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1、第二章二次函数 2 2二次函数的图象与性质 第3课时 说出下列函数图象的开口方向 对称轴 顶点 最值和增减变化情况 请说出二次函数y ax c与y ax 的平移关系 y ax2 当c 0时 向上平移c个单位 当c 0时 向下平移个单位 1 y ax2 2 y ax2 c 函数的图象的顶点坐是 开口方向是 最值是 函数y 2x2 3的图象可由函数的图象向 平移个单位得到 把函数y 3x2的图象向下平移2个单位可得到函数 的图象 0 3 小 向上 3 y 2x2 上 3 y 3x2 2 完成下表 我们已经认识了二次函数y 2x2的图象 那么二次函数y 2 x 1 2的图象与y 2x2的图象有什么关
2、系 做一做画二次函数y 2 x 1 2的图象 3218820281832 5032188202818 观察上表 你能发现2 x 1 2与2x2的值有什么关系 2 在图中 画出y 2 x 1 2的图象 你是怎么画的 与同伴进行交流 y 2 x 1 2 二次函数y 2 x 1 和y 2x 的图象有什么的关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 议一议 二次函数y 2 x 1 和y 2x 的图象形状相同 开口方向也相同 但对称轴和顶点坐标不同 二次函数y 2 x 1 的图象开口向上 对称轴是直线x 1 顶点坐标
3、分别是 1 0 二次函数y 2 x 1 和y 2x 的图象有什么的关系 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 议一议 实际上 将函数y 2x2的图象向右平移1个单位长度 就可以得到二次函数y 2 x 1 的图象 当x 1时 y的值随x值的增大而增大 当x 1时 y的值随x值的增大而减小 类似的 你能发现二次函数y 2 x 1 2的图象与二次函数y 2x 的图象有什么的关系吗 二次函数y 2 x 1 和y 2x 的图象形状相同 开口方向也相同 但对称轴和顶点坐标不同 二次函数y 2 x 1 的图象开口向上 对
4、称轴是直线x 1 顶点坐标分别是 1 0 y 2 x 1 类似的 你能发现二次函数y 2 x 1 2的图象与二次函数y 2x 的图象有什么的关系吗 实际上 将函数y 2x2的图象向左平移1个单位长度 就可以得到二次函数y 2 x 1 的图象 当x 1时 y的值随x值的增大而增大 当x 1时 y的值随x值的增大而减小 二次函数y 2x2 y 2 x 1 y 2 x 1 2的图象都是抛物线 并且形状相同 只是位置不同 将函数y 2x2的图象向右平移1个单位长度 就得到函数y 2 x 1 的图象 将函数y 2x2的图象向左平移1个单位长度 就得到函数y 2 x 1 的图象 猜一猜 二次函数y 2 x
5、 1 y 2 x 1 2和y 2x2的图象的位置和形状 二次函数y 2 x 1 和y 2x 的图象形状相同 开口方向也相同 但对称轴和顶点坐标不同 二次函数y 2 x 1 的图象开口向下 对称轴是直线x 1 顶点坐标分别是 1 0 实际上 将函数y 2x2的图象向右平移1个单位长度 就可以得到二次函数y 2 x 1 的图象 y 2x y 2 x 1 y 2 x 1 2 y 2x y 2 x 1 当x 1时 y的值随x值的增大而减小 当x 1时 y的值随x值的增大而增大 二次函数y 2 x 1 和y 2x 的图象形状相同 开口方向也相同 但对称轴和顶点坐标不同 二次函数y 2 x 1 的图象开口
6、向下 对称轴是直线x 1 顶点坐标分别是 1 0 实际上 将函数y 2x2的图象向左平移1个单位长度 就可以得到二次函数y 2 x 1 的图象 y 2 x 1 2 y 2x y 2 x 1 y 2 x 1 2 当x 1时 y的值随x值的增大而减小 当x 1时 y的值随x值的增大而增大 请你总结二次函数y a x h 2的图象和性质 1 抛物线y a x h 2的顶点是 h 0 对称轴是平行于y轴的直线x h 二次函数y a x h 2的性质 2 当a 0时 抛物线y a x h 2在x轴的上方 除顶点外 它的开口向上 并且向上无限伸展 当a 0时 抛物线y a x h 2在x轴的下方 除顶点外
7、 它的开口向下 并且向下无限伸展 x h x h 二次函数y a x h 2的性质 x h x h 3 当a 0时 在对称轴 x h 的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴 x h 右侧 y随着x的增大而增大 当x h时函数y的值最小 是0 当a 0时 在对称轴 x h 的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴 x h 的右侧 y随着x增大而减小 当x h时 函数y的值最大 是0 二次函数y a x h 2的性质 x h x h 4 a的绝对值越大 开口越小 a的绝对值越小 开口越大 二次函数y a x h 2与y ax2的图象形状相同 可以看作是抛物线y ax2整体沿x轴平移了h绝对值个单位
8、当h 0时 向右移h绝对值个单位 当h 0时 向左移h绝对值个单位 得到的 二次函数y a x h 2的性质 抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值 y a x h 2 a 0 y a x h 2 a 0 h 0 h 0 直线x h 直线x h 向上 向下 当x h时 最小值为0 当x h时 最大值为0 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 开口大小 想一想 y 2 x 3 2 y 2 x 3 2 的图象形状相同 开口方向也相同 但对称轴和顶点坐标不同 二次函数的图象开口
9、向上 对称轴是直线x 3 顶点坐标分别是 当x 3时 y的值随x值的增大而增大 当x 3时 y的值随x值的增大而减小 在同一坐标系中作出二次函数y 2x y 2x2 2 y 2 x 1 2 y 2 x 1 2 2 y图象 你是怎样做的 与同伴进行交流 二次函数y 2 x 1 2 2和y 2x y 2x2 2 y 2 x 1 2的图象有什么关系 它们是轴对称图形吗 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 y 2x y 2 x 1 y 2x2 2 y 2 x 1 2 2 将二次函数y 2x2的图象向右平移1个单位
10、长度可以得到函数y 2 x 1 的图象 将二次函数y 2x2的图象向上平移2个单位长度可以得到函数y 2x2 2的图象 将二次函数y 2x2的图象先向右平移1个单位长度 再向上平移2单位长度可以得到函数就可以得到函数y 2 x 1 2 2的图象 y 2 x 1 y 2x2 2 y 2 x 1 2 2 二次函数y 2 x 1 2 2和y 2x y 2x2 2 y 2 x 1 2的图象形状相同 开口方向相同 开口大小相同 二次函数y 2 x 1 2 2图象形状是抛物线 开口方向向下 对称轴是直线x 1 顶点坐标是 1 2 当x 1时 y的值随x值的增大而减小 当x 1时 y的值随x值的增大而增大
11、实际上 将二次函数y 2x2的图象先向右平移1个单位长度 再向上平移2单位长度可以得到函数就可以得到函数y 2 x 1 2 2的图象 请你总结二次函数y a x h 2 k的图象和性质 二次函数y a x h 2 k的图象和性质 抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值 y a x h 2 k a 0 y a x h 2 k a 0 h k h k 直线x h 直线x h 向上 向下 当x h时 最小值为k 当x h时 最大值为k 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 议一
12、议 二次函数y a x h 2 k与y ax2的图象有什么关系 一般地 平移二次函数y ax 的图象便可得到二次函数y a x h k的图象 因此 二次函数y a x h k的图象是一条抛物线 它的开口方向 对称轴和顶点坐标如下表所示 图象特征 二次函数 a x h 2 k 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 a 0 向下 a 0 直线x h h k 二次函数y a x h k与 ax 的关系 y a x h k a 0 的图象可以看成y ax 的图象先沿x轴整体左 右 平移 h 个单位 当h 0时 向右平移 当h0时向上平移 当k 0时 向下平移 得到的 4 若抛物线y 2 x 1 2 3沿x
13、轴方向平移后 经过 3 5 求平移后的抛物线的解析式 练习 1 若抛物线y x2向左平移2个单位 再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是 2 如何将抛物线y 2 x 1 2 3经过平移得到抛物线y 2x2 3 将抛物线y 2 x 1 2 3经过怎样的平移得到抛物线y 2 x 2 2 1 下列二次函数中 图象以直线x 2为对称轴 且经过点 0 1 的是 A y x 2 2 1B y x 2 2 1C y x 2 2 3D y x 2 2 3 解析 选C 根据以直线x 2为对称轴可知选项A C符合 再根据图象经过点 0 1 知选项C符合 将抛物线 向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 将抛
14、物线先向上平移2个单位 再向右平移1个单位后 得到的抛物线的表达式为 或 若把函数y x的图象用E x x 记 函数y 2x 1的图象用E x 2x 1 记 则E x 可以由E x 怎样平移得到 A 向上平移 个单位B 向下平移 个单位C 向左平移 个单位D 向右平移 个单位 选D 对于二次函数y 3 x 2 2 1 它的图象与二次函数y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 二次函数y 3 x 2 2与二次函数y 3x2的图象形状相同 开口方向都向下 都是轴对称图形 但对称轴和顶点坐标不同 函数y 3 x 2 2的图象的对称轴是直线x 2 顶点坐
15、标是 2 0 将函数y 3x2的图象向左平移2个单位长度 就可以得到函数y 3 x 2 2的图象 对于二次函数y 3 x 2 2 2 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 当x 2时 y的值随x值的增大而增大 当x 2时 y的值随x值的增大而减小 1 相同点 1 形状相同 图像都是抛物线 开口方向相同 2 都是轴对称图形 3 都有最 大或小 值 4 a 0时 开口向上 在对称轴左侧 y都随x的增大而减小 在对称轴右侧 y都随x的增大而增大 a 0时 开口向下 在对称轴左侧 y都随x的增大而增大 在对称轴右侧 y都随x的增大而减小 小结 学完本课后你
16、有哪些收获 二次函数y a x h k与 ax 的关系 2 不同点 只是位置不同 1 顶点不同 分别是 h k 和 0 0 2 对称轴不同 分别是直线x h和y轴 3 最值不同 分别是k和0 3 联系 y a x h k a 0 的图象可以看成y ax 的图象先沿x轴整体左 右 平移 h 个单位 当h 0时 向右平移 当h0时向上平移 当k 0时 向下平移 得到的 小结 学完本课后你有哪些收获 二次函数y a x h k与 ax 的关系 作业 习题2 41 2 3 4题 指出下列函数图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 必要时作出草图进行验证 课后习题 它是轴对称图形吗 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 怎样由函数y 2x2的图象得到函数y 2 x 1 2 3的图象 对于函数y 2 x 1 2 3 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时 y的值随x值的增大而减小 将函数y 2x2的图象先向上平移3个单位长度 再向右平移1个单位长度 就可以得到函数y 2 x 1 2 3的图象 当x 1时 y的值随x值的增大而增大 当x 1时 y的值随x值的增大而减小 分别写出两个符
