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1、 均值定理 授课教师 严抒 授课班级 高一 10 11 1 若a 0 则 2 若a 0且b 0 则 3 用作差法证明不等式的步骤 知识准备 1 作差 2 变形 与0比较 3 定号 一个矩形的长为a 宽为b 画两个正方形 要求第一个正方形的面积与矩形的面积相同 第二个正方形的周长与矩形的周长相同 问哪个正方形的面积大 S ab C 2 a b 1 2 探究新知 第一个正方形的面积是ab 可得边长为 第二个正方形的周长为2 a b 边长为 我们要比较两个正方形面积的大小 只需要比较两个正方形的边长哪个长 对任意正实数a b 有 因此 等号成立 讲授新课 两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均
2、数 即对于任意两个正实数a b 有 当且仅当a b时 等号成立 这个结论称为 均值定理 变式 2 当且仅当a b时 等号成立 由a 0 b 0时 得 变式 1 积定和小 和定积大 例1 已知a 0 b 0 且ab 16 求a b的最小值 解 由a 0 b 0根据均值定理 得 当且仅当a b 即a 4时 等号成立 所以a b的最小值为8 一正 二定 三相等 结论 应用举例 例2 已知a 0 b 0 且a b 6 求ab的最大值 解 由a 0 b 0根据均值定理 得 当且仅当a b 即 所以ab的最大值为9 a 3时等号成立 一正 二定 三相等 一正 函数式中各项必须都是正数 二定 函数式中含变数
3、的各项的和或积必须是定值 三相等 等号成立条件必须存在 均值定理必须满足的条件 总结 练习巩固 1 已知a 0 b 0 且ab 49 求a b的最小值 2 已知a 0 b 0 且a b 10 求ab的最大值 拓展延伸 1 求证 对于任意正实数 有当且仅当时成立 2 求的最小值 并求出相应的值 1 用一根长为20cm的铁丝 围成一个矩形小框 长与宽各为多少时 面积最大 思考题 2 为了围成一个面积为49的矩形小框 至少要用多长的铁丝 1 解 设围成的矩形的长与宽分别为xcm ycm 答 矩形的长与宽都等于5cm时 面积最大 达到25 等号成立当且仅当时 由已知条件得 x y 据均值定理得 取最大
4、值25 2 解 设围成的矩形的长与宽分别为xcm ycm 答 至少要用28cm长的铁丝 等号成立当且仅当x y 7 由已知条件得 xy 49 据均值定理得 此时x y达到最小值14 从而2 x y 达到最小值2 14 28 小结 1 对于任意两个正实数a b 称为算术平均数 称为几何平均数 且 当且仅当a b时 等号成立 3 均值定理必须满足 一正 函数式中各项必须都是正数 二定 函数式中含变数的各项的和或积必须是定值 三相等 等号成立条件必须存在 2 变式应用 1 已知a 0 b 0 且ab 25 求a b的最小值 2 已知a 0 b 0 且a b 8 求ab的最大值 作业 3 求的最小值 并求相应x的值
