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1、考点 12 平面向量的线性表示 知识框图 自主热身 归纳总结 1 2019 无锡期末 在四边形 ABCD 中 已知 AB a 2b BC 4a b CD 5a 3b 其 中 a b 是不共线的向量 则四边形ABCD的形状是 答案 梯形 解析 因为 AD AB BC CD a 2b 4a b 5a 3b 8a 2b 所以 AD 2BC 即 AD BC 且 AD BC 所以 四边形 ABCD 是梯形 2 2017 年苏州期末 设 1e与2e是两个不共线向量 1232ee uuu r AB 12ee uuu r CBk 1232ee uuu r CDk 若 A B D三点共线 则 k 答案 4 9
2、k 解析 12 3 21 BDCDCBkk uuu ruuu ruuu r ee 设 ABBD u uu ruuu r 则 3 3k且 12 2k 解 得 4 9 k 3 2017徐州期末 在 ABC 中 若点 D E F 依次是边 AB上的四等分点 设 1 e uu u r CB 2 e uu u r CA 用 1 e 2 e表示 uuu r CF 则 uuu r CF 答案 ee 21 4 1 4 3 解析 在ABC中 12 ee uuuvuuu v uu u v AB AC CB 3 4 AFAB uuu vuuu v 所以 uuu vuuu vuuu v CFCAAF 21212 33
3、1 444 eeeee 4 2016 年南通一模 如图 在ABC中 D E 分别为边 BC AC 的中点 F 为边 AB 上 的点 且3ABAF uuu ruuu r 若ADxAFyAE uuu ruu u ruuu r x yR 则 xy的值为 答案 5 2 解析 因为 D 为 BC 的中点 所以 113 32 222 ADABACAFAEAFAE uu u ruu u ruu u ru uu ruuu ruuu ruu u r 故 3 1 2 xy 5 2 xy 5 2017泰州期中 如图 平面内有三个向量 uu u r OA uu u r OB u uu r OC 其中 u u u r
4、OA与 u uu r OB的夹角为 120 u u u r OA与 uu u r OC的 夹 角 为 30 且 3 2 2 3 2 uuu ruuu ruuu r OAOBOC 若 R u uu ruuu ruuu r OCOAOB 则 答案 2 4 3 解析 设与OA u uu r OB uuu r 同方向的单位向量分别为a b 依题意有 42ab uuu r OC 又 2a uuu r OA 3 2 b uuu r OB 则 4 2 3 OCOAOB uuu ruuu ruuu r 所以 2 4 3 A B C O 6 2016 年苏北四市联考 如图 一直线EF与平行四边形ABCD的两边
5、AB AD分别交于 E F 两点 且交其对角线于K 其中 2 5 uuu ruuu r AEAB 1 2 uuu ruuu r AFAD u uu ru uu r AKAC 则的值为 答案 2 9 解析 因为点 F K E共线 故可设 21 1 52 uu uruuu ruuu ruuu ruuu r m AKmAEm AFmABAD 又 uuu ruuu ruuu ruuu r AKACABAD 所以 21 52 m m 解得 2 9 问题探究 变式训练 题型一向量的共线定理与平面向量的线性运算 知识点拨 注意平行四边形法则和三角形法则的灵活运用 例 1 2018 南京学情调研 设向量 a
6、1 4 b 1 x c a 3b 若 a c 则实数 x 的值是 答案 4 解析 因为 a 1 4 b 1 x c a 3b 2 4 3x 又 a c 所以 4 3x 8 0 解得 x 4 变式 1 2017 南京学情调研 已知向量 a 1 2 b m 4 且 a 2a b 则实数 m 的值为 答案 2 解法 1 由题意得 a 1 2 2a b 2 m 8 因为 a 2a b 所以 1 8 2 m 2 0 故 m 2 解法 2 因为 a 2a b 所以存在实数 使得 a 2a b 即 2 a b 所以 2 2 4 m 4 所以 2 m且 2 4 4 得 4 m 2 解法 3 因为 a 2 a
7、b 所以 a b 所以 4 2m 即 m 2 变式 2 2017 苏州暑假测试 设 x y R 向量 a x 1 b 2 y 且 a 2b 5 3 则 x y 答案 1 解析 由 题 意得 a 2b x 4 1 2y 5 3 所 以 x 4 5 1 2y 3 解得 A B C D E F K x 1 y 2 所以 x y 1 变式3 已知点C D E 是线段AB的四等分点 O为直线AB外的任意一点 若 uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r OCODOEm OAOB 则实数m的值为 答案 2 3 m 解析 因为 u uu ru u u ruu u r OCODOEm uuu ruu
8、u r OAOB 所以3 u u u r ODm2 u uu r OD 2 3 m 关联 1 2016 南京 盐城 徐州二模 已知O为ABC 的外心 若51213OAOBOC0 uuu ruuu ruuu r 则C 答案 3 4 解析 由已知等式得OCOBOA13125 平方得16912014425OBOA 故0OBOA 得 2 AOB 若C为锐角 则OBOA125与OC反向 与条件矛盾 故C 为钝角 从而 4 3 C 误点警示 若C为锐角 则AOB与C分别是同弧所对的圆心角与圆周角 此时 AOB 2C 若C为钝角 由AOB与C的关系是CAOB 2 1 因此 必须对C 进行分类讨论 本题从条件
9、OCOBOA13125判断知 C必为钝角 关联 2 在 ABC中 C 45 O是 ABC 的外心 若 OC mOA nOB m n R 则 m n 的取值范围是 答案 2 1 思路分析本题中三点在圆 O上是一个关键条件 可以建立坐标系求出m n的关系式 再 利用三角换元求解 也可以对向量等式两边平方后得到m n 的关系式 再利用线性规划求 解 因为 C 4 O是 ABC外心 所以 AOB 90 OC mOA nOB 所以 C在优弧 AB上 建立如图所示的平面直角坐标系 不妨设半径为1 则 A 0 1 B 1 0 设 C cos sin 2 2 代 入 OC mOA nOB 可 得 n cos
10、m sin 即 m n cos sin 2 sin 4 又 4 3 4 9 4 所以 m n 2 1 解后反思本题易错在没有注意点C 在优弧 AB上 错误的认为点C 在整个圆上 本题是 典型的二元函数的值域问题 解题方法比较多 可以用基本不等式 线性规划 三角换元 但由于点C 在圆弧上 最好的方法建立坐标系 利用三角函数求解 定义域的寻找也较为简 单 题型二平面向量的基本定理的应用 知识点拨 运用平面向量基本定理表示向量的本质就是利用平行四边形法则或三角形法则进 行向量的加法和减法数乘 要特别注意用基底表示向量有时要借助于几何性质 如平行和相 似 例 2 2019 苏北四市 苏中三市三调 如图
11、 正六边形ABCDEF中 若ADACAE uuu ruuu ruuu r R 则的值为 答案 4 3 解析 建系 坐标法 如图设六边形边长为2 0 0 A 2 0 B 3 3 C 2 2 3 D 0 2 3 E 由ADACAE uu u ru uu ruu u r 得 2 23 3 3 0 23 2 2 3 3 2 23 3 2 3 3 故 4 3 E A B C D E F 第 1 题 A B C 6 2 3 5 第 2 题 变式 1 2019 泰州期末 已知点 P为平行四边形 ABCD 所在平面上一点 且满足 PA PB 2PD 0 PA PB PC 0 则 答案 3 4 思路分析 由于题
12、中出现了四个向量 因此可以考虑消去PC 或PD 再根据平面向量基 本定理 即可求得 和 的值 解法 1 转化法 如图 因为 PA PB 2PD 0 所以 PA PB 2 PC CD 0 即PA PB 2 PC BA 0 即PA PB 2 PC PA PB 0 所以 3PA PB 2PC 0 即 3 2PA 1 2PB PC 0 所以 3 2 1 2 3 4 解法 2 基底法 因为 1 2PA 1 2PB PD 0 PA PB PC 0 两式相减得 1 2 PA 1 2 PB DC 1 2 PA 1 2 PB PB PA 0 所以 1 2 1 1 2 1 3 2 1 2 3 4 解法 3 几何法
13、 取 AB中点 E 则PA PB 2PE 2PD 所以PD EP 即 P为 DE中点 延长 CP交 BA延长线于点 F 易知 A E为 BF的三等分点 且P为 CF中点 由PA 1 3PB 2 3PF 1 3PB 2 3PC 得 3 2PA 1 2PB PC 0 所以 3 4 解后反思本题考查了平面向量基本定理 也就是平面向量分解的唯一性定理 解法1 把PD 用其他三个向量来表示 根据平面向量的基本定理得到 和 的值 解法2 两式相 减 同时消去了 PC PD 转化为以 PA PB 为基向量的方程 解法 3 通过构造三角形 根据向 量的线性运算 找到PA PB PC 这三个向量的关系式 以上三
14、种解法都可以称为基底法 此 外本题可以将平行四边形特殊化为矩形或正方形 通过坐标法来处理 变式 2 在 ABC 中 AB 2 AC 3 角 A的平分线与 AB边上的中线交于点O 若AO xAB yAC x y R 则 x y 的值为 答案 5 8 解析 如图 在 ABC中 AD为 BAC的平分线 CE为 AB边的中线 且 AD CE O 在 AEO 中 由正弦定理得 AE sin AOE EO sin EAO 在 ACO 中 由正弦定理得 AC sin AOC CO sin CAO 两 式相除得 AE AC EO OC 因为 AE 1 2AB 1 AC 3 所以 EO OC 1 3 所以 CO
15、 3OE 即AO AC 3 AE AO 即 4AO 3AE AC 所以 4AO 3 2AB AC 从而 AO 3 8AB 1 4AC 因为 AO xAB yAC 所以 x 3 8 y 1 4 于是 x y 5 8 课本探源本题的难点是 EO OC 1 3关系的建立 借助于正弦定理 可以证明 AE AC EO OC 实际上 必修 5P54例 5 已经证明了此结论 若能够想到这一点 理顺本题的解题思路就容易多了 在 ABC中 AD是 BAC的平分线 用正弦定理证明 AB AC BD DC 变式 3 如图 在平行四边形 ABCD中 AC BD相交于点O E为线段AO的中点 若BE BA BD R 则
16、 答案 3 4 解析 因为 O E分别是 AC AO的中点 所以 BE BA AE BA 1 4AC BA 1 4 BC BA 3 4BA 1 4BC 又BE BA BD BA BC CD BA BC 故 3 4 变式 4 2017 苏州期末 在ABC中 2BDDC uuu ruuu r 若 12 ADABAC uuu ruuu ruuu r 则 12的值 为 答案 2 9 因为 1 3 ADACCDACCB uuu ruu u ruu u ruuu ruu u r 而 CB ABAC u uu ruu u ruuu r 所以 12 33 ADABAC u uu ruuu ruuu r 所以 12 12 33 则 12的值为 2 9 关联 1 2016 年南通一模 如图 在 ABC 中 BO为边 AC上的中线 2BGGO uuu ruu u r 设CD uuu r AG uu u r 若 1 5 ADABAC uuu ru uu ru uu r R 则的值为 答案 6 5 思路一 1211 3333 AGABAOABAC uuu ru uu ru uu ruuu ruuu r 1 1
