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1、总结 2 重要结论 带余除法定理对于任意多项式f x 和非零多项式g x 有唯一的q x 和r x 使得f x g x q x r x r x 0或degr x degg x 最大公因式的存在和表示定理任意两个不全为0的多项式都有最大公因式 且对于任意的最大公因式d x 都有u x 和v x 使得d x f x u x g x v x 互素f x 和g x 互素 有u x 和v x 使得f x u x g x v x 1 4 因式分解唯一定理次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之积 且不计因子次序和常数因子倍时 分解唯一 标准分解定理每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是非
2、零常数 p1 pt 是互不相同的首一既约多项式 n1 nt是正整数 进一步 a p1 pt n1 nt由f唯一确定 重因式f无重因式当且仅当f与其导式互素 5 代数学基本定理 下列陈述等价 复数域上次数 1的多项式总有根复数域上的n次多项式恰有n个根复数域上的既约多项式恰为一次式复数域上次数 1的多项式可分解成一次式之积 实数域上的次数 1的既约多项式只有无实根的二次式实数域上次数 1的多项式可分解成一次式和二次式之积 6 实数域上的标准分解定理在实数域上 每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项 x1 xt是f全不互不相同的根 p1 pt是互异 首一 无实根的二次式 复数
3、域上的标准分解定理在复数域上 每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解其中a是f的常数项 x1 xt是f全部互不相同的根 n1 nt分别是这些根的重数 7 多项式作为函数 两个多项式相等 即对应系数相同 它们作为函数相等 即在每点的函数值相等 它们在k 1个点的函数值相等 这里k是它们次数的最大者 设f x anxn a1x a0 若f x 在n 1个点的函数值为0 则f x 恒等于0 8 Eisenstein判别法 设是整系数多项式 若有素数p使得则f x 是有理数域上的既约多项式 有理根 有理根的分母整除首项系数 分子整除常数项 9 重要结论命题1 8 1若多项式的值全为0 则该多项式必
4、为0 命题1 8 2每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多项式之和 fn 0 且其中fi是0或i次齐次多项式 0 i n fi称为f的i次齐次分量 基本概念 次数 齐次分量 字典序 首项 对称多项式 对称多项式基本定理每个对称多项式 都可唯一地表示成初等对称多项式的多项式 10 11 12 13 14 15 Laplace定理 按第i1 ik行展开 分块三角形行列式 16 Cauchy Binet公式设U是m n矩阵 V是n m矩阵 m n 则 17 18 对单位矩阵做一次初等变换 对A做一次行变换 用相应的初等矩阵左乘以A对A做一次列变换 用相应的初等矩阵右乘以A 19 对于m n矩阵A B
5、下列条件等价A B 即A可由初等变换化成B有可逆矩阵P Q使得PAQ B秩A 秩BA B的标准型相同 A B行等价 有可逆矩阵P使得A PB每个矩阵都行等价于唯一一个RREF矩阵 A B等价 有可逆矩阵P Q使得A PBQ每个秩数为r的矩阵都等价于 矩阵等价 20 可逆矩阵vs列满秩矩阵 对于n阶矩阵A 下列条件等价A是可逆矩阵 A 0秩A n有B使得AB I或BA IA是有限个初等矩阵之积A 行或列 等价于IA的列 行 向量组线性无关方程组Ax 0没有非零解对任意b Ax b总有解对某个b Ax b有唯一解A是可消去的 即由AB AC或BA CA恒可得B C 对于m r矩阵G 下列条件等价G
6、是列满秩矩阵 G有一个r阶的非零子式秩G 列数G有左逆 即有K使得KG I有矩阵H使得 G H 可逆G行等价于G的列向量组线性无关方程组Gx 0没有非零解对任意b 若Gx b有解则唯一对某个b Gx b有唯一解G是左可消去的 即由GB GC恒可得B C 21 设A的秩数为r 则A有如下分解 其中P Q为可逆矩阵A PE 其中P可逆 E是秩数为r的RREFA GH 其中G列满秩 H行满秩 且秩数都是r 满秩分解 矩阵分解 22 分块矩阵的初等变换和Schur公式把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵Schur公式设A可逆 两种常用方法 适用例子 习题3 7 5 3 7 9 11 23 2 正则化
7、方法证明当A可逆时结论成立考虑xI A 有无穷多个x使得该矩阵可逆将要证明的结论归结为多项式的相等若两个多项式在无穷多个点处的值相同 则这两个多项式在任意点的值相等 特别地 取x 0 适用例子 习题3 6 4 3 7 7 3 7 11 24 特殊矩阵 三角正规可逆 对合 Hermite反Hermite酉矩阵幂等 幂零 对称反对称正交 对角 纯量 25 26 线性表示 列向量组 1 r可由 1 s线性表示当且仅当有矩阵C使得 1 r 1 s C 进一步 C的第k列恰为 k的表示系数线性表示有传递性被表示者的秩数 表示者的秩数 向量组等价 对于向量组S T 下列条件等价S和T等价 即S T可以互相
8、表示S T的极大无关组等价S T的秩数相等 且其中之一可由另一表示 27 线性相关与线性表示 1 r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示若 1 r线性相关 而 1 r线性无关 则 可由 1 r线性表示 且表法唯一 线性无关 对于向量组 1 r下列条件等价 1 r线性无关当c1 cr不全为0时 必有c1 1 cr r 0当c1 1 cr r 0时 必有c1 cr 0 1 r的秩数等于r 1 r 是列满秩矩阵 28 极大无关组与秩数 1 r S是S的一个极大无关组当且仅当 1 r线性无关S的每个向量都可由 1 r线性表示秩S 极大无关组中向量的个数若秩S r 则任何r个无关的向量都是极大无关
9、组矩阵的秩数 行向量组的秩数 列向量组的秩数 29 向量空间向量空间 加法和数乘封闭的向量集合基底 向量空间的极大无关组维数 向量空间的秩数行空间 矩阵的行向量组张成的向量空间列空间 矩阵的列向量组张成的向量空间 行空间与列向量的维数都等于矩阵的秩数对于矩阵m n矩阵A B 下列条件等价A B行等价A B的行空间相同A B的行向量组等价A B的列向量组线性关系一致Ax 0和Bx 0同解 30 线性方程组的表示方程式 矩阵式 Ax b 其中A aij m n x xi n 1 b bi m 1向量式 x1 1 xn n b 其中 i是xi的系数列 31 解的判定 1 n元线性方程组Ax b有解
10、系数矩阵与增广矩阵的秩数相等 具体地 当秩A 秩 Ab 时 方程组无解当秩A 秩 Ab n时 方程组有唯一解当秩A 秩 Ab n时 方程组有无穷解 2 线性方程组有解 常数列可由系数列线性表示 此时 解恰为表示的系数 32 解法Cramer法则Gauss Jordan消元法 用行变换和列换法变换将增广矩阵化成RREF写出RREF方程组取每个方程的第一个变量为主变量 其余的为自由变量 并解出主变量写出参数解或通解 33 解的结构齐次线性方程组Ax 0 解空间 解的集合基础解系 解空间的基底通解 设 1 s是一个基础解系 则通解为 c1 1 cs s 其中c1 cs是任意常数解空间的维数 未知数个
11、数 系数矩阵的秩数设秩A r 则Ax 0的任何n r个无关的解都是基础解系 34 一般线性方程组Ax b Ax b和Ax 0的解的关系 Ax b的两个解之差是Ax 0的解Ax b的解与Ax 0的解之和是Ax b的解Ax b的解的线性组合是设Sb和S0分别表示Ax b和Ax 0的解集合 则Sb S0 Sb通解 设 1 s是一个基础解系 是Ax b的一个解 则通解为 c1 1 cs s 其中c1 cs是任意常数 Ax 0的解 当系数和 0时 Ax b的解 当系数和 1时 35 多项式的计算带余除法求最大公因式 辗转相除法 求有理根 有理根的分母整除首项系数 分子整除常数项既约性判别 Eisenst
12、ein判别法重因式判别特殊多项式的因式分解用初等对称多项式表示对称多项式 36 矩阵计算行列式 化三角形 展开 递推求逆矩阵 行变换 伴随求秩数 初等变换 定义 37 方程组的计算求基础解系 Gauss Jordan消元法 行变换 列换法 已知秩A r 则任何r个无关解都是基础解系求通解 Gauss Jordan消元法 行变换 列换法 带参数的方程组 先化简 再判定 可先考虑唯一解的情形 特别是有系数行列式时 38 向量的计算设S 1 s是n元向量组 无论行或列 求S的秩数 S的秩数 它组成的矩阵的秩数判断S的相关性 设x1 1 xs s 0 将其转化成x的方程组 若方程组有非零解 则S相关 否则 无关 求S的秩数 若秩S s 则相关 若秩S s 则无关线性表示 令 x1 1 xs s 将其转化成x的方程组 若方程组有 唯一 解 则 可由S 唯一 表示 且方程组的解就是表示的系数 否则 不可由S表示 39 求极大无关组 若已知秩S r 则在S中找出r的无关的向量即可将S中的向量写成列的形式组成矩阵 对矩阵作行变换 化成阶梯形或RREF 则S与阶梯矩阵的列向量组线性关系一致 40 谢谢 41
