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1、第二章水动力弥散方程 用来描述地下水系统当中溶质运移规律的数学方程 微分方程 本章主要内容有 2 1 水动力弥散方程的有关参数1 流体的密度 浓度 2 多组分流体的流速 3 流体的通量 2 2 溶液中 组分的质量守恒方程2 3 组分的的对流 扩散 Fick方程 2 4 多孔介质中水动力弥散方程2 5 源汇项2 6 初始条件与边界条件 2 1水动力弥散方程的有关参数 2 1 1流体的密度 所谓的流体密度指的是单位流体体积的质量 常用 表示 量纲 ML 3 多组分流体的密度实际上对于非均质的多组分流体而言 其密度是随着组成它的各种组分的浓度不同而变化的 2 1 2多组分流体的流速 组分的质点流速
2、是指在dv内 组分的各个分子的统计平均速度 也就是各个分子的速度之和除以分子的个数 对每种多组分流体来看溶液中各种组分的速度是不相等的 流体体系的质点流速 流体体系中各组分的质量平均速度 一般情况下 组分的质点流速与流体体系的质量平均流速是不相等的 两者存在一个偏差 称为 组分质点相对于质量平均速度的扩散速度 2 1 3流体的通量 流体的质量通量 流体在单位时间内通过单位面积的流体的质量 组分的质量通量 单位时间内通过与流体方向垂直的单位面积上的 组分的质量 组分相对与溶体质量平均流速的质量扩散通量 对流体体系来说 显然有 这是因为 2 2溶液中 组分的质量守恒方程 连续介质 在多组分组成的流
3、体体系中任取一点P x y z 以P为中心取一微小的质量平衡体 如图2 1 其侧面分别平行与3个坐标面 边长分别为 x y z 质量守恒原理 在时间 t内 组分 在这个单元体中的净流出 或流出 量 暂不考虑起内部有质量产生和消失 应等于这个单元中 组分的质量变化用方程的形式可表示为 质量守恒方程 连续介质 设分别表示 组分密度 x y z方向的速度分量 其中 经过 t时间后 质量均衡体中的变化量 将上式左右两端同除以得 再对方程两端取极限 即令 即有 即 若微小的质量均衡体内存在着 组分的源汇项 则上式可改写为 多组分流体体系中 组分的质量守恒方程 多组分组成的流体中 单位体积流体在单位时间内
4、 由于化学反应或其它原因所产生 或消失 的 组分的质量 上述质量守恒方程中 至少包括4个未知变量有时可以独立给出 如抽 注 示踪剂的速率 但有时也与有关 如吸附作用 溶解作用 不能简单的给定 因此上述方程不能单独求解 还必须引入通量与驱动力之间的关系式 即质量通量与 组分密度间的关系 在多组分组成的溶体体系中 一种组分的运移受两个因素的驱动 2 3 组分的对流 扩散方程 连续介质 一是受流体的流动的控制 即该组分按平均流速随这个流体体系的运移 即对流 二是该组分的自身分子扩散 即由浓度梯度引起的相对于平均流速运移的分子扩散 下面在 组分质量守恒方程基础上建立 组分的对流 扩散方程 引入 组分的
5、质量扩散通量则上式可写成 是 组分的质量通量的对流分量 是 组分的质量通量的扩散分量 对于上有溶质 溶剂两种组分构成的二元体系 组分在等温条件 忽略热扩散 相对于质量平均速度的扩散通量可依Fick定律得出 表示溶质的分子扩散系数 二元体系中 组分的对流 扩散方程 对于低浓度溶液 浓度C的改变并不明显地影响 于是可视为常量 也可视为常数 则 稀释的二元体系中 组分的对流 扩散方程 将上述对流 扩散方程加上适当的边界条件和初始条件 即可用来解决流动的地表水中 组分的分布及变化规律 例如地表水体中污染物质的迁移 应用条件 1 二元体系 2 等温条件 3 低浓度 因此 必须对上述方程的各变量在典型单元
6、体上取平均值 也就是从微观水平上的研究过渡到比较粗的宏观水平上来研究多孔介质中所发生的现象 方程中微观变量C 都是相对于流体的质点而言的 而实际工作中都是取它们在典型单元体上的平均值 2 4多孔介质中水动力弥散方程 上述对流 扩散方程是对流体连续介质建立的 若从这种微观水平上来研究多孔介质中的溶质输运 则需把多孔介质的骨架作为问题的边界 将速度和浓度在典型单元体的空隙体积上取平均值和 速度和浓度可分别用平均值 和偏差 之和来表示 显然 于是连续性水动力方程可以写成 注意到 在典型单元体上的液相体积中取平均值 得 并且 梯度的平均等于平均的梯度 散度的平均等于平均的散度 对时间导数的平均值等于平
7、均对时间求导 可得 展开 得 在溶液连续体中的分子扩散系数在多孔介质典型单元体的空隙体积上取平均之后变为 多孔介质的分子扩散系数 它是一个张量 一般讲 他在数值上要小于 在平均过程中而引入的宏观水平上的附加变量为机械弥散变量 它是由于速度偏差而产生的弥散通量 如果不存在速度偏差 并忽略分子扩散 则溶质呈现 活塞式推进 或迁移 机械弥散系数 张量 实验表明 机械弥散通量类似介质中的分子扩散通量 也服从于类似Fick扩散定律的形式 水动力弥散系数 上式称为水动力弥散方程 水动力弥散通量 多孔介质的分子扩散系数 机械弥散系数 水动力弥散系数 记 则 建立水动力弥散方程 我们涉及了3个水平 即分子水平
8、 微观水平和宏观水平 地下水动力学中 一般仅涉及宏观水平 但对于弥散问题 必须涉及到此3个水平 这是因为 不讲分子水平 就无法理解分子扩散 不讲微观水平 就搞不清机械弥散 但为了解决问题 我们最终不得不上升到宏观水平上来 习惯上去掉 水动力弥散方程即表示为 写成微分的形式 I 多组分组成的流体中 单位体积流体在单位时间内 由于化学反应或其它原因所产生 或消失 的某组分的质量 展开 对于一维流动二维水动力弥散 对于一维流动一维水动力弥散 2 5源汇项 源汇项 系指在单位时间内 单位液相体积中由于化学反应 生物化学作用或抽注水等产生减少 组分的质量 2 5 1放射性密度与化学 生物化学反应 设其变
9、化规律为 即 衰变速率与当时浓度成正比 若由于化学反应或生物化学反应而使示踪剂在单位体积溶液中的消耗速率或产生速率与其浓度成正比 也可以用上述式子表示 2 5 2吸附与解吸 吸附与解吸 在一定条件下 溶液中某些溶质在多孔介质的固相表面产生吸附 解吸等物理化学作用 这些作用的结果应该综合到源汇项中 如果固相表面吸附示踪剂 称为吸附 视为汇 否则 称为解吸 视为源 溶解相 与吸附之间的吸附 解析作用往往是一个可逆的过程 多孔介质孔隙度 固体骨架体积 溶解相A的密度 吸附相的密度 对于饱水多孔介质n 常数 孔隙率 则 则 在体积为1的含水层中 如果体系中某种溶质的吸附 解吸为平衡 则有 I表示单位时
10、间内在单位液相体积由于这些作用增加或减少的示踪剂的质量 i 对于非均衡吸附作用 吸附作用常数 解析作用常数 ii 对于均衡吸附作用 平衡常数 令 则上式可以写为 该方程形式上也不再含有源汇项 只是用去除以水动力弥散系数和流速 由于 因此吸附作用产生的后果 相对于和均减小 起到减缓弥散的作用 所以把称为 减缓因子 将其代入对流 弥散方程中整理得到 2 5 3抽水与注水 如果有抽水或注水井 含水层中示踪剂的质量就会发生变化 i 当抽水时 若假设单位时间内从单位体积含水层中的抽水量为W 则 孔隙率 为抽水点处的溶质浓度 表示失去的溶质 则 水动力弥散方程可写为 ii 单位时间内向单位体积含水层中注入
11、含有示踪剂的水 示踪剂浓度C0 水动力弥散方程为 或 或 若含水量 不等于常数 饱气带 iii 含水层中注入浓度C0的放射性示踪剂 该示踪剂又与固体颗粒发生均衡吸附作用 此时的水动力弥散方程可表示为 则 研究非饱和带中的溶质运移 非饱和水动力弥散方程 2 6初始条件与边界条件 水动力弥散方程揭示了溶质在地下水中运移的一般规律 对于一个具体问题 我们必须知道其初始的状态 以及边界条件 才能达到地下水中溶质的空间分布规律及其随时间的变化 2 6 1初始条件 描述综合初始时刻 研究区D内各点 x y z 处的浓度分布状态的条件 数学表达式 初始条件 如 初始条件确指原始状态 初始时刻可以任意选定 只
12、要已知那一时刻研究区各点的浓度即可 例如 t 0时向某区域注入含示踪剂的水 若在此之前研究区D不含该示踪剂 则C x y z 0 如 在弥散试验时 可将示踪剂注入前浓度分布视为初始状态 设计地下污水治理方案时 可将现状污染物分布视为初始条件 2 6 2边界条件 边界条件指的是研究区边界上的溶质浓度分布和变化情况或边界上流入 或流出 研究区的浓度分布和变化情况 主要有以下三类情况 1 第一类边界条件 给定浓度边界 即已知边界上的浓度分布 为B1上的已知函数 为研究区D的第一类边界 2 第二类边界条件 给定弥散通量边界 指已知边界弥散通量随时间变化规律的边界条件 或者称之为Neumann边界条件
13、水动力弥散系数 为研究区上的第二类边界 为边界B2上某点 x y z 处的外法线方向上的单位向量 已知函数 定义在B2上 3 第三类边界条件 给定溶质通量边界 指已知边界上溶质通量随时间变化规律的边界条件 或称之为Cauchy边界条件 孔隙平均流速 已知函数 为研究区上的第三类边界 数学模型 描述实际问题的函数或数学方程 地下水溶质运移数学模型 微分方程 初始条件 边界条件 一般可以写成 2 7数学模型 例1 无限长多孔介质柱体 初始示踪剂呈阶梯函数分布 设有一无限长均质砂柱 以速度u做稳定流动 且初始浓度呈阶梯状分布 图4 8 解 该问题属于一维稳定流动一维水动力弥散问题 取坐标系如图4 8
14、 则数学模型可写成 例2 半无限长多孔介质柱体 一端为定浓度边界 设有一半无限长均质砂柱 一维稳定流动 孔隙平均流速为u 其一端为定浓度边界 求其浓度分布 解 取坐标系如图4 10所示 该问题的数学模型可描述如下 例3 一维稳定流动二维水动力弥散问题 在均质各向同性 等厚的承压含水层中存在着一维稳定流动 孔隙平均流速为u 取x坐标轴平行地下水流向 图4 11 这时 对于水动力弥散系数而言却是均质各向异性的 在x方向为纵向弥散系数DL 而在y方向为横向弥散系数DT 习题 1 设计Fick试验仪 验证Fick定律 计算多孔介质分子扩散系数及水动力弥散系数 2 写出一维砂柱溶质运移数学模型 例一 如
15、下图多孔介质A的边界外为另一种介质B则在A B的边界上 溶质通量应该保持 n为孔隙率 例二 如右图多孔介质为无孔隙介质 则通过该边界的流量和溶质的质量都为0 例三 多孔介质外围为Cr的河水 若忽略分子扩散 当是湖泊 水流静止 例四 多求介质边界为空气 此时两侧的浓度相等 浓度不变 变化率为0 方向导数 梯度 定义 若在数量场中的一点M处 存在这样的矢量G 其方向为函数u M 在点M处变化率最大的方向 其模也正好是这个最大变化率的数位 则称矢量G为函数u M 在函数u M 在点M处的梯度 记作 方向导数解决了函数u M 在给定点处沿某个方向的变化率问题梯度试图指出函数u M 沿那个方向的变化率最
16、大 最大变化率是多少 梯度与方向导数的关系 梯度的两个重要性质 1 方向导数等于梯度在该方向上的投影 G在l方向上的投影正好等于函数u M 在该方向上的方向导数 因此当l方向与梯度方向一致时 方向导数取得最大值 当l方向与梯度方向垂直时 方向导数0 当l方向与梯度方向相反时 方向导数 1 2 数量场中每一点M处的梯度 垂直于过该点的等值面 且指向函数u M 增大的方向 梯度的另一个定义 数量场u u x y z 在点M x y z 处的梯度是矢量 散度 设有矢量场A M 于场中一点M处作一包含点M在内的任一闭曲面S 设其所包围的空间域为 以 V表其体积 以表从其内穿出S的通量 若当以任意方式缩向点M时 比值 矢量场的散度实际上是通量相对于体积的变化率 之极限存在 则称此极限为矢量场A M 在点M处的散度 记为divA 旋度
