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1、名师整理 助你成功 1 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念及其单调性 掌握指数函数图象通过的特殊点 会画底数为2 3 10 1 2 1 3的 指数函数的图象 4 体会指数函数是一类重要的函数模型 1 根式的性质 1 n a n a 2 当 n 为奇数时 n a n a 当 n 为偶数时 n a n aa 0 aa0 m n N 且 n 1 负分数指数幂 a m n 1 am n 1 n a m a 0 m n N 且 n 1 0 的正分数指数幂等于0 0 的负分数指数幂没有意义 2 有文数指数幂的性质 aras ar
2、 s a 0 r s Q ar s ars a 0 r s Q ab r arbr a 0 b 0 r Q 3 指数函数的图象与性质 y a x a 10 a0 时 y 1 x 0 时 0 y0 时 0 y 1 x1 6 在 上是增函数 7 在 上是减函数 必会结论 1 n a n a n N 且 n 1 2 n an a n为奇数且 n 1 a a a 0 a a 0 n 为偶数且n 1 3 底数 a 的大小决定了图象相对位置的高低 不论是a 1 还是 0 a 1 在第一象限内底数越大 函数图象越高 高频考点一指数幂的运算 例 1 求值与化简 1 8 2 3 100 1 2 1 4 3 16
3、 81 3 4 2 5 6a 1 3 b 2 3a 1 2 b 1 4a 2 3 b 3 1 2 3 3 a 9 2 a 3 3 a 73 a13 名师整理 助你成功 解析 1 原式 23 2 3 102 1 2 2 2 3 2 3 4 3 4 22 10 1 26 2 3 3 862 5 2 原式 5 2a 1 6 b 3 4a 2 3 b 3 1 2 5 4a 1 6 b 3 a 1 3 b 3 2 5 4a 1 2 b 3 2 5 4 1 ab 3 5ab 4ab2 3 原式 a 9 2 a 3 2 1 3 a 7 3 a 13 3 1 2 a3 1 3 a2 1 2 a a 1 变式探
4、究 化简 1 a3b2 3 ab2 a 1 4 b 1 2 4a 1 3 b 1 3 a 0 b 0 2 2 1 10 3 2 27 0 00210 52 23 8 解析 1 原式 a3b2a 1 3 b 2 3 1 2 ab2a 1 3 b 1 3 a 311 1 263 b 11 12 33 ab 1 2 原式 1 2 2 3 27110 850052 1 1 2 2 3 81 5 27500 10 2 1 4 9 10 5 105 20 1 167 9 方法规律 指数幂运算的一般原则 1 有括号的先算括号里的 无括号的先做指数运算 2 先乘除后加减 负指数幂化成正指数幂的倒数 3 底数是
5、负数 先确定符号 底数是小数 先化成分数 底数是带分数的 先化成假分数 4 若是根式 应化为分数指数幂 尽可能用幂的形式表示 运用指数幂的运算性质来解答 5 运算结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 形式力求统一 名师整理 助你成功 变式探究 1 0 064 1 5 2 5 2 3 3 33 8 0 2 1 4 1 2 4ab 13 0 1 1 a3 b 3 1 2 答案 1 0 2 8 5 解析 1 原式 64 1000 1 5 5 2 2 3 27 8 1 3 1 4 10 3 152 523 3 2 3 1 3 1 5 2 3 2 1 0 2 原式 2 4 3 2
6、a 3 2 b 3 2 10a 3 2 b 3 2 8 5 高频考点二指数函数的图象及应用 例 2 已知函数f x 2x 1 a bf c f b 则下列结论中 一定成立的是 A a 0 b 0 c 0 B a0 C 2 a 2c D 2 a 2c 2 答案 D 解析 作出函数f x 2 x 1 的图象 如图中实线所示 又 a bf c f b 结合图象知f a 1 a0 0 2 a1 f a 2a 1 1 2a f c 2c 1 2c 1 又 f a f c 即 1 2a 2c 1 2a 2cb 则函数 f x 1 2x的图象是 2 方程 2x 2 x 的解的个数是 解析 1 因为当 x 0
7、 时 2x 1 当 x 0 时 2x 1 则 f x 1 2x 2x x 0 1 x 0 图象 A 满足 2 方程的解可看作函数y 2 x 和 y 2 x 的图象交点的横坐标 分别作出这两个函数图象 如图 由图象得只有一个交点 因此该方程只有一个解 答案 1 A 2 1 高频考点三指数函数的图象和性质 命题角度1比较指数幂的大小 名师整理 助你成功 例 1 已知 a 1 2 2 3 b 2 4 3 c 1 2 1 3 则下列关系式中正确的是 A c a bB b a c C a c bD a b 2 3 1 3 所以 1 2 4 3 1 2 2 3 1 2 1 3 即 b a0 的解集是 A
8、x x2 B x x4 C x x6 D x x5 答案 D 解析 当x 0 时 由 f x 3x 9 0 得 x 2 所以 f x 0 的解集为 x x 2 或 x0 的解集为 x x5 选 D 命题角度3与指数函数有关的复合函数问题 例 3 1 已知函数y 2 x2 ax 1 在区间 3 内单调递增 则a 的取值范围为 答案 6 解析 函数y 2 x2 ax 1 是由函数y 2t和 t x2 ax 1 复合而成 因为函数t x2 ax 1 在区 间 a 2 上单调递增 在区间 a 2 上单调递减 且函数 y 2t在 R 上单调递增 所以函数y 2 x2 ax 1 在区间 a 2 上单调递增
9、 在区间 a 2 上单调递减 又因为函数 y 2 x2 ax 1 在区间 3 内单 调递增 所以3 a 2 即 a 6 2 函数 y 1 4 x 1 2 x 1 在 x 3 2 上的值域为 答案 3 4 57 解析 令t 1 2 x 则 y t2 t 1 t 1 2 2 3 4 x 3 2 t 1 4 8 当 t 1 2时 y min 3 4 当 t 8 时 ymax 57 所以函数的值域为 3 4 57 名师整理 助你成功 变式探究 有关指数函数性质的问题类型及解题思路 1 比较指数幂大小问题 常利用指数函数的单调性及中间值 0 或 1 2 简单的指数不等式的求解问题 解决此类问题应利用指数
10、函数的单调性 要特别注意底数a 的取值 范围 并在必要时进行分类讨论 3 求解与指数函数有关的复合函数问题 首先要熟知指数函数的定义域 值域 单调性等相关性质 其次要明确复合函数的构成 涉及值域 单调区间 最值等问题时 都要借助 同增异减 这一性质分析判断 最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决 高频考点四 和指数函数有关的复合函数的性质 例 4 设函数f x kax a x a 0 且 a 1 是定义域为R 的奇函数 1 若 f 1 0 试求不等式f x2 2x f x 4 0 的解集 2 若 f 1 3 2 且 g x a2x a 2x 4f x 求 g x 在 1 上的最小值 解析
11、因为f x 是定义域为R 的奇函数 所以 f 0 0 所以 k 1 0 即 k 1 f x ax a x 1 因为 f 1 0 所以 a 1 a 0 又 a 0 且 a 1 所以 a 1 因为 f x axlna a xlna ax a x lna 0 所以 f x 在 R 上为增函数 原不等式可化为f x2 2x f 4 x 所以 x2 2x 4 x 即 x2 3x 4 0 所以 x 1 或 x1 或 x0 a 1 在区间 1 1 上的最大值是14 则 a 的值为 A 1 3 B 1 C 3 D 1 3或 3 答案 1 4 2 D 解析 1 令 t 2x m 则 t 2x m 在区间 m 2
12、 上单调递增 在区间 m 2 上单调递减 而 y 2t 为 R 上的增函数 所以要使函数f x 2 2x m 在 2 上单调递增 则有 m 2 2 即 m 4 所以m 的取值范围是 4 2 令 ax t 则 y a2x 2ax 1 t2 2t 1 t 1 2 2 当 a 1 时 因为x 1 1 所以 t 1 a a 又函数 y t 1 2 2 在 1 a a 上单调递增 所以 ymax a 1 2 2 14 解得 a 3 负值舍去 当 0 a0 a 1 的性质和a的取值有关 一定要分清a 1 与 0 a 1 3 对与复合函数有关的问题 要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成 1 2019 年
13、高考全国 卷文数 已知 0 20 3 2 log 0 220 2abc 则 A abcB acb C cabD bca 答案 B 名师整理 助你成功 解析 22 log 0 2log 10 a 0 20 221 b 0 30 00 20 21 c即0 1 c 则a cb 故选 B 2 2018 上海卷 已知 2 1 1 2 1 2 1 2 3 若幂函数 f x x 为奇函数 且在 0 上递减 则 答案 1 解析 因为幂函数y x 是奇函数 知 可取 1 1 3 又 y x 在 0 上是减函数 所以 0 且 a 1 的图像如图 1 1 所示 则下列函数图像正确的是 图 1 1 名师整理 助你成功
14、 AB CD 答案 B 解析 由函数y logax 的图像过点 3 1 得 a 3 选项 A 中的函数为 y 1 3 x 则其函数图像 不正确 选项B 中的函数为y x3 则其函数图像正确 选项C 中的函数为y x 3 则其函数图像 不正确 选项D 中的函数为y log3 x 则其函数图像不正确 2014 江西卷 已知函数f x 5 x g x ax2 x a R 若 f g 1 1 则 a A 1 B 2 C 3 D 1 答案 A 解析 g 1 a 1 由 f g 1 1 得 5 a 1 1 所以 a 1 0 故 a 1 名师整理 助你成功 2014 辽宁卷 已知a 2 1 3 b log
15、21 3 c log 1 2 1 3 则 A a b cB a c b C c a bD c b a 答案 C 解析 因为0 a 2 1 3 1 b log 21 3log 1 2 1 2 1 所以 c a b 2014 山东卷 设集合A x x 1 2 B y y 2x x 0 2 则 A B A 0 2 B 1 3 C 1 3 D 1 4 答案 C 解析 根据已知得 集合A x 1 x 3 B y 1 y 4 所以 A B x 1 x 3 故选 C 2014 山东卷 已知实数x y 满足 ax ay 0 a 1 则下列关系式恒成立的是 A 1 x2 1 1 y2 1 B ln x2 1 l
16、n y2 1 C sin x sin yD x3 y3 答案 D 解析 因为ax ay 0 a 1 所以 x y 所以 sin x sin y ln x2 1 ln y2 1 1 x2 1 1 y2 1都不 一定正确 故选D 2014 陕西卷 下列函数中 满足 f x y f x f y 的单调递增函数是 A f x x1 2 B f x x3 C f x 1 2 x D f x 3x 答案 B 解析 由于f x y f x f y 故排除选项A C 又 f x 1 2 x 为单调递减函数 所以排除选项D 2014 陕西卷 已知4a 2 lg x a 则 x 答案 10 解析 由4a 2 得 a 1 2 代入 lg x a 得 lg x 1 2 那么 x 10 1 2 10 2013 安徽卷 已知一元二次不等式f x 0 的解集为 x x1 2 则 f 10 x 0 的解集为 A x x lg 2 B x 1 x lg 2 D x x0 的解是 1 x 1 2 故 1 10 x 1 2 解得 xa 0 c b 0 1 记集合 M a b c a b c 不能构成一个三角形的三条边长 且
