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1、名师整理 助你成功 专题 03 简单的逻辑联结词 1 理解全称量词与存在量词的意义 2 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 3 了解命题的概念 了解逻辑联结词 或 且 非 的含义 1 命题 能判断真假的语句叫做命题 2 全称量词与全称命题 1 全称量词 短语 所有 在陈述中表示所述事物的全体 在逻辑中通常叫做全称量词 2 全称命题 含有全称量词的命题 3 全称命题的符号表示 形如 对 M 中所有 x p x 的命题 可用符号简记为 x M p x 3 存在量词与存在性命题 1 存在量词 短语 有一个 或 有些 或 至少有一个 在陈述中表示所述事物的个体或部分 逻辑中通常 叫做存在量词 2 存
2、在性命题 含有全称量词的命题 3 存在性命题的符号表示 形如 存在集合M 中的元素 x q x 的命题 用符号简记为 x M q x 4 基本逻辑联结词 常用的基本逻辑联结词有 且 或 非 5 命题 p q p q p 的真假判断 p q p q p q p 真真真真假 真假假真假 假真假真真 假假假假真 6 含有一个量词的命题的否定 名师整理 助你成功 命题命题的否定 x M p x x M p x x M p x x M p x 高频考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断 例 1 2017 山东高考 已知命题 p x R x2 x 1 0 命题 q 若 a2 b2 则 a b 下列命题为真命
3、 题的是 A p qB p q C p qD p q 答案 B 解析 一元二次方程x2 x 1 0 的判别式 1 2 4 1 10 恒成立 p 为真命题 p 为假命题 当 a 1 b 2 时 1 2 2 q 为假命题 q 为真命题 根据真值表可知p q 为真命题 p q p q p q 为假命题 故选B 感悟提升 p q p q p 形式命题真假的判断步骤 1 确定命题的构成形式 2 判断其中命题p q 的真假 3 确定 p q p q p 等形式命题的真假 变式探究 命题p 函数 y log2 x 2 的单调增区间是 1 命题 q 函数 y 1 3 x 1的值域为 0 1 下列命题是真命题的
4、为 A p qB p q C p q D q 解析 由于y log2 x 2 在 2 上是增函数 命题 p 是假命题 由 3x 0 得 3x 1 1 所以 0 1 3x 10 则 p 是 A x R e x x 1 0 B x R ex x 1 0 C x R e x x 10 的否定为 p x R ex x 1 0 2 画出可行域如图中阴影部分所示 由图可知 当目标函数z x 2y 经过可行域的点A 2 1 时 取得最小值0 故 x 2y 0 因此 p1 p2是真命题 答案 1 B 2 B 感悟提升 1 全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别 否定全称命题和存在性命 名师整理 助
5、你成功 题时 一是要改写量词 全称量词改写为存在量词 存在量词改写为全称量词 二是要否定结论 而一般 命题的否定只需直接否定结论 2 判定全称命题 x M p x 是真命题需要对集合M 中的每一个元素x 证明 p x 成立 要判断存在 性命题是真命题 只要在限定集合内至少找到一个x 使 p x 成立 变式探究 命题p 存在 x 0 2 使 sin x cos x 2 命题 q x 0 ln x x 1 的否 定是 x 0 ln x x 1 则四个命题 p q p q p q p q 中 正确命题的个 数为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 因为sin x cos x 2sin x 4 2
6、所以命题p 是假命题 又存在性命题的否定是全称命题 因此命题q 为真命题 则 p q 为真命题 p q 为假命题 p q 为真命题 p q 为假命题 四个命题中正确的有2 个命题 答案 B 高频考点三由命题的真假求参数的取值范围 例 3 已知命题p 关于 x 的不等式 ax 1 a 0 a 1 的解集是 x x1 a 0 a 1 的解集是 x x 0 知 0 a0 的解集为R 则 a 0 1 4a21 2 因为 p q 为真命题 p q 为假命题 所以 p 和 q 一真一假 即 p 假 q 真 或 p 真 q 假 故 a 1 a 1 2 或 0 a 1 a 1 2 解得 a 1 或 00 由题
7、意知 其为真命题 即 a 1 2 4 2 1 2 0 则 2 a 1 2 则 1 a 3 2 依题意知 p q 均为假命题 当p 是假命题时 mx2 1 0 恒成立 则有 m 0 当 q 是假命题时 则有 m2 4 0 m 2 或 m 2 因此由 p q 均为假命题得 m 0 m 2或 m 2 即 m 2 答案 1 B 2 A 感悟提升 1 根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤 根据题目条件 推出每一个命题的真假 有时不一定只有一种情况 求出每个命题是真命题时参数的取值范围 根据每个命题的真假情况 求出参数的取值范围 2 全称命题可转化为恒成立问题 变式探究 设p 实数 x 满足 x2
8、5ax 4a20 q 实数 x 满足 2 x 5 1 若 a 1 且 p q 为真 求实数x 的取值范围 2 若 q 是 p 的必要不充分条件 求实数a 的取值范围 解 1 当 a 1 时 x2 5ax 4a2 0 即为 x2 5x 4 0 解得 1 x 4 当 p 为真时 实数x 的取值范围是1 x 4 若 p q 为真 则p 真且 q 真 所以实数x 的取值范围是 2 4 2 q 是 p 的必要不充分条件 即p 是 q 的必要不充分条件 设 A x p x B x q x 则 BA 由 x2 5ax 4a2 0 得 x 4a x a 0 A x a x 4a 名师整理 助你成功 又 B x
9、 25 解得 5 4 a 2 实数 a 的取值范围是 5 4 2 1 2017 山东高考 已知命题p x R x 2 x 1 0 命题 q 若a 2 b2 则 a b 下列命题为真命题 的是 A p qB p q C p qD p q 答案 B 解析 一元二次方程x 2 x 1 0 的判别式 1 2 4 1 10 恒成立 p为真命题 p为假命题 当a 1 b 2 时 1 2 2 q为假命题 q为真命题 根据真值表可知p q 为真命题 p q p q p q 为假命题 故选B 1 2016 高考四川文科 设p 实数 x y 满足1x且1y q 实数 x y 满足2xy 则 p 是 q 的 A 充
10、分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由1x且1y 可得2xy 而当2xy时 不能得出1x且1y 故p是q的充 分不必要条件 选A 2 2016 高考天津文数 设0 x Ry 则 yx 是 yx 的 A 充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 34 3 4 所以充分性不成立 xyyxy 必要性成立 故选C 3 2016 高考上海文科 设Ra 则 1a 是 1 2 a 的 名师整理 助你成功 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 答案 A 解析 2
11、2 11 111aaaaa或 所以 1a 是 1 2 a 的充分非必要条件 选 A 1 2015 高考浙江 文3 设 a b是实数 则 0ab 是 0ab 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 D 解析 本题采用特殊值法 当3 1ab时 0ab 但0ab 故是不充分条件 当3 1ab 时 0ab 但0ab 故是不必要条件 所以 0ab 是 0ab 的即不充分也不必要条件 故 选 D 2 2015 高考重庆 文2 x1 是 2 x210 x 的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由
12、x1 显然能推出 2 x210 x 故条件是充分的 又由 2 x210 x 可得 10 1 2 xx 所以条件也是必要的 故选A 3 2015 高考天津 文4 设xR 则 12x 是 2 1x 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由2112113xxx 可知 12x 是 2 1x 1 是 2 x 1 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由题易知 x 1 可以推得 2 x 1 2 x 1 不一定得到 x 1 所以 x 1 是 2 x 1 的充分不必要条件 故选A 6 2015 高考安徽 文3 设 p x 3 q 1 x 3 则 p 是 q 成立的 A 充分必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 3 xp 31 xq pq 但pq p是q成立的必要不充分条件 故选 C
