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1、两弹性体之间的接触压力问题 两球体的接触问题圆球与平面 或凹球面 的接触例题 接触问题 1 根据半空间体在边界上受法向分布力中有关知识 可导出两弹性体之间的接触压力以及由此所引起的应力和变形 下面我们先对两弹性球体进行讨论 设两个球体半径分别为R1和R2 如图 一 两球体的接触问题 设开始时两球体不受压力作用 它仅接触于一点O 那么此时 在两球体表面上取距公共法线距离为r的M1和M2两点 与O点的切平面之间的距离z1和z2 2 则由几何关系有 R1 z1 2 r2 R12 R2 z2 2 r2 R22得 a 当M1 M2离O点很近时 则z1 R1 z2 R2 上面两式可化为 3 而M1 M2两
2、点之间的距离为 当两球体沿接触点的公共法线用力F相压时 在接触点的附近 将产生局部变形而形成一个圆形的接触面 由于接触面边界的半径总是远小于R1 R2 所以可以采用关于半无限体的结果来讨论这种局部变形 4 现分别用w1和w2表示M1点沿z1方向的位移及M2点沿z2方向的位移 即相外的相对移动 w1 w2 z1 z2 设 为圆心O1 O2因压缩而相互接近的距离 如果M1与O1 M2与O2之间无相对移动则M1与M2 之间接近的距离也为 于是M1点和M2点之间的距离减少为 w1 w2 如果点M1 M2由于局部变形而成为接触面内的同一点M 则由几何关系有 5 将式 a 代入 得 w1 w2 r2 b
3、其中 c 根据对称性接触面一定是以接触点O为中心的圆 现以图中的圆表示接触面 而M点表示下面的球体在接触面上的一点 即变形以前的点M1 则按照弹性半空间受垂直压力q的解答 该点的位移为 6 其中 1及E1为下面球体的弹性常数 而积分应包括整个接触面 对于上面的球体 也可以写出相似的表达式 于是 d 其中 并由 d 式及 c 式得 e 7 到此 把问题归结为去寻求未知函数q 即要找出压力的分布规律 使式 e 得到满足 根据Hertz的假设 如果在接触面的边界上作半圆球面 而用它在各个点的高度代表压力q各该点处的大小 例如弦mn上一点压力的大小 可用过mn所作半圆的高度h来代表 8 接触圆内任一点
4、的压力 应等于半球面在该点的高度h和k q0 a的乘积 由此 不难从图可以看出 令q0表示接触圆中心O的压力 则根据上述假定 应有q0 ka由此得 k q0 a k这个常数因子表示压力分布的比例尺 A为弦mn上的半圆 用虚线表示 面的面积 即 9 由于 代入后再代入式 e 积分后得 d 有 10 要使此式对所有的r都成立 等号两边的常数项和r2的系数分别相等 于是有 这样 只要式 g 成立 Hertz所假定的接触面上压力分布是正确的 根据平衡条件 上述半球体的体积与的乘积应等于总压力F 即 g 11 由此的最大压力 h 它等于平均压力F a2的一倍半 将式 c 和式 h 代入式 g 求解a及
5、即得 由此并可求得最大接触压力为 12 在E1 E2 E及 1 2 0 3时 由上列各式得出工程实践中广泛采用的公式 13 在求出接触面间的压力之后 可利用按照弹性半空间受垂直压力q的解答导出的公式计算出两球体中的应力 最大压应力发生在接触面中心 值为q0 最大剪应力发生在公共法线上距接触中心约为0 47a处 其值为0 31q0 最大拉应力发生在接触面的边界上 其值为0 133q0 14 二 圆球与平面 或凹球面 的接触 利用上面关于两弹性球体接触时的有关结论 可得如下公式 当圆球与平面接触时 将以上结果中的R1 R0 R2 则得 F 15 在E1 E2 E及 1 2 0 3时 F 16 当圆
6、球与凹球面接触时 将以 R1代替两圆球接触时公式中的R1 则可得 F 17 在E1 E2 E及 1 2 0 3时 F 18 三例题 直径为10mm的钢球与a 直径为100mm的钢球 b 钢平面 c 半径为50mm的凹球面相接触 其间的压紧力P 10N 试球接触圆的半径a 两球中心相对位移 和最大接触应力q0 E 2 1 105N mm2 0 3 19 解 a 直径为10mm的钢球与直径为100mm的钢球 0 067mm 9 8 10 4mm 1080N mm F 20 0 069mm 9 5 10 4mm 1010N mm b 直径为10mm的钢球与钢平面 F 21 9 8 10 4mm 940N mm 0 071mm c 直径为10mm的钢球与半径为50mm的凹球面相接触 F 22
