坐标为 2 0 4 1 当l 与x 轴垂直时 求直线AM 的方程 2 设O 为坐标原点 证明 OMA OMB 22 2018 全国卷 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C x y 交于A B 两点 线 2 2 1 4 3 段AB 的中点为M 1 m m 0 1 1 证明 k 2 2 设F 为C 的右焦点 P 为 C 上一点 且FP FA FB 0 证明 FA FP FB 成等差数列 并求该
11、数列的公差 23 2018 天津 设椭圆 x x 2 2 2 2 1 a b 0 的左焦点为F 上顶点为B 已知椭圆的离 a b 心率为 5 3 点A 的坐标为 b 0 且FB AB 6 2 1 求椭圆的方程 2 设直线l y kx k 0 与椭圆在第一象限的交点为P 且l 与直线AB 交于点Q 若 AQ PQ 5 2 sin AOQ O 为原点 求 k 的值 4 24 2017 新课标 已知椭圆C x y 2 2 2 2 1 a b 0 四点 a b P 1 1 1 P 2 0 1 3 P 1 3 2 3 P 1 中恰有三点在椭圆C 上 4 2 1 求C 的方程 2 设直线l 不经过P 点且
12、与C 相交于A B 两点 若直线 2 P A 与直线 2 P B 的斜率的和 2 为1 证明 l 过定点 25 2017 新课标 设O 为坐标原点 动点M 在椭圆C x 2 2 y 2 1上 过M 做x 轴 的垂线 垂足为N 点P 满足NP 2NM 1 求点P 的轨迹方程 5 2 设点Q 在直线x 3上 且OP PQ 1 证明 过点P 且垂直于OQ 的直线l 过 C 的左焦点F x y 2 2 26 2017 江苏 如图 在平面直角坐标系xOy 中 椭圆E 2 2 1 a b 0 的左 a b 右焦点分别为 F 1 F 离心率为 2 1 2 两准线之间的距离为8 点P 在椭圆E 上 且位 于第
13、一象限 过点F作直线PF 的垂线l 过点 1 1 1 F 作直线 2 PF 的垂线l 2 2 1 求椭圆E 的标准方程 2 若直线l l 的交点Q 在椭圆E 上 求点P 的坐标 1 2 27 2017 天津 设椭圆 x y 2 2 的左焦点为F 右顶点为A 离心率为1 2 2 1 0 a b a b 2 已 知A 是抛物线y 2 2px p 0 的焦点 F 到抛物线的准线l 的距离为1 2 求椭圆的方程和抛物线的方程 设l 上两点P Q 关于x 轴对称 直线AP 与椭圆相交于点B B 异于点A 直线BQ 与x 轴相交于点D 若 APD 的面积为 6 2 求直线AP 的方程 x y 2 2 a
14、b 0 的离心率为2 28 2017 山东 在平面直角坐标系xOy 中 椭圆 E 2 2 1 a b 2 焦距为2 求椭圆E 的方程 6 3 如图 动直线l y k x 交椭圆 E 于 A B 两点 C 是椭圆 E 上一点 直线OC 1 2 的斜率为 k 且 2 2 k k M 是线段OC 延长线上一点 且MC AB 2 3 1 2 4 e M 的半径为MC OS OT 是e M 的两条切线 切点分别为S T 求SOT 的 最大值 并求取得最大值时直线l 的斜率 y S M C T x O l A B x y 2 2 的离心率为3 29 2016 年北京 已知椭圆C 2 2 1 a b 0 a
15、 b 2 A a 0 B 0 b O 0 0 OAB 的面积为 1 求椭圆C 的方程 设P 是椭圆C 上一点 直线PA 与y 轴交于点M 直线PB 与x 轴交于点N 求证 AN BM 为定值 30 2015 新课标2 已知椭圆C 9x 2 y 2 m 2 m 0 直线l 不过原点O 且不平行于 坐标轴 l 与 C 有两个交点A B 线段 AB 的中点为M 证明 直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值 m 若 l 过点 m 延长线段OM 与 C 交于点 P 四边形OAPB 能否为平行四边 3 行 若能 求此时l 的斜率 若不能 说明理由 x y 2 2 的离心率为2 31 2015 北京 已知
16、椭圆C 2 2 1 a b 0 a b 2 点 P 0 1 和点 7 A m nm 0 都在椭圆C 上 直线 PA 交 x 轴于点M 求椭圆 C 的方程 并求点M 的坐标 用m n 表示 设 O 为原点 点B 与点A 关于 x 轴对称 直线PB 交 x 轴于点N 问 y 轴上是 否存在点Q 使得OQM ONQ 若存在 求点Q 的坐标 若不存在 说明 理由 x y 2 2 32 2015 安徽 设椭圆E 的方程为 2 2 1 a b 0 点O 为坐标原点 点A 的坐 a b 标为a 0 点B 的坐标为0 b 点M 在线段 AB 上 满足 BM 2 MA 直线OM 的斜率为 5 10 求E 的离心率e 设点C 的坐标为0 b N 为线段AC 的中点 点N 关于直线AB 的对称点 的纵坐标为 7 2 求E 的方程 33 2015 山东 平面直角坐标系xOy 中 已知椭圆C xy 2 2 2 2 1 a b 0 的离心率 a b 为 3 2 左 右焦点分别是 F 1 F 以 2 F 为圆心以3 为半径的圆与以 1 F 为圆心以1 2 为半径的圆相交 且交点在椭圆C 上 求椭圆C 的方程 x y
