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1、专题七不等式 第二十一讲不等式的综合应用 答案部分 2019 年 1 解析x0 y0 x 2y5 则 1 2 12 2 1 2 6 6 xyxyxyxy 2 xy xyxyxyxy 由基本不等式 6 6 2 xy 2 2 xy4 3 当且仅当 xyxy 2 xy 6 时 即 xy x3 xy3 且x 2y5 时 即 或 y1 x y 2 3 2 时 等号成立 故 x1 2y1 xy 的最小值为4 3 2010 2018 年 1 D 解析 点 2 1 在直线x y 1上 ax y4 表示过定点 0 4 斜率为a的直线 当a0时 x ay 2 表示过定点 2 0 斜率为1 a 的直线 不等式x a
2、y 2 表示 的区域包含原点 不等式ax y4 表示的区域不包含原点 直线axy 4 与直线 x ay2 互相垂直 显然当直线ax y4 的斜率a0 时 不等式ax y4 表示 3 的区域不包含点 2 1 故排除A 点 2 1 与点 0 4 连线的斜率为 2 当 即3 aa时 ax y4 表示的区域包含点 2 1 此时x ay2 表示 3 2 2 的区域也包含点 2 1 故排除B 当直线ax y4 的斜率3 即3 aa时 2 2 ax y4 表示的区域不包含点 2 1 故排除C 故选 D 1 解 法 二若 2 1 A 则 2a1 4 2 2 a 解 得 a3 所 以 当 且 仅 当3 a 时
3、a3 所 以 当 且 仅 当3 2 2 2 1 A 故选 D x 2 A 解析 解法一函数f x 的图象如图所示 当y a 的图象经过点 0 2 时 可 2 知a2 当ax 得 yx a的图象与yx2 的图象相切时 由x2 2 x2 x x x 2 2ax 4 0 由0 并结合图象可得a2 要使f x a 恒成立 当 2 a 时 需 满 足a 2 即2 a 0 当a0 时 需 满 足a 2 所 以 0 2 a 2 y 6 5 4 3 2 1 4 3 1O1 2 3 4 2 1 x x 解法二由题意x0 时 f x 的最小值2 所以不等式f x a 等价于 2 x a 2 在R 上恒成立 2 x
4、 不符合题意 排除C D 当a2 3 时 令x 0 得 2 3 2 2 x 不符合题意 排除B 当a2 3 时 令x 0 得 2 3 2 2 选 A 3 C 解析 若 a 是递减的等差数列 则选项A B都不一定正确 若 a 为公差为0 nn 的等差数列 则选项D 不正确 对于C 选项 由条件可知 a 为公差不为0 的正确 n a aa a 数列 由等差中项的性质得a 1 3 由基本不等式得 1 3 2 2 2 a a 所以C 1 3 正确 a b 4 B 解析 0 a ab 又f x ln x在 0 上单调递增 2 a b 故f ab p 2 2 1 1 r f a f b ln a lnb
5、ln ab f ab p 2 2 p r q 5 D 解析 由已知得3a 4bab 且ab0 可知a0 b0 4 3 a0 b0 ab ab 4 3 7 4b3a7 4 3 所以 1 ababab 4b3a 当且仅当 时取等号 ab 6 D 解析 本题考查的是均值不等式 因为1 2 x 2 y 2 2 x 2 y 即2 x y 2 2 所以xy2 当且仅当2x 2 y 即xy时取等号 7 B 解析 由x2 3xy 4y2 z 0 得zx2 3xy 4y2 所以 xyxy1 zxxyy3 4 3 2 2 xy 3 4 3 4 yx 1 1 当且仅当 x 4y 2 3 yx x4y yx xy 即
6、x2y时取等号此时z 2y 2 max 1 z 1 1 1 2 1 2y2y 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 4 2 xyz2yyxyyxy2y2 故选 B 8 C 解析 由x2 3xy 4y 2 z 0 得x2 4y2 3xyz zx2 4y2 2 4 4xy x2 y2 3 3 3 1 xyxyxyxy 当且仅当x2 4y2 即x 2y时 z xy 有最小值 1 将x2y代入原式得z2y2 所以x 2y z 2y 2y 2y2 2y2 4y 当y 1时有最大值2 故选 C 9 C 解析 Q x 3y5xy 13 5 yx 1 1 3 1 3x12y13 1 2 36 13 5
7、3x 4y 5 yx5 yx5 5 5 3 10 C 解析 Q x 3y 5xy 13 5 yx 1 1 3 1 3x 12y13 1 2 36 13 5 3x4y 5 yx5 yx5 5 5 11 A 解析 设从甲地到乙地所走路程为S 则 2S2 2ab2ab vab SS1 1 a b2 ab abab ab 2ab2a 2 va a b2a avab 选 A 12 B 解析 在同一坐标系中作出ym y8 2m 1 m0 ylog x图像 2 如下图 由 log x m 得 2 x m x m 1 2 2 2 log x 2 8 得 2m 1 8 8 x2m 1 x 3 2 4 2 2m
8、1 8 8 b 依题意得2 m 2 m 2m 2 ab 2m 1 2 1 a 8 2 2 m 2m 1 8 2 2 mm 2 1 8 8 mm m 2 1 m 2 2 2 m 2 1 m 2 1 8 1 4 1 1 1 b Q mm43 8 2 2m 1 2 m2 2 2 1 a min 2 a b 13 B 解 方法一 已知ab和 比较a与ab ab 2 因为a2 ab 2 a a b 0 所以aab 同理由 a bb a b2 ab 2 b b a 0 得abb 作差法 b0 2 2 4 abab 所以 综上可得 b aabb 故选 B 2 2 方法二 取a2 b 8 a b a b 则a
9、b4 5 aabb 所以 2 2 14 D 解析 对于A 取ab 1 此时a2 b2 2ab 2 因此 A 不正确 对于B 取 a b 此时a b2 2 ab2 因此 B 不正确 对于C 取a b1 1 此时 1 1 2 2 2 因此 C 不正确 对于D ab0 abab b b0 0 aa bab a 2 2 D 正确 aba b 15 1 4 解析 由a 3b 6 0 得a 3b 6 1 1 1 1 所以2 2 3 6 2 2 3 6 2 2 3 a b b 8 2 2 4 b3b3b 1 当且仅当23 6 b 即b 1时等号成立 2 3b 16 1 4 1 3 U 4 解析 若2 则当x
10、 2 时 令x 4 0 得2 x4 当x2 时 令x 2 4x 3 0 得1 x2 综上可知1 x4 所以不等式f x 0 的解集为 1 4 令x 4 0 解得x4 令x2 4x 3 0 解得x 1或x 3 因 为函数f x 恰有 2 个零点 结合函数的图象 图略 可知1 3或4 2 2 2 2 2 1 2 1 1 17 1 uxyx 1 x 2x2x 1 2 x 且 解析 由题意 2 2 2 x 又x0 时 ux2 y2 1 1 1 0 1 x时 ux2 y2 当x 1时 min 2 2 1 ux2 y 2 1 所以x2 y2 取值范围为 1 2 18 4 解析 a 4 4b 4 1 4a
11、2b2 1 1 4ab4 ababab 当且仅当a2 2b2 且ab1 即 2 2 a时取等号 2 2 5 4x6 4 x 4 2 900 240 即 19 30 解析 总费用为 600 900 当且仅当x900 xxx x30 时等号成立 9 20 解析 x 1 4 x4 4 5 2 x 当a 5 时 4 4 4 f x a xa2a x 2a 2 x2a 4 xxx 所以f x 的最大值2a 4 5 即9 a 舍去 2 4 4 当a 4时 f x xa ax 5 此时命题成立 xx 当4 a5时 f x max 4 a a 5 a a 则 max 4 a a 5 a a 4 a a5 4
12、a a 5 a a 或 5 a a 5 解得 a9 或9 a 2 2 9 综上可得 实数a的取值范围是 2 21 6 3 解析 由a b c 0 得 ab c 则a 2 b c 2 b 2 c 2 2bc b 2 c 2 b 2 c 2 2 b 2 c 2 又a2 b2 c2 1 所以 3a 2 2 6 6 解得 故a的最大值为6 a 3 3 3 22 1 解析 设 2a b 最大 则必须a b同号 因为4 2 2 4 6 3 2 2 a b abab cab c 2 故有 2a b 2 4c 2 2 c 当且仅当2ab时取等号 此时c b 2 a b 2 1 2 4 4 4 1 1 所以 4
13、 2 1 1 abcbbb2 2 23 2 解析 设2a b t 则2a t b 因为4a2 2ab 4b2 c0 所以将2at b代入整理可得6b2 3tb t 2 c0 由 0 解得8 8 当2a b取得最大值时 8 ctctc 5 5 5 6 代入 式得 b 再由2a t b得3 cc a 10 2 10 所以 34 5 2 10 4 10 5 5 2 10 5 2 2 2 2 abccccccc 5 当且仅当 c时等号成立 2 76000 76000 24 1900 100 解析 F 1900 20 6 05 18 2 121 18 v v 当且仅当v 11时等号成立 F 76000
14、76000 2000 当且仅当v 10 时等号成立 20 5 18 2 100 18 v v 2000 1900 100 25 2 解析 1 a 2 a b ab a ab a 4 a b4 a 4 a b ab a a1 3 2 1 1 4 a 4 a b4 a 4 4 当且仅当 b a a0 即a2 b4 时取等号 4 a b 故 1 a 取得最小值时 a2 2 a b aa 26 36 解析 因为x0 a0 f x 4x2 4xg4a xx 当且仅当4x aa 即x3 解得a 36 x4 27 2 3 3 解析 x2 y2 xy 1 x y x y 2 xy 1 即 xy 2 2 1 2 x y 2 4 2 3 xy 3 3 7 1 1 28 9 解析 由柯西不等式可知 x 2 4y 2 1 2 2 9 yx 2 2 29 解析 令ab 1 排除 由2 a b2 abab1 命题 正确 a 2 b 2 a b 2 2ab 4 2ab2 命题 正确 1 1 a b2 2 命题 正确 ababab 8
