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1、考点 02 二次函数及指 对数函数问题的探究 知识框图 自主热身 归纳提炼 1 2019 南京 盐城一模 已知 y f x 为定义在R 上的奇函数 且当x 0 时 f x ex 1 则 f ln2 的值 为 答案 3 解析 因为 f x 为奇函数 所以f ln2 f ln2 eln2 1 2 1 3 2 2016 常州期末 函数 f x log2 x2 22 的值域为 答案 3 2 解析 由题意可得 x2 2 2 0 即 x2 2 2 0 22 故所求函数的值域为 3 2 3 2018 南京 盐城 连云港二模 函数 f x lg 2 x 的定义域为 答案 2 解析 由题意得2 x 0 即 x0
2、 解得 00 得 2 x a 显然 a 0 所以 x log 2a 由题意 得log2a 1 2 即 a 2 解法 2 秒杀解法 当 x 1 2时 必有 1 a 2x 0 解得 a 2 7 2018 苏北四市 苏中三市三调 已知函数f x x2 ax b a b R 的图像与 x 轴相切 若直线y c 与 y c 5 分别交f x 的图像于A B C D 四点 且四边形ABCD 的面积为25 则正实数c 的值为 答案 4 解析 由题意得a2 4b 又由 x2 ax b c 得 AB x1 x2 a2 4 b c 2 c 同理 CD 2 c 5 因为 四边形 ABCD 为梯形 所以25 1 2
3、2 c 5 2 c 5 解得 c 4 8 2017 徐州 连云港 宿迁三检 如图 已知正方形ABCD的边长为2 BC平行于 x轴 顶点A B和 C分别在函数 1 3log a yx 2 2log a yx和 3 logayx 1a 的图象上 则实数a 的值为 答案 2 解析 设 log3 ttA a 0t 因为正方形ABCD的边长为 2 所以 log2 ttB a log2 2 ttC a 则 2log2log3 2 2 tt tt aa 即 2log 02 2 t tt a 解之得 2 2 a t 即所求的实数a的值为2 y x O A D B C 9 2017 徐州 连云港 宿迁三检 已知
4、对于任意的 1 5 xU 都有 2 2 2 0 xaxa 则 实数 a 的取值范围是 答案 5 1 解析 当04 2 4 2 aa 即045 2 aa 41a时 满足题意 当04 2 4 2 aa 即045 2 aa 1a或4a时 则 0 2 105 0 2 21 5 2 2 2 1 2 2 aa aa a 解之得 5 5 73 a a a 所以53a 又因为1a或4a 所以54a 综上所述 实数a的取值范围为 5 1 10 2017 苏北四市一模 已知函数 f x x2 4 a x 2 x 3 3 若 f x 的最大值是0 则实数 a 的取 值范围是 答案 5 解析 思路分析1 通过去绝对值
5、进行分类讨论来求解 思路分析2 注意到函数f x 可以转化为f x x 2 x 2 a 而 x 2 0 因此 需要 x 2 a 0 在 3 3 上恒成立 这样问题就转化为一个简单的恒成立问题了 解法 1 因为函数f x 的最大值为0 故 f x 0 在 3 3 上恒成立 从而f 3 0 解得 a 5 又 f x x2 ax 2a 4 x a 2 2 a 2 4 2a 4 x 2 3 x2 ax 2a 4 x a 2 2 a 2 4 2a 4 x 2 2 x2 ax 2a 4 x a 2 2 a 2 4 2a 4 x 3 2 因为 a 5 所以 a 2 5 2 当 a 2 5 2 3 时 画出
6、f x 的草图 结合图像 可知函数 f x 在 3 a 2 上 单调递减 在 a 2 2 上单调递增 在 2 a 2 上单调递减 在 a 2 3 上单调递增 因为 f 2 0 故f 3 0 且 f 3 0 解得 a 5 当 a 2 3 即 a 6 时 f x 在 a 2 2 上单调递增 在 2 a 2 上单调递减 且f 2 0 所以 f x 0 恒成立 故a 5 解法 2 因为 f x x 2 x 2 a x 2 0 且函数f x 的最大值为0 故 x 2 a 0 在 3 3 上恒 成立 从而a x 2 在 3 3 上恒成立 因为 x 2 min 5 故 a 5 解后反思解法 1 是通过去绝对
7、值的方法来进行分类讨论求解的 在求解的过程中 应用了一般与特殊 的关系来简化了问题的讨论过程 已知函数最大值或最小值 这当中就隐含着一个恒成立 即f x M或 f x M 有效地利用它可以简化问题 解法2 是通过将二次函数问题通过应用函数的特殊特征 将问题转 化为了一次函数来加以解决 简化了问题 当然 本题也可以通过直接对a进行讨论来解决问题 但这样 做要讨论的情形就要比解法1 的解法繁琐得多 问题探究 开拓思维 题型一 一元二次函数最值问题的探究 知识点拨 解决二次函数最值的关键是抓住图象的开口方向 对称轴与区间的相对位置 不等式恒成立问 题关键是看不等式的特点 灵活运用函数的性质 如二次不
8、等式恒成立问题可运用图象 分离变量运用函 数值域法等 已知含参数的方程的解的个数求参数的取值范围时根据方程的特点 可运用函数的图象处 理 例1 2018 年泰州中学期末试题 求二次函数 2 21 3 0 f xaxaxa在区间 3 2 2 上的最大值 解析 2 2 21 21 3 24 aa f xa x aa 对称轴为 21 2 a x a 当 0a 时 当 211 24 a a 时 即 2 5 a 时 max 2 85f xfa 当 211 24 a a 时 即 2 0 5 a时 max 333 242 f xfa 当0a时 21 0 2 a a 当 213 22 a a 时 即10a 时
9、 max 333 242 f xfa 当 321 0 22 a a 时 即1a时 2 max 21 21 3 24 aa f xf aa 综上所述 2 max 21 3 1 4 332 10 425 2 85 5 a a a f xaaa aa 且 变式 1 2018 年金沙中学期中测试试题 已知函数f x 4x2 4mx m2 2m 2 在区间 0 2 上有最小 值 3 求实数m 的取值范围 解析 本题是二次函数在给定区间上的最值问题 主要考查用分类讨论思想解决问题的能力 即具体要考 虑二次函数的对称轴x m 2与给定区间 0 2 的三种位置关系 解析 由题意知f x 4 x m 2 2 2
10、m 2 的图象开口向上 对称轴为x m 2 从而有 m 2 2 fmin x f 2 3 或 0 m 2 2 fmin x f m 2 3 或 m 24 m 5 10 或 0 m 4 m 1 2 或 m 0 m 1 2 m 5 10或 m 1 2 综上所述 实数m的取值范围是m 1 2或 5 10 点评 本题考查了二次函数的性质 配方法 图象法及分类讨论的思想 要注意函数的定义域 要考 虑对称轴是否在函数所给的定义域内 变式 2 2017 年金陵中学期调研 已知函数f x x 2 2ax 1 a在x 0 1 时有最大值2 求a 的值 解析 函数f x x 2 2ax 1 a x a 2 a 2
11、 a 1 对称轴方程为x a 1 当a1 时 f x max f 1 a a 2 综上可知 a 1 或a 2 关联 1 2016 年徐州开学初调研 已知函数y 2sin2x 2asin x 3 有最小值 记作 g a 1 求 g a 的解析式 2 求 g a 的最大值 解 令 sin x t 则 t 1 1 则原题转化为求二次函数f t 2t 2 2at 3 在 t 1 1 上的 最小值 1 由题意知函数f t 的对称轴方程是t a 2 根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类讨 论 当a 2 1 即 a 2 时 g a f 1 2a 5 当 1 a 2 1 即 2 a 2 时 g a f
12、 a 2 3 a 2 2 当a 2 1 即 a 2 时 g a f 1 5 2a 综上可知 函数g a 的解析式为 g a 2a 5 a 2 3 a 2 2 2 a 2 5 2a a 2 2 当 a 2 时 g a 1 当 2 a0 在区间 1 2 上有两个不同的零点 则 f 1 a 的取值范围为 答案 0 1 思路分析 1 由两个零点来表示 f 1 a 所以可设二次函数的零点式 思路分析 2 利用二次函数的零点分布知识得到a b c 的约束条件 将问题转化为线性规划问题解 决 解法 1 二次函数的零点式 设 f x a x x1 x x2 其中 1 x1 x2 2 则 f 1 a x1 1
13、x2 1 因 为 0 x1 10 1 b 2a0 1 b 2a4y 4 x 2 x y 1 0 2x y 4 0 令 z f 1 a x y 1 作可行域 如图 解得 0 z 1 即 f 1 a 的取值范围为 0 1 变式 1 2019 苏州期末 已知函数 2 442 Rf xxaxaa 1 若 f x 的两个零点均小于2 求实数a 的取值范围 2 方程 0f x在 1 2 上有且只有一个实根 求实数a 的取值范围 解析 1 由题意 等价于 2 2 0 2 0 a f 解得1a 或 18 2 7 a 2 当 1 2 0ff时 此时 0f x在 1 2 上有且只有一个实根 得 18 2 7 a
14、当 1 0f时 即2a时 此时 0f x有1x 舍去 当 2 0f时 即 18 7 a 时 此时 0f x有2x或 4 7 x 舍去 综上 18 2 7 a 变式 2 2017 苏锡常镇调研 已知函数 2 442 Rf xxaxaa 若 f x 有一个小于1 与一个大 于 2 的两个零点 求实数a 的取值范围 答案 18 7 a 解析由题意 等价于 1 0 2 0 f f 解得 18 7 a 变式 3 已知函数 2 442 Rf xxaxaa 方程 0f x在 1 2 上有实根 求实数 a 的取值范围 解析 1 当 1 2 0ff时 此时 0f x在 1 2 上有且只有一个实根 得 18 2
15、7 a 当 1 0f时 即2a时 此时 0f x有1x 舍去 当 2 0f时 即 18 7 a时 此时 0f x有 2x或 4 7 x 舍去 当 12 2 2 1 0 2 0 a f f 时 此时 0f x在 1 2 上有两个实根 无解 综上 18 2 7 a 解析 2 方程即为 2 41 42axx 因为12x时410 x 于是 2 42 41 x a x 令41 3 7 tx 设 22 4229 414 xtt y xt 即 19 2 4 yt t 2 19 1 0 4 y t 所以 19 2 4 yt t 在 3 7 t上单调递增 18 2 7 y 所以 18 2 7 a 关联1 201
16、6 苏北四市调研 已知函数 f x 对任意的xR满足 fxf x 且当0 x 时 2 1f xxax 若 f x 有 4 个零点 则实数a 的取值范围是 答案 2 解析 由题意得fx为偶函数 所以fx有 4 个零点 则需当0 x 时 2 1f xxax有两个大于0 的零点 又因为010f 所以 2 0 2 40 a a 解得2a 关联 2 2019 常州期末 若方程 2 210axx至少有一个正根 则实数a的取值范围是 答案 0a 解析 1 记 2 21f xaxx 当0a时 21f xx 0f x解得 1 2 x 不符合条件 当0a时 当 0f x只有一个正根 且0 不是它的根 则有 0 0af或 0 1 0 a 解得0a 当 0f x有两个不等正根 则 0 1 0 0 0 a af 此时 a无解 综上 实数a 的取值范围是0a 解析 2 因为0 x显然不适合方程 2 210axx 于是问题等价于 2 21x a x 至少有一个正根 记 2 21 0 x g xx x 3 1 20 0 x gxx x 所以 g x 在 0 上递增 且 0 g x 所以实数a 的取值范围是0a 题型三
