《考点08对数与对数函数-备战2020年高考数学(理)考点一遍过 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点08对数与对数函数-备战2020年高考数学(理)考点一遍过 .pdf（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师整理 助你成功 考点 08 对数与对数函数 1 理解对数的概念及其运算性质 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 了解对数 在简化运算中的作用 2 理解对数函数的概念 理解对数函数的单调性 掌握对数函数图象通过的特殊点 3 知道对数函数是一类重要的函数模型 4 了解指数函数 x ya与对数函数 logayx互为反函数0 1 aa且 一 对数与对数运算 1 对数的概念 1 对数 一般地 如果 x aN 0 1 aa且 那么数x 叫做以 a 为底N 的对数 记作log a xN 其中 a 叫做对数的底数 N 叫做真数 2 牢记两个重要对数 常用对数 以10 为底的对数lgN 自然
2、对数 以无理数e 2 71828 为底数的对 数 lnN 3 对数式与指数式的互化 log x a aNxN 2 对数的性质 根据对数的概念 知对数log 0 1 aN aa且具有以下性质 1 负数和零没有对数 即0N 2 1 的对数等于0 即log 10 a 3 底数的对数等于1 即log1 a a 4 对数恒等式 log 0 aN aN N 3 对数的运算性质 如果0 1 0 0aaMN且 那么 1 log loglog aaaMN M N 名师整理 助你成功 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa M nM nR 4 对数的换底公式 对数的换底公式 lo
3、g log 0 1 0 1 0 log c b c N NbbccN b 且且 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数 进而进行化简 计算或证明 换底公式应用时究竟换成 什么为底 由已知条件来确定 一般换成以10 为底的常用对数或以e 为底的自然对数 换底公式的变形及推广 1 loglog01 0 且 m n a a n bb aab m 2 1 log01 01 log 且且 a b baabb a 3 log logloglog abca bcdd 其中 a b c 均大于 0 且不等于 1 d 0 二 对数函数及其性质 1 对数函数的概念 一般地 我们把函数 log 0 1 a y
4、x aa且 叫做对数函数 其中x 是自变量 函数的定义域是 0 2 对数函数的图象和性质 一般地 对数函数 log 0 1 a yx aa且的图象与性质如下表所示 01a1a 图象 定义域 0 值域 R 性质 过定点 1 0 即1x时 0y 在 0 上是减函数在 0 上是增函数 名师整理 助你成功 当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y 0 当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y 0 在直线1x的右侧 当1a时 底数越大 图象越靠近x 轴 当01a时 底数越小 图象越靠近x 轴 即 底大图低 3 对数函数与指数函数的关系 指数函数 x y a 0a且 1a 与对数函数 log
5、0 a yx a且 1a 互为反函数 其图象关于直线 yx 对称 考向一 对数式的化简与求值 对数运算的一般思路 1 对于指数式 对数式混合型条件的化简与求值问题 一般可利用指数与对数的关系 将所给条件统一 为对数式或指数式 再根据有关运算性质求解 2 在对数运算中 可先利用幂的运算性质把底数或真数变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后运用对数的运算性质 换底公式 将对数式化为同底数对数的和 差 倍数运算 注意 1 在利用对数的运算性质log loglog aaa MN M N与loglog n aa M nM nR进行化简与求值 时 要特别注意题目的前提条件 保证转化关系的等价性
6、2 注意利用等式lg 2lg51 典例 1 化简 1 7 1 log 0 2 3 log27lg25lg479 8 2 2 2 lg 25lg8lg5lg 20lg 2 3 答案 1 5 2 3 解析 1 7 1 log 0 2 3 log27lg25lg479 8 名师整理 助你成功 3 22 2 3 1 log 3lg5lg21 2 33 2lg52lg2 22 32 lg5lg2 32lg10 32 1 5 2 2 2 lg 25lg8lg5lg 20lg 2 3 2 232 lg5lg 2lg5lg5lg 4lg 2 3 22 2lg52lg 2lg52lg5lg 2lg 2 2 2
7、lg5lg 2lg5lg 2 2 2lg10lg10 2 1 3 名师点睛 本题主要考查了对数的运算 其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键 着 重考查了推理与运算能力 典例 2 已知函数13 x fx 若 3 2 1og 2 fa 则a A 1 3 B 1 4 C 1 2 D 2 答案 D 解析 根据题意有 3 log 3 12 log1 31 2 a fa a 解得2a 故选 D 名师点睛 该题考查的是已知函数值求自变量的问题 在求解的过程中 需要对指数式和对数式的运算 性质了如指掌 首先将自变量代入函数解析式 利用指对式的运算性质 得到关于参数a的等量关系式 即 名师整理 助
8、你成功 可求得结果 1 若点 1414 log7 log56在函数 3f xkx的图象上 则 f x的零点为 A 1 B 3 4 C 2 D 3 2 2 方程 33 log3 25log410 xx 的解为x 考向二对数函数的图象 1 对数函数 log 0 1 a yx aa且 的图象过定点 1 0 所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的 问题 只需令真数为1 解出相应的 x y 即可得到定点的坐标 2 当底数1a时 对数函数 log a f xx是 0 上的增函数 当 1x时 底数 a的值越小 函数图 象越 陡 其函数值增长得越快 当底数01a时 对数函数 log a fxx是 0 上的
9、减函数 当01x时 底数a的值越大 函数图象越 陡 其函数值减小得越快 也可作直线y 1 与所给图象相 交 交点的横坐标即为各个底数 依据在第一象限内 自左向右 图象对应的对数函数的底数逐渐变大 可比较底数的大小 3 对一些可通过平移 对称变换作出其图象的对数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点 时 常利用数形结合思想求解 特别地 要注意底数1a和01a的两种不同情况 有些复杂的问题 借助于函数图象来解决 就变得简单了 这是数形结合思想的重要体现 4 一些对数型方程 不等式问题常转化为相应的函数图象问题 利用数形结合法求解 典例 3 若函数log 0 1 且 a yx aa的图象
10、如图所示 则下列函数图象正确的是 答案 B 解析 由题图可知log 0 1 且 a yx aa的图象过点 3 1 则log 31 a 即3a 名师整理 助你成功 A 项 1 3 x y在R上为减函数 错误 B 项 3 yx 符合 C 项 33 yxx在R上为减函数 错误 D 项 3 log yx在 0 上为减函数 错误 故选 B 典例 4 已知函数 2 log 0 3 0 x x f x x x 且函数h xfxxa有且只有一个零点 则实数a 的取 值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 答案 B 解析 如图所示 在同一平面直角坐标系中分别作出yfx与yxa的图象 其中a 表示直线 yxa在
11、 y 轴上的截距 由图可知 当1a时 直线yxa与yfx只有一个交点 故选 B 3 在同一平面直角坐标系中 函数0 a fxxx logag xx的图象可能是 A B C D 考向三 对数函数性质的应用 对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一 多以选择题或填空题的形式呈现 难度易 中 难 都有 且主要有以下几种命题角度 1 比较对数式的大小 若底数为同一常数 则可由对数函数的单调性直接进行判断 若底数为同一字母 则需对底数进行分类 讨论 名师整理 助你成功 若底数不同 真数相同 则可以先用换底公式化为同底后 再进行比较 若底数与真数都不同 则常借助1 0 等中间量进行比较 2 解对数不
12、等式 形如loglog aa xb的不等式 借助log a yx的单调性求解 如果 a 的取值不确定 需分1a与01a 两种情况讨论 形如log ax b的不等式 需先将b化为以 a 为底的对数式的形式 再借助 logayx的单调性求解 典例 5 已知 8 log 5a 4 log 3b 2 3 c 则a b c的大小关系是 A abcB bac C bcaD cba 答案 B 解析 3 3 822 2 1 log 5log5log 5log5 3 a 2 422 2 1 log 3log3log 3log3 2 b 2 3 2 2 log 2 3 c 又 3 2 33 23 3 224552
13、5327 且对数函数 2 logyx在 0 上单调递增 cab 故选 B 名师点睛 本题考查对数的运算性质及对数函数的单调性 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 典例 6求不等式 1 log 4 log a a xx的解集 解析 1 logloga a xx 原不等式等价于log 4 log aa xx 名师整理 助你成功 当a 1 时 0 40 4 x x xx 解得 0 x 2 当01a时 0 40 4 x x xx 解得 2 x 4 不等式 1 log 4 log a a xx的解集为 0 2 2 4 U 4 已知2 log 6a 5 log 15b 7 log 21c 则 a b c
14、的大小关系为 A abcB cba C cabD bca 考向四 对数函数的复合函数问题 与对数函数相关的复合函数问题 即定义域 值域的求解 单调性的判断和应用 与二次函数的复合问题 等 解题方法同指数函数类似 研究其他相关函数的单调性 奇偶性一般根据定义求解 此外 需特别注意对 数函数的定义域及底数的取值 求形如logayfx 的复合函数的单调区间 其一般步骤为 求定义域 即满足0fx的 x 的取值集合 将复合函数分解成基本初等函数log a yu及ufx 分别确定这两个函数的单调区间 若这两个函数同增或同减 则logayfx 为增函数 若一增一减 则logayfx为减函数 即 同 增异减
15、典例 7 已知 lg 10 lg 10 fxxx 则 f x 是 A 偶函数 且在 0 10 是增函数B 奇函数 且在 0 10 是增函数 C 偶函数 且在 0 10 是减函数 D 奇函数 且在 0 10 是减函数 名师整理 助你成功 答案 C 解析 由 100 100 x x 得 10 10 x 故函数fx的定义域为10 10 关于原点对称 又lg 10lg 10 fxxxf x 故函数fx为偶函数 而 2 lg 10 lg 10 lg 100fxxxx 因为函数 2 100yx在0 10上单调递减 lgyx在0 上单调递增 故函数fx在0 10上单调递减 故选 C 典例 8 已知函数 lg
16、 3 lg 3 f xxx 1 判断的奇偶性并加以证明 2 判断的单调性 不需要证明 3 解关于m 的不等式 1 0f mf m 答案 1 偶函数 证明见解析 2 减函数 3 1 3 2 解析 1 由 30 30 x x 得33x 函数的定义域为 3 3 函数的定义域关于原点对称 且 lg 3 lg 3 fxxxf x 函数为偶函数 2 2 lg 9 fxx lgyu为增函数 2 9ux在 3 0 上是增函数 在 0 3 上是减函数 在 3 0 上是增函数 在 0 3 上是减函数 3 1 0f mf m即 1 f mf m 则 3 1 33 3 1 m m mm 3 4 3 2 1 2 m m m 得 1 3 2 m 名师整理 助你成功 关于 m 的不等式 1 0f mf m的解集为 1 3 2 5 若函数 log 5 0 1 在 1 3 上是减函数 则 的取值范围是 A 5 1 3B 5 3 C 5 1 3D 3 1 5 6 已知函数 2 22 logafxaax是对数函数 1 若函数log1log3 aa g xxx 讨论g x的单调性 2 在 1 的条件下 若 1 2 3 x 不
