《专题11.9离散型随机变量的均值与方差(讲)(解析版) .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题11.9离散型随机变量的均值与方差(讲)(解析版) .pdf（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 11 9 离散型随机变量的均值与方差 1 理解取有限个值的离散型随机变量的均值 方差的概念 2 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些简单实际问题 知识点一离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为 X x1x2 xi xn P p1p2 pi pn 1 均值 称 E X x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量 X 的均值或数学期望 它反映了离散型随机变 量取值的平均水平 2 方差 称 D X n i 1 xi E X 2pi为随机变量X 的方差 它刻画了随机变量X 与其均值E X 的平均偏离程 度 其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差 知识点
2、二均值与方差的性质 1 E aX b aE X b 2 D aX b a2D X a b 为常数 知识点三两点分布与二项分布的均值 方差 1 若 X 服从两点分布 则E X p D X p 1 p 2 若 X B n p 则 E X np D X np 1 p 知识必备 1 若 x1 x2相互独立 则E x1 x2 E x1 E x2 2 均值与方差的关系 D X E X2 E2 X 3 超几何分布的均值 若X 服从参数为N M n 的超几何分布 则E X nM N 考点一离散型随机变量的均值与方差 典例 1 江苏淮阴中学2019 届模拟 为迎接2022 年北京冬奥会 推广滑雪运动 某滑雪场开
3、 展滑雪促销活动 该滑雪场的收费标准是 滑雪时间不超过1 小时免费 超过1 小时的部分每小时收费标准 为 40 元 不足 1 小时的部分按1 小时计算 有甲 乙两人相互独立地来该滑雪场运动 设甲 乙不超过1 小 时离开的概率分别为 1 4 1 6 1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 1 2 2 3 两人滑雪时间都不会超过 3 小时 1 求甲 乙两人所付滑雪费用相同的概率 2 设甲 乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 单位 元 求 的分布列与数学期望E 方差 D 解析 1 两人所付费用相同 相同的费用可能为0 40 80 元 两人都付0 元的概率为p1 1 4 1 6 1 24 两人
4、都付40 元的概率为p2 1 2 2 3 1 3 两人都付80 元的概率为 p3 1 1 4 1 2 1 1 6 2 3 1 4 1 6 1 24 则两人所付费用相同的概率为p p1 p2 p3 1 24 1 3 1 24 5 12 2 由题设甲 乙所付费用之和为 可能取值为0 40 80 120 160 则 P 0 1 4 1 6 1 24 P 40 1 4 2 3 1 2 1 6 1 4 P 80 1 4 1 6 1 2 2 3 1 4 1 6 5 12 P 120 1 2 1 6 1 4 2 3 1 4 P 160 1 4 1 6 1 24 的分布列为 0 4 0 80 1 20 16
5、0 P 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 E 0 1 24 40 1 4 80 5 12 120 1 4 160 1 24 80 D 0 80 2 1 24 40 80 2 1 4 80 80 2 5 12 120 80 2 1 4 160 80 2 1 24 4 000 3 方法技巧 1 求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值 写出随机变量的分布列 正确运用均值 方差公式进行计算 2 注意 E aX b aE X b D aX b a2D X 的应用 变式 1 河北石家庄二中2019 届模拟 从甲地到乙地要经过3 个十字路口 设各路口信号灯 工作相互独立 且在
6、各路口遇到红灯的概率分别为 1 2 1 3 1 4 1 记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数 求随机变量X 的分布列和数学期望 2 若有 2 辆车独立地从甲地到乙地 求这2 辆车共遇到1个红灯的概率 解析 1 随机变量 X 的所有可能取值为0 1 2 3 P X 0 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 4 P X 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 2 1 3 1 1 4 1 1 2 1 1 3 1 4 11 24 P X 2 1 1 2 1 3 1 4 1 2 1 1 3 1 4 1 2 1 3 1 1 4 1 4 P X 3 1 2 1 3 1 4 1 24 所以 随机
7、变量X 的分布列为 X 0123 P 1 4 11 24 1 4 1 24 随机变量X的数学期望E X 0 1 4 1 11 24 2 1 4 3 1 24 13 12 2 设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数 Z 表示第二辆车遇到红灯的个数 则所求事件的概率为 P Y Z 1 P Y 0 Z 1 P Y 1 Z 0 P Y 0 P Z 1 P Y 1 P Z 0 1 4 11 24 11 24 1 4 11 48 所以 这2 辆车共遇到1 个红灯的概率为 11 48 考点二二项分布的均值与方差 典例 2 辽宁大连八中2019 届模拟 某市市民用水拟实行阶梯水价 每人月用水量不超过w 立方米的部
8、分按4 元 立方米收费 超出w 立方米的部分按10 元 立方米收费 从该市随机调查了100 位市民 获得了他们某月的用水量数据 整理得到如下频率分布直方图 并且前四组频数成等差数列 1 求 a b c 的值及居民月用水量在2 2 5 内的频数 2 根据此次调查 为使 80 以上居民月用水价格为4 元 立方米 应将 w 定为多少 精确到小数点后2 位 3 若将频率视为概率 现从该市随机调查3 名居民的月用水量 将月用水量不超过2 5 立方米的人数记 为 X 求其分布列及均值 解析 1 前四组频数成等差数列 所对应的 频率 组距 也成等差数列 设 a 0 2 d b 0 2 2d c 0 2 3d
9、 0 5 0 2 0 2 d 2 0 2 2d 0 2 3d 0 1 3 1 解得 d 0 1 a 0 3 b 0 4 c 0 5 居民月用水量在2 2 5 内的频率为0 5 0 5 0 25 居民月用水量在2 2 5 内的频数为0 25 100 25 2 由题图及 1 可知 居民月用水量小于2 5 的频率为 0 7 0 8 为使 80 以上居民月用水价格为4 元 立方米 应规定 w 2 5 0 8 0 7 0 3 2 83 3 将频率视为概率 设A 单位 立方米 代表居民月用水量 可知 P A 2 5 0 7 由题意 X B 3 0 7 P X 0 C03 0 33 0 027 P X 1
10、C13 0 32 0 7 0 189 P X 2 C 2 3 0 3 0 72 0 441 P X 3 C33 0 73 0 343 X 的分布列为 X 0123 P 0 0270 1890 4410 343 X B 3 0 7 E X np 2 1 方法技巧 二项分布的均值与方差 1 如果 B n p 则用公式E np D np 1 p 求解 可大大减少计算量 2 有些随机变量虽不服从二项分布 但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布 这时 可以综合应用E a b aE b 以及 E np 求出 E a b 同样还可求出D a b 变式 2 福建双十中学2019 届模拟 某饭店从某水产养
11、殖厂购进一批生蚝 并随机抽取了40 只统计质量 得到结果如表所示 质量 g 5 15 15 25 25 35 35 45 45 55 数量 只 6101284 1 若购进这批生蚝500 kg 且同一组数据用该组区间的中点值代表 试估计这批生蚝的数量 所得 结果保留整数 2 以频率视为概率 若在本次购买的生蚝中随机挑选4 个 记质量在 5 25 间的生蚝的个数为X 求 X 的分布列及数学期望 解析 1 由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为 1 40 6 10 10 20 12 30 8 40 4 50 28 5 g 所以购进500 kg 生蚝 其数量为500 000 28 5 17 544 只
12、2 由表中数据知 任意挑选一只生蚝 质量在 5 25 间的概率为 2 5 由题意知X的可能取值为0 1 2 3 4 P X 0 3 5 4 81 625 P X 1 C14 2 5 1 3 5 3 216 625 P X 2 C24 2 5 2 3 5 2 216 625 P X 3 C34 2 5 3 3 5 1 96 625 P X 4 2 5 4 16 625 X 的分布列为 X 01234 P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 E X 0 81 625 216 625 3 96 625 3 16 625 4 8 5 考点三均值与方差在决策问题中的
13、应用 典例 3 山东青岛二中2019 届模拟 某投资公司在2019 年年初准备将1 000 万元投资到 低碳 项 目上 现有两个项目供选择 项目一 新能源汽车 据市场调研 投资到该项目上 到年底可能获利30 也可能亏损15 且这两 种情况发生的概率分别为 7 9和 2 9 项目二 通信设备 据市场调研 投资到该项目上 到年底可能获利50 可能损失30 也可能不赔 不赚 且这三种情况发生的概率分别为 3 5 1 3和 1 15 针对以上两个投资项目 请你为投资公司选择一个合理的项目 并说明理由 解析 若按 项目一 投资 设获利为X1万元 则 X1的分布列为 X1300 150 P 7 9 2 9
14、 E X1 300 7 9 150 2 9 200 万元 若按 项目二 投资 设获利X2万元 则 X2的分布列为 X2500 3000 P 3 5 1 3 1 15 E X2 500 3 5 300 1 3 0 1 15 200 万元 D X1 300 200 2 7 9 150 200 2 2 9 35 000 D X2 500 200 2 3 5 300 200 2 1 3 0 200 2 1 15 140 000 所以 E X1 E X2 D X1 D X2 这说明虽然项目一 项目二获利相等 但项目一更稳妥 综上所述 建议该投资公司选择项目一投资 方法技巧 随机变量的均值反映了随机变量取
15、值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值 的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据 一般先比 较均值 若均值相同 再用方差来决定 变式 3 湖北荆州中学2019 届模拟 计划在某水库建一座至多安装3 台发电机的水电站 过去 50 年的水文资料显示 水库年入流量X 年入流量 一年内上游来水与库区降水之和 单位 亿立方米 都在 40 以上 其中 不足80 的年份有10 年 不低于 80 且不超过120 的年份有 35 年 超过 120 的年份 有 5 年 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率 并假设各年的年入流量相互独立 1 求未来 4 年中 至多有
16、1 年的年入流量超过120 的概率 2 水电站希望安装的发电机尽可能运行 但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制 并有 如下关系 年入流量X 40 X120 发电机最多可运行台数123 若某台发电机运行 则该台发电机年利润为5 000 万元 若某台发电机未运行 则该台发电机年亏 损 800 万元 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装发电机多少台 解析 1 依题意 得p1 P 40 X120 5 50 0 1 由二项分布 在未来4 年中 至多有1 年的年入流量超过120 的概率为 p C04 1 p3 4 C 1 4 1 p3 3p3 9 10 4 4 9 10 3 1 10 0 947 7 2 记水电站年总利润为Y 单位 万元 安装 1 台发电机的情形 由于水库年入流量总大于40 故一台发电机运行的概率为1 对应的年利润Y 5 000 E Y 5 000 1 5 000 安装 2 台发电机的情形 依题意 当40 X 80 时 一台发电机运行 此时Y 5 000 800 4 200 因此 P Y 4 200 P 40 X 80 p1 0 2 当 X 80 时 两台发电机运行 此
