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1、第4章拉氏变换与连续时间系统S域分析 1 拉普拉斯变换2 拉普拉斯变换的性质3 拉普拉斯逆变换4 复频域分析5 系统函数及其稳定性分析 主要内容 4 1引言 4 1引言 傅立叶分析可将任意信号分解为不同频率的虚指数函数之和 使系统响应的求解得到简化 给出的结果有清楚的物理意义 但也存在明显不足 一 傅立叶分析应用条件上的限制 1 运用傅立叶分析必须满足一定的条件 因而限制了它的应用范围 2 对于给定初始状态的系统难于进行频域分析 针对第一个问题 即找到一种新的变换 既有类似于傅立叶变换的性质 又能克服在应用上的局限 4 1引言 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 拉普拉斯变换的优点 1 问题求解
2、简化 初始条件被自动计入 应用更加普遍 2 把微分 积分方程转化为代数方程 3 将复杂函数转化为简单的初等函数 4 将卷积转化为乘法运算 5 利用系统函数零 极点分布可以简明描述系统性能 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 一 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 在第3章中知道 有些函数不满足绝对可积的条件 使求解傅立叶变换困难 为此 引入一衰减因子 为实常数 乘以信号 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 一 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 不难看出 只要选取 则信号在时间正 负方向上信号幅度趋近于0 从而使的傅立叶变换存在 于是有 相应的傅立叶逆变换为 令 则 则有 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 将上两
3、式记为 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 的双边拉氏变换或象函数 的双边拉氏逆变换或原函数 拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别 变量t 都是实数 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 二 双边拉普拉斯变换及其收敛域 当函数乘以一衰减因子后 只有满足一定的条件 才能使信号收敛 其积分存在 它的拉普拉斯变换才存在 使存在的取值范围 称为双边拉普拉斯变换的收敛域 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 下面举例说明的收敛问题 例题4 2 1已知因果信号 求其拉氏变换 解 收敛域 收敛边界 可见 对于因果信号 仅当时 其拉氏变换存在 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 收敛坐标 例题4 2 2反因果信号 求其拉氏变换
4、 解 可见 对反因果信号 仅当时 其拉氏变换存在 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 例题4 2 3双边信号如下 求其拉氏变换 解 其双边拉氏变换为 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 当时 上式第一项存在 当时 上式第二项存在 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 例题4 2 4求下列双边信号的拉氏变换 解 可见 原函数不同 象函数相同 但收敛域不同 所以双边拉氏变换必须标明收敛域 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 结论 1 对于双边拉普拉斯变换 象函数Fb s 和收敛域共同确定原函数f t 2 不同的信号f t 可以有相同的Fb s 但它们的收敛域不同 不同的信号如果有相同的收敛域 则它们的Fb
5、s 也不同 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 三 单边拉普拉斯变换 实际应用中所讨论的信号都有初始时刻 一般设t 0时 f t 0 从而拉氏变换写为 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 注意 积分下限取为0 是考虑到f t 中可能包含冲激函数其各阶导数 单边拉普拉斯变换存在定理 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 如果函数f t 满足 1 在有限区间 其中 内可积 2 对于某一有 则对于 f t 的拉氏变换一定存在 表明 满足条件 1 和 2 的因果函数f t 存在拉氏变换 其收敛域为的右半平面 称为收敛坐标 与f t 性质有关 例如 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 收敛域 也就是说 单边拉氏变
6、换的收敛域为平行于轴的一条收敛轴的右边区域 即 例如 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 例题4 2 5求下列矩形脉冲信号的拉氏变换 其它 解 信号f t 显然可积 而且 无论取任何值 都有 即其收敛域为 则 结论 仅在有限区间不等于0 而在该区间外为0的可积信号 其拉氏变换在全s平面收敛 四 常用函数的拉普拉斯变换 1 阶跃函数 2 指数函数 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 3 函数 所以 容易求得 则 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 必须注意的是 所讨论的单边拉氏变换是从0点开始积分 因此 t 0区间的函数值与变换结果无关 上3个函数具有相同的拉氏变换式
7、 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 而 即单边拉氏变换所具有的特点 4 冲激函数 如果冲激函数出现在t t0 t0 0 时刻 则有 4 2拉普拉斯变换的定义 收敛域 5 复指数函数 如果 则得虚指数函数的拉氏变换为 4 3拉普拉斯变换的性质 4 3拉普拉斯变换的性质 一 线性特性 linearity 设K1 K2为常数 如果 则 4 3拉普拉斯变换的性质 线性举例 例题4 3 1求的拉氏变换 解 同样可求得 4 3拉普拉斯变换的性质 线性举例 例题4 3 2已知 求其拉氏逆变换 解 因为 所以 4 3拉普拉斯变换的性质 二 时域微分特性 differentiationinthetimedoma
8、in 如果 则 一般地 有 其中 4 3拉普拉斯变换的性质 线性 微分特性举例 例题4 3 3求解微分方程 解 对方程两边取拉氏变换 并根据线性和微分特性有 代入给定的初始值 得 则 4 3拉普拉斯变换的性质 三 s域微分特性 differentiationins domain 如果 则 一般地 有 例题4 3 4求函数的拉氏变换 解 4 3拉普拉斯变换的性质 四 时域积分特性 integrationinthetimedomain 如果 则 一般地 有 或记为 注意积分下限 其中 六 延时特性 timedelay 时域平移 4 3拉普拉斯变换的性质 如果 则 七 S域平移 shiftingin
9、s domain 如果 则 延迟t0后的信号 并非 4 3拉普拉斯变换的性质 s域平移举例 例题4 3 5求函数的拉氏变换 解 已知 则 同样可求得 4 3拉普拉斯变换的性质 八 尺度变换 scaling 如果 则 4 3拉普拉斯变换的性质 九 初值定理 initial valuetheorem 如果函数不含冲激函数及其各阶导数 的拉氏变换存在 则 4 3拉普拉斯变换的性质 如果函数含有冲激函数及其各阶导数 的拉氏变换存在 此时 则 初值定理应用条件 必须是真分式 若不是真分式 则可利用长除法使中出现真分式项则 真分式 4 3拉普拉斯变换的性质 初值定理举例 解 例题4 3 6已知 求 则 4
10、 3拉普拉斯变换的性质 十 终值定理 expiration valuetheorem 如果 的拉氏变换存在 而且存在 则 当且仅当F s 在s平面的虚轴上 原点除外 及其右半平面都为解析时 终值定理才可应用 即 当且仅当F s 的全部极点在左半s平面 或在s 0处只有一阶极点时 终值定理才可应用 4 3拉普拉斯变换的性质 例题4 3 7已知 求 解 例题4 3 8已知 在虚轴上 所以 的终值不存在 4 3拉普拉斯变换的性质 十一 卷积定理 如果 则有 1 时域卷积 convolutiontheoremintimedomain 2 s域卷积 convolutiontheoremincomplex
11、frequencydomain 如果 则有 4 4拉普拉斯逆变换 4 4拉普拉斯逆变换 拉氏逆变换的求法 1 直接利用逆变换的定义式求得 2 利用拉氏变换的性质求得 查表 3 部分分式展开 结合性质求得 4 4拉普拉斯逆变换 一 部分分式展开法 赫维塞德展开法 如果象函数是s的有理分式 其一般形式为 将分母写作如下形式 称为的 极点 4 4拉普拉斯逆变换 同样 可将分子写作如下形式 称为的 零点 假设均为实数 且无重根 1 的根无重根 且根为实数 4 4拉普拉斯逆变换 待定系数 则所求拉氏逆变换为 4 4拉普拉斯逆变换 例题4 4 1已知 求其逆变换 4 4拉普拉斯逆变换 注意 以上讨论假设
12、如果不满足此条件 则上面的方法将不能使用 下面讨论的情况 按上述方法求得的反变换只适用与的情况 4 4拉普拉斯逆变换 例题4 4 2已知 求其逆变换 解 用长除法求 即 满足m n 4 4拉普拉斯逆变换 F s 展开为下列形式 则 则 求得 4 4拉普拉斯逆变换 2 包含共轭复根 共轭极点 则可求出对应共轭复数极点的有关部分的逆变换为 4 4拉普拉斯逆变换 例题4 4 3已知 求其逆变换 4 4拉普拉斯逆变换 解 共轭复数极点 4 4拉普拉斯逆变换 因为 所以 则有 4 4拉普拉斯逆变换 与极点无关的部分 求得 令 于是有 3 有重根 4 4拉普拉斯逆变换 对上式求导 可得 由此得到 一般形式
13、 4 4拉普拉斯逆变换 例题4 4 4已知 求其逆变换 为求与重根有关的系数 令 则 于是有 所求的逆变换为 4 4拉普拉斯逆变换 4 4拉普拉斯逆变换 二 围线积分法 留数法 根据复变函数中的留数定理 上式左边的积分是在s平面内 沿一条不通过被积函数极点的封闭曲线C进行 等式右边的积分是在此围线C中被积函数各极点上留数之和 关键问题是求出围线内各极点的留数 4 4拉普拉斯逆变换 为运用留数定理 在求拉氏逆变换的积分线路 由到 上补一条积分线路以构成一封闭曲线 如右图 则原函数可表示为 当为有理函数时 如果为一阶极点 则留数为 如果为k阶极点 则留数为 例题4 4 5已知 求其逆变换 下面求各
14、极点上的留数 4 4拉普拉斯逆变换 4 4拉普拉斯逆变换 则有 4 4拉普拉斯逆变换 4 5连续时间系统的s域分析 4 5连续时间系统的s域分析 一 求解具有初始条件的微分方程 例题4 5 1已知某一系统的微分方程如下系统初始条件求当时系统的强迫响应和自由响应 解 对系统的微分方程两边求拉氏变换 有 4 5连续时间系统的s域分析 则得到输出的拉氏变换 强迫响应 自由响应 代入输入 则强迫响应的拉氏变换为 则强迫响应为 自由响应的拉氏变换为 4 5连续时间系统的s域分析 所求的自由响应为 系统的完全响应为 4 5连续时间系统的s域分析 分别画出各响应的波形 二 实际电路系统的s域分析 4 5连续
15、时间系统的s域分析 用拉氏变换分析电路的两个途径 1 首先列写时域微分方程 再求微分方程的拉氏变换 求出电路响应的拉氏变换 然后求逆变换 2 利用元件的s域模型分析电路 例题4 5 2下图所示电路 当t 0时 开关S位于 1 端 电路的状态已稳定 t 0时S从 1 端打到 2 端 分别求vC t 与vR t 解 二 实际电路系统的s域分析 4 5连续时间系统的s域分析 1 求vC t 列出微分方程如下 此时 将上式取拉氏变换 得 求VC s 的逆变换 则有 4 5连续时间系统的s域分析 2 求vR t 注意 从0 到0 发生了跳变的情况 4 5连续时间系统的s域分析 列出微分方程 此时 如果按
16、0 条件 则有 其中 4 5连续时间系统的s域分析 将上式取拉氏变换 有 则 其中 4 5连续时间系统的s域分析 如果按0 条件 则有 则 最后分别画出和的波形 4 5连续时间系统的s域分析 三 利用S域元件模型分析电路 R L C元件时域关系 R L C元件S域关系 4 5连续时间系统的s域分析 电路元件的S域模型 4 5连续时间系统的s域分析 电阻元件的S域模型 或 4 5连续时间系统的s域分析 电感元件的S域模型 利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型 4 5连续时间系统的s域分析 电容元件的S域模型 电流源形式的s域模型 4 5连续时间系统的s域分析 求解S域电路响应的步骤 1 画0 等效电路 求起始状态 2 画S域等效电路模型 3 列写S域KCL KVL方程 4 求解S域方程 求得响应的拉氏变换 5 求响应的拉氏逆变换 例题4 5 4用s域模型法求解下图 a 电路的vC t 和vR t 解 画出s域模型图 b 4 5连续时间系统的s域分析 a b 4 5连续时间系统的s域分析 由 得到 而 所以 4 5连续时间系统的s域分析 例题4 5 3下图所示电路 当t 0前开关位于
