《考点12导数的应用-备战2020年高考数学(理)考点一遍过 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点12导数的应用-备战2020年高考数学(理)考点一遍过 .pdf（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师整理 助你成功 考点 12 导数的应用 1 导数在研究函数中的应用 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函 数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函 数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 2 生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 一 导数与函数的单调性 一般地 在某个区间 a b 内 1 如果 0fx 函数 f x 在这个区间内单调递增 2 如果 0fx 函数 f x 在这个区间内单调递减 3 如果 0fx 函数 f
2、 x 在这个区间内是常数函数 注意 1 利用导数研究函数的单调性 要在函数的定义域内讨论导数的符号 2 在某个区间内 0fx 0fx 是函数 f x 在此区间内单调递增 减 的充分条件 而不是必 要条件 例如 函数 3 f xx在定义域 上是增函数 但 2 30fxx 3 函数 f x 在 a b 内单调递增 减 的充要条件是 0fx 0fx 在 a b 内恒成立 且 fx 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 在区间内的个别点处有 0fx 不影响函数f x 在区间内的单调性 二 利用导数研究函数的极值和最值 1 函数的极值 一般地 对于函数y f x 1 若在点 x a 处有 f
3、 a 0 且在点x a 附近的左侧 0f x 右侧 0f x 则称 x a 为 f x 的 极小值点 f a叫做函数 f x 的极小值 2 若在点 x b 处有 f b 0 且在点x b 附近的左侧 0f x 右侧 0f x 则称 x b 为 f x 名师整理 助你成功 的极大值点 f b叫做函数f x 的极大值 3 极小值点与极大值点通称极值点 极小值与极大值通称极值 2 函数的最值 函数的最值 即函数图象上最高点的纵坐标是最大值 图象上最低点的纵坐标是最小值 对于最值 我 们有如下结论 一般地 如果在区间 a b上函数yfx的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有 最大值与最小值 设函数fx
4、在 a b上连续 在 a b内可导 求fx在 a b上的最大值与最小值的步骤为 1 求fx在 a b内的极值 2 将函数fx的各极值与端点处的函数值 f a f b比较 其中最大的一个是最大值 最小的一 个是最小值 3 函数的最值与极值的关系 1 极值是对某一点附近 即局部 而言 最值是对函数的定义区间 a b的整体而言 2 在函数的定义区间 a b内 极大 小 值可能有多个 或者没有 但最大 小 值只有一个 或 者没有 3 函数 f x 的极值点不能是区间的端点 而最值点可以是区间的端点 4 对于可导函数 函数的最大 小 值必在极大 小 值点或区间端点处取得 三 生活中的优化问题 生活中经常
5、遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问题 导数是求函数 最值问题的有力工具 解决优化问题的基本思路是 考向一 利用导数研究函数的单调性 1 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性 实质上就是判断或证明不等式 0fx 0fx 在给定区间上恒成立 一般步骤为 1 求 f x 名师整理 助你成功 2 确认 f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 0fx时为增函数 0fx时为减函数 注意 研究含参数函数的单调性时 需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 2 在利用导数求函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解题过程中 只能在定义域内讨论 定义 域为实
6、数集 R可以省略不写 在对函数划分单调区间时 除必须确定使导数等于零的点外 还要注意在定 义域内的不连续点和不可导点 3 由函数fx的单调性求参数的取值范围的方法 1 可导函数在某一区间上单调 实际上就是在该区间上0fx 或0fx fx在该区间的 任意子区间内都不恒等于0 恒成立 然后分离参数 转化为求函数的最值问题 从而获得参数的取值 范围 2 可导函数在某一区间上存在单调区间 实际上就是 0fx 或 0fx 在该区间上存在解集 这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题 3 若已知fx在区间 I 上的单调性 区间 I 中含有参数时 可先求出fx的单调区间 令 I 是其单 调区间的子集 从而
7、可求出参数的取值范围 4 利用导数解决函数的零点问题时 一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点 再利 用导数判断在所给区间内的单调性 由此求解 典例 1 若 12 1xx 则 A 12 21 ee xx xx B 12 21 ee xx xx C 2112lnlnxxxxD 2112lnlnxxxx 答案 A 解析 令 e 1 x fxx x 则 2 1 e 0 x x fx x fx 在 1 上单调递增 当 12 1xx时 12 12 ee xx xx 即 12 21 ee xx xx 故 A 正确 B 错误 令 ln 1 x g xx x 则 2 1ln x gx x 令0
8、g x 则 ex 名师整理 助你成功 当1ex时 0gx 当ex时 0gx g x在1 e上单调递增 在e 上单调递减 易知C D 不正确 故选 A 名师点睛 本题考查利用导数研究函数单调性 考查基本分析判断能力 属中档题 根据条件构造函数 再利用导数研究单调性 进而判断大小 典例 2 已知函数 21 ln 1 1 2 f xaxxax 1 当1a时 求函数 f x的单调递增区间 2 若函数fx在 0 上单调递增 求实数a的取值范围 解析 由题意得 fx的定义域为 0 1 当1a时 2 1 ln1 2 fxxx 则 2 11 0 x fxxx xx 当0 1x时 0fx 当1 x时 0fx f
9、x 的单调递增区间为 1 2 2 11 10 xaxaxax a fxxax xxx 当0a时 0fx在 0 上恒成立 fx 在 0 上单调递增 可知 0a满足题意 当0a时 0a 当 0 xa 时 0fx 当 xa 时 0fx fx在0 a上单调递减 在 a上单调递增 不满足题意 综上所述 0 a 名师点睛 本题考查利用导数求解函数的单调区间 根据函数在区间内的单调性求解参数取值范围的问 题 关键是能够明确导数和函数单调性之间的关系 根据导函数的符号来确定函数的单调性 名师整理 助你成功 1 已知函数 2 1 ln1f xaxax 1 讨论函数 f x 的单调性 2 设 2a 证明 对任意
10、12 0 x x 1212 4f xfxxx 考向二 利用导数研究函数的极值和最值 1 函数极值问题的常见类型及解题策略 1 函数极值的判断 先确定导数为0 的点 再判断导数为0 的点的左 右两侧的导数符号 2 求函数fx极值的方法 确定函数fx的定义域 求导函数fx 求方程0fx的根 检查fx在方程的根的左 右两侧的符号 确定极值点 如果左正右负 那么fx在这个根处取 得极大值 如果左负右正 那么fx在这个根处取得极小值 如果fx在这个根的左 右两侧符号 不变 则fx在这个根处没有极值 3 利用极值求参数的取值范围 确定函数的定义域 求导数fx 求方程0fx的根的情况 得关于参数的方程 或不
11、等式 进而确定参数的取值或范围 2 求函数f x 在 a b 上最值的方法 1 若函数 f x 在 a b 上单调递增或递减 f a 与 f b 一个为最大值 一个为最小值 2 若函数 f x 在区间 a b 内有极值 先求出函数f x 在区间 a b 上的极值 与f a f b 比较 其 中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 3 函数 f x 在区间 a b 上有唯一一个极值点时 这个极值点就是最大 或最小 值点 注意 1 若函数中含有参数时 要注意分类讨论思想的应用 2 极值是函数的 局部概念 最值是函数的 整体概念 函数的极值不一定是最值 函数的最值 也不一定是极值 要注意利用函数的
12、单调性及函数图象直观研究确定 3 利用导数解决不等式恒成立问题的 两种 常用方法 1 分离参数法 将原不等式分离参数 转化为不含参数的函数的最值问题 利用导数求该函数的最值 根据要求得所求范围 一般地 f xa恒成立 只需 min f xa即可 f xa恒成立 只需 名师整理 助你成功 max fxa即可 2 函数思想法 将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题 利用导数求该函数的极值 最值 然后构建不等式求解 典例 3 若函数 32 61f xxaxax有极大值和极小值 则 a的取值范围是 A 1 2B 12 U C 3 6D 36 U 答案 D 解析 32 61f xxaxax 则 2
13、326fxxaxa 因为 f x 有极大值和极小值 所以 2 3260fxxaxa 有两个不等的实数根 所以 2 41260aa 即 2 3180aa 解得3a或6a 所以所求a的取值范围是 3 6 U 故选 D 名师点睛 本题考查函数的极值与导数 三次多项式函数有极大值和极小值的充要条件是其导函数 二次函 数 有两个不等的实数根 求解时 三次函数 f x有极大值和极小值 则 0fx有两个不等的实数根 答 案易求 典例 4 已知函数 21 e 2 x fxaxx 1 当1a时 试判断函数 f x的单调性 2 若1ea 求证 函数 f x在 1 上的最小值小于 1 2 解析 1 由题可得 e x
14、 f xxa 设 ex xxgf xa 则 e1 x gx 所以当0 x时 0gx f x在 0 上单调递增 当0 x时 0gx f x在 0 上单调递减 名师整理 助你成功 所以 10 f f xa 因为1a 所以1 0a 即 0f x 所以函数 f x 在R上单调递增 2 由 1 知 f x在 1 上单调递增 因为1ea 所以 e 110f a 所以存在 1 t 使得 0f t 即e 0 t ta 即e t at 所以函数 f x 在 1 t上单调递减 在 t 上单调递增 所以当 1 x时 222 min 111 ee e e 1 222 tttt fftattt tttxt 令 21 e
15、 1 2 x hxxx 1x 则 1e 0 x h xx恒成立 所以函数 h x在 1 上单调递减 所以 211 e 1 1 1 22 h x 所以 2 11 e 1 22 t tt 即当 1 x 时 min 1 2 xf 故函数 f x在 1 上的最小值小于 1 2 2 已知函数 1 lnfxa xx x 其中a为实常数 1 若 1 2 x是fx的极大值点 求fx的极小值 2 若不等式 1 lna xbx x 对任意 5 0 2 a 1 2 2 x恒成立 求 的最小值 考向三 导 函数图象与单调性 极值 最值的关系 1 导数与函数变化快慢的关系 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么
16、函数在这个范围内变 化得快 这时函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 名师整理 助你成功 2 导函数为正的区间是函数的增区间 导函数为负的区间是函数的减区间 导函数图象与x 轴的交点的横 坐标为函数的极值点 典例5 设函数 2 f xaxbxc a b cR 若函数 e x yf x在1x处取得极值 则下列 图象不可能为 yf x的图象是 答案 D 解析 2 e ee 2 xxx yfxf xaxab xbc 因为函数 e x yfx在1x处取得极值 所以1x是 2 2 0axab xbc的一个根 整理可得ca 所以 2 f xaxbxa 对称轴为 1 2 0 2 b xfab fa a 对于 A 由图可得0 0 0 1 0aff 适合题意 对于 B 由图可得0 0 0 1 0aff 适合题意 对于 C 由图可得0 0 0 00 1 0 2 b afxbf a 适合题意 对于 D 由图可得0 0 0 12 1 0 2 b afxbaf a 不适合题意 故选 D 3 设函数fx在R 上可导 其导函数为fx 若函数fx在1x处取得极大值 则函数yxfx 的图象
