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1、专题二函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程 答案部分 2019 年 1 解析解法一 函数f x2 sin x sin 2x在 0 2 的零点个数 即2 sin x sin 2x 0 在区间0 2 的根个数 即2 sin xsin 2x 令h x 2 sin x和g xsin 2x 作出两函数在区间0 2 的图像如图所示 由图可知 h x2 sin x和g xsin 2x在区间0 2 的图像的交点个数为 3 个 故选B 解法二 因为fx2 sin x sin 2x2 sin x 1 cos x x0 2 令 fx0 得 2 sin x 1 cos x0 即sin x0 或1 cos x 0
2、解 得x 0 2 所 以 f x2 sin x sin 2x在0 2 的零点个数为3 个 故选 B 2 解析 作出函数 fx 2 x 0 剟 x1 的图像 以及直线 1 x1 x 1 yx的图像 如图所示 4 1 1 关于x的方程f xx a aR恰有两个互异的实数解 即yfx和 4 y1 x a的图像有两个交点 平移直线1 yx 考虑直线经过点1 2和1 1时 4 4 有两个交点 可得 a9 或5 a 4 4 考虑直线与y 1 在x1相切 可得1 2 1 axx 由a 2 1 0 解得a 1 1舍 x4 去 5 9 综上可得 a的范围是 U 1 4 4 故选 D 3 解析作出函数fx与g x
3、 的图像如图所示 由图可知 函数f x与 1 1 2 3 4 5 6 7 8 g xx剟xx剟x仅有 2 个实 2 数根 要使关于x 的方程f x g x 有 8 个不同的实数根 则f x 1 x 1 2 x 0 2 与g x k x 2 x 0 1 的图象有2 个不同交点 由 1 0 到直线kx y 2k0的距离为1 得 3k k 2 1 1 1 解得k k0 2 2 因为两点 2 0 1 1 连线的斜率1 k 3 所以 1 1 k 3 2 2 2 1 1 即k的取值范围为 3 2 2 2010 2018 年 1 C 解析 令f x 0 则方程a ex 1 e x1 x 2 2x有唯一解 设
4、h x x 2 2x g x ex1 e x 1 则h x 与g x 有唯一交点 1 又g x e 1 e 1 e 1 x x x 2 当且仅当x 1时取得最小值2 x 1 e 而h x x 1 2 1 1 此时x 1时取得最大值1 ag xh x有唯一的交点 则1 2 a 选 C 2 C 解析 由x1时fx2 x 1是增函数可知 若 则f afa 1 所以0 a 1 由f a f a 1 得a2 a 1 1 解得1 a 则 4 1 ff 4 2 4 1 6 故选 C a 3 A 解析 y cos x是偶函数且有无数多个零点 y sin x为奇函数 y ln x既不是 奇函数又不是偶函数 y
5、x 2 1是偶函数但没有零点 故选A 4 A 解析 当x0 时 f 2 x x 2 此时方程 f x g x 1 x x 2 的小于零 的零点为 x 15 当0 x 2时 f 2 x 2 2 x x 方程 2 f x g x 2 x x2 无零点 当x2 时 f 2 x 2 2 x 4 x 方程f x g x x 2 2 x 7 x2 3x 3大于 2 的零点有一个 故选A 5 A 解析 由A 知a b c 0 由 B 知f x 2ax b 2a b 0 由 C 知 fxax b 令f x 0 可得 2 x bb 则f 3 则 2a2a 4acb 2 4a 3 3 abc0 2ab0 由 D
6、知4a 2b c 8 假设 A 选项错误 则2 4acb 3 4a 4a 2b c 8 5 a b10 得 满足 c8 题意 故A 结论错误 同理易知当B 或 C 或 D 选项错误时不符合题意 故选A 6 B 解析 如图所示 方程fxg x有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有 两个不同的交点 结合图象可知 当直线ykx的斜率大于坐标原点与点 2 1 的连续 的斜率 且小于直线 yx 1的斜率时符合题意 故选1 1 k 2 y 5 4 3 g x kx f x x 2 1 2 2 1 1 x O 1 2 3 4 5 7 C 解析 f 1 6 log 1 6 0 2 f 2 3 log 2 2
7、 0 2 3 1 f fx零点的区间是2 4 4 log 4 0 2 2 2 8 A 解析 g x f x mx m在 1 1 内有且仅有两个不同的零点 就是函数 yf x 的图象与函数y m x 1 的图象有两个交点 在同一直角坐标系内作出函 数1 3 x 1 0 f x x 1 和函数ym x 1 的图象 如图 x x 0 1 当ym x 1 与1 3 1 0 和yx x 0 1 都相交时0 1 yxm x 1 2 4 ym x1 当ym x 1 与1 3 1 0 yx 有两个交点时 由 1 x 1 y3 x1 消元得 1 3 m x 1 x 1 即m x 1 2 3 x 1 1 0 化简
8、得mx2 2m 3 x m 2 0 当9 4m 0 9 即相切 m时直线ym x 1 与1 3 1 0 yx 4 x 1 当直线ym x 1 过点 0 2 时 m2 所以 9 2 m 综上 4 9 1 实数m的取值范围是 2 U 0 4 2 9 D 解析 当x 0 时 函数g x 的零点即方程f x x 3 得根 由x 2 3xx 3 解得x 1或 3 当x0 时 由f x 是奇函数得 f x f x x3 x 即f x x 2 3x 2 由f x x 3 得x2 7 正根舍去 10 A 解析 f x 3x2ax b 2 x x是方程3x2 2ax b 0的两根 1 2x x 是方程3x2 2
9、ax b 0的两 根 由3 f x 2 2af x b 0 则又两个f x 使得等式成立 xf x 1 1 xxf x 其函数图象如下 2 1 1 如图则有 3 个交点 故选A 11 A 解析 由题意a b c 可得 f a a b a c 0 f b b c b a 0 f c c a c b 0 显然 f a f b 0 f b f c 0 所以该函数在 a b 和 b c 上均有零点 故选A g xx 2 4x 5的图像开口向上 在x轴上方 对称轴为x 2 12 B 解析 二次函数 g 2 1 f 2 2ln2 ln4 1 所以 g 2 f 2 从图像上可知交点个数为2 5 1 13 B
10、 解析 令f x0 可得x 由图象法可知f x有两个零点 log 0 5 2 x 14 B 解析 因为f x 在 0 内单调递增 又 0 1 0 1 1 0 ff 2 所以 f x 在 0 内存在唯一的零点 2 15 C 解析 f x 0 则x 0或cos x 2 0 xk kZ 2 又x0 4 k0 1 2 3 4 所以共有6 个解 选 C 16 B 解析 由f x f x 知函数f x 为偶函数 所以f x f 2 x f x 2 所以函数f x 为周期为2 的周期函数 且 f 0 0 f 1 1 而g x xcos x 为 偶函数 且 gggg 在同一坐标系下作出两函数在 1 3 0 0
11、 1 1 3 2 2 2 2 2 1 3 上的图像 发现在 内图像共有6 个公共点 则函数h x g x f x 在 2 2 1 3 上的零点个数为6 故选 B 2 2 xx x 即1 3 2 2 2 1 x时 f x x 2 2 当 17 B 解析 由题意知 若 2 xx x 即x1或3 2 2 2 1 x时 f x x x 2 要使函数 yf x c的 2 图像与x轴恰有两个公共点 只须方程f x c0 有两个不相等的实数根即可 即函 数yf x 的图像与直线yc有两个不同的交点即可 画出函数yf x 的图像与 直线yc 不难得出答案B 18 C 解析 由一元二次方程有两个不相等的实数根
12、可得判别式0 即m 2 4 0 解得m2 或m2 故选 C 19 D 解析 图像法求解 y x 1 1 的对称中心是 1 0 也是y 2sinx 2 x4 的 中心 2 x4 他们的图像在x 1 的左侧有 4 个交点 则 x 1右侧必有 4 个交点 不 6 妨把他们的横坐标由小到大设为 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 则 x1 x8 x2 x7 x3 x6 x4 x5 2 所以选D 20 B 解析 因为当0 x2时 f x x 3 x 又因为f x 是R上最小正周期为2 的周期函数 且f 0 0 所以f 6 f 4 f 2 f 0 0 又因为f 1 0 所以f 3 0 f 5
13、0 故函数yf x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 7 个 选 B 21 C 解析 当x0 时 令x 2 2x 3 0 解得x3 当x0 时 令2 ln x 0 解得x 100 所以已知函数有两个零点 选C 22 B 解析 因为 1 2 3 0 f 1 f 0 2 0 0 10 所以选B 23 A 解析 2 0 m 当m时 xx m有实数解等价于1 4m 0 即1 1 4 4 1 1 1 m 成立 但m 时 m不一定成立 故选A 4 4 4 24 A 解析 f 0 4sin10 f 2 4sin 5 2 由于5 2 所以f 2 0 故函数f x 在 0 2 上存在零点 由于f 1
14、 4sin 1 10 故函数f x 在 1 0 上存在零点 在 0 2 上也存在零点 令5 2 2 4 x 4 52 552 则 f 4 sin 0 而f 2 0 4 2 4 所以函数在 2 4 上存在零点 故选A 25 3 解析 f x 6x 2 2ax 2x 3x a aR 当a 0时f x 0 在 0 上恒成立 则f x 在 0 上单调递增 又f 0 1 所以此时f x 在 0 内 aa 无零点 不满足题意 当a0 时 由f x 0 得x 由f x 0 得0 x 3 3 aa上单调递增 又f x 在 0 内有且只有 则f x 在 0 上单调递减 在 3 3 一个零点 所以 aa 3 f
15、1 0 得a3 所以f x 2x3 3x2 1 3 27 则f x 6x x 1 当x 1 0 时 f x 0 f x 单调递增 当x 0 1 时 7 fx f x 单调递减 则 0 f x f 0 1 f 1 4 f 1 0 max 则f x 4 所以f x 在 1 1 上的最大值与最小值的和为3 min 26 1 4 1 3 U 4 解析 若2 则当x 2 时 令x 4 0 得2 x4 当x2 时 令x2 4x 3 0 得1x2 综上可知1x4 所以不等式f x 0 的解集为 1 4 令x 4 0 解得x 4 令x2 4x 3 0 解得x 1或x 3 因 为函数f x 恰有 2 个零点 结
16、合函数的图象 图略 可知1 3或4 27 8 解析 由于f x 0 1 则需考虑1x10 的情况 在此范围内 xQ 且xD时 设 q xp qp N 2 且p q互质 p 若lg x Q 则由lg x 0 1 可设lg xn m n m2 N 且m n互质 m mq n q 则10n m 此时左边为整数 右边为非整数 矛盾 因此10 pp 因此lg xQ 因此lg x不可能与每个周期内 xD对应的部分相等 只需考虑lg x与每个周期xD的部分的交点 画出函数图象 图中交点除外 1 0 其他交点横坐标均为无理数 属于每个周期xD的 部分 1 1 且x 1处 则在x 1附近仅有一个交点 lg x 1 xln10 ln10 因此方程f x lg x0 的解的个数为8 28 3 解析 当xm时 f xx 2 mxmx m 2 m m 2 其顶点 2 4 4 为 m 4m m2 当x m时 函数f x 的图象与直线 x m的交点为Q m m 8 当 m0 即0 m 3时 函数f x 的图象如图1 所示 此时直线y b 4mm m 2 与函数 f x 的图象有一个或两个不同的交点 不符合题意 当
