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1、第二十四章相似三角形的判定复习 方伟良 三角形相似的判定方法有哪些 方法1 通过定义 方法5 两组角分别对应相等 两个三角形相似 方法2 平行于三角形一边的直线与其它两边相交 所得三角形与原三角形相似 方法3 三组对应边的比相等 两个三角形相似 方法4 两组对应边比相等且夹角相等 两个三角形相似 定理3 两角对应相等 两三角形相似 定理1 三组对应边的比相等 两三角形相似 相似三角形的判定定理 直角三角形相似的判定 直角边和斜边的比相等 两直角三角形相似 常见图形 定理应用 如图 ACB ADC 90 AC AD 2 问当AB的长为多少时 这两个直角三角形相似 要使这两个直角三角形相似 有两种
2、情况 1 当Rt ABC Rt ACD时 有 2 当Rt ACB Rt CDA时 有 故当AB的长为3或 时 这两个直角三角形相似 如图 ABC CDB 90 AC a BC b 当BD 时 ABC与 CDB相似 变式练 如图 已知 ABC CDB 90 AC a BC b 当BD与a b之间满足怎样的关系式时 两三角形相似 基本图形应用 1 已知 如图 ABC中 P是AB边上的一点 连结CP 满足什么条件时 ACP ABC 解 A A 当 1 ACB 或 2 B 时 ACP ABC A A 当AC AP AB AC时 ACP ABC 答 当 1 ACB或 2 B或AC AP AB AC时 A
3、CP ABC 在 ABC中 AB 9 AC 6 D是边AB上一点且AD 2 E是AC上的点 则AE 时 ADE与 ABC相似 或3 ADE ABC A B C D A B C D 练习 E E 已知 ABC中 D为AB上一点 画一条过点D的直线 不与AB重合 交AC于E 使所得三角形与原三角形相似 这样的直线最多能画出多少条 在 ABC中 AB AC 过AB上一点D作直线DE 不与AB重合 交另一边于E 使所得三角形与原三角形相似 这样的直线最多能画出多少条 画出满足条件的图形 E E E E 在直角坐标系中 点A 2 0 B 0 4 C 0 3 过点 作直线交x轴于点 使以 为顶点的三角形与
4、 AOB相似 这样的直线最多可以作 条A 2B 3C 4D 6 A B C D D O D D 动点与相似三角形 在平面直角坐标系中 四边形OABC为等腰梯形 OA BC OA 7 BC 3 COA 60 点P为线段OA上的一个动点 点P不与O A重合 连结CP 1 求点B的坐标 2 点D为AB上一点 且AD BD 3 5 连结PD 在OA上是否存在这样的点P 使 CPD BAO 若存在 求出直线PB的解析式 若不存在 请说明理由 P D 2 提示 AD BD 3 5 AB OC 4 AD 3 2又 OPC ADP设OP X 由X AD OC AP列出方程 解得X 1或6 如图 在 ABC中
5、C 90 BC 8 AC 6 点P从点B出发 沿着BC向点C以2cm 秒的速度移动 点Q从点C出发 沿着CA向点A以1cm 秒的速度移动 如果P Q分别从B C同时出发 问 经过多少秒时 CPQ CBA 经过多少秒时以C P Q为顶点的三角形恰好与 ABC相似 提示 只有一种情况 t 12 5 除上面一种外还有一种情况 t 32 11 0 t 4 基本图形应用 2 将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子 假设图形中的所有点 线都在同一平面内 则图中有相似 不包括全等 三角形吗 如有 把它们一一写出来 解 有相似三角形 它们是 ADE BAE BAE CDA ADE CDA ADE BAE
6、 CDA 什么方法 已知 如图 PQR是等边三角形 APB 120 求证 1 PAQ BPR 2 如图点C D在线段AB上 PCD是等边三角形 2 当 ACP PDB时 求 APB的度数 1 当AC CD DB满足怎样的关系式时 ACP PDB F 如图 已知EMAM 交AC于D CE DE求证 2ED DM AD CD 分析 如图 已知EMAM 交AC于D CE DE求证 2ED DM AD CD G 分析 综合运用 已知如图 在 ABC中 AD是 BAC的平分线 EF AD于点F AF FD 求证 DE BE CE A B C D F E 解 连接AE EF垂直平分AD AE DE ADE
7、 DAE ADE B BAD DAE CAD CAE AD是 BAC的角平分线 BAD CAD B CAE 又 AEB AEC 公共角 ABE CAE AE CE BE AE AE BE CE AE DE DE BE CE 如图 已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点 且PB 3BF BP 垂足为B 请在射线BF上找一点M 使以点B M C为顶点的三角形与 ABP相似 则BM 提示 由条件 ABP CBM 1 M1B BP BC AB 即M1B 3 4 4 M1B 3 此时全等 2 M2B AB BC BP 即M2B 4 4 3 M2B 16 3 MB有二解 3或16 3 正方形ABCD边长
8、为4 M N分别是BC CD上的两个动点 当M点在BC上运动时 保持AM和MN垂直 1 证明 Rt ABM Rt MCN 2 当M点运动到什么位置时Rt ABM Rt AMN 求此时x的值 提示 2 已知了这两个三角形中相等的对应角是 ABM和 AMN 如果要想使RT ABM RT AMN 那么两组直角边就应该对应成比例 即AM MN AB BM 根据 1 的相似三角形可得出AM MN AB MC 因此BM MC M是BC的中点 即X 2 已知 如图 D为 ABC内一点 连接BD AD 以BC为边在 ABC作 CBE ABD BCE BAD BE CE交于E 连接DE 求证 DBE ABC 分
9、析 由已知条件 ABD CBE DBC公用 所以 DBE ABC 要证的 DBE和 ABC 有一对角相等 要证两个三角形相似 或者再找一对角相等 或者找夹这个角的两对应边的比相等 从已知条件中可看到 CBE ABD 这样既有相等的角 又有对应边的比相等 问题就可以得到解决 证明 在 CBE和 ABD中 CBE ABD BCE BAD CBE ABD AB BC BD BE AB BD BC BE 又 CBE ABD CBE DBC ABD DBC 即 DBE ABC DBE ABC点评 本题应用综合分析法 既用到了相似三角形的性质 又用到了相似三角形的判定 要求同学们对四种判定方法和基本图形要
10、熟练掌握 已知 在 ABC中 BAC 90 AD BC E是AC的中点 ED交AB的延长线于F 求证 AB AC DF AF 分析 欲证AB AC DF AF 虽然这四条线段可分配于 ABC和 DFA中 但这两个三角形明显不相似 且图中又没有相等的线段来代换 故需借助中间比牵线搭桥 易证RT BAC RT BDA 得到AB AC BD AD 于是只需证DF AF BD AD进而证出 DFB AFD即可 证明 在RT ABC和RT DBA中 BAD C ABC DBA RT ABC RT DBA AB AC BD AD又在RT ADC中 E是AC的中点 DE CE C EDC FDB C BAD BAD FDB F F DFB AFD DF AF BD AD AB AC DF AF 再见
