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1、第一章 二 函数的极限 第二节 极限的概念 一 数列的极限 1 函数与极限 一 数列的极限 定义在正整数集上的某一函数 按照自变量的增大 将其对应的函数值排成一列 一些数列的例子 1 数列极限的定义 这样的一列数 称为一个数列 数列中的每一个数称为数列的项 2 函数与极限 例如 3 函数与极限 随着 的增大 越来越小 且当 无限增大时 可以任意小 趋势 问 4 函数与极限 如果不存在这样的常数A 其中 或 定义1设数列 A是一常数 不论它多么小 使得对于 时的一切 都成立 是数列 的极限 记为 如果对于任意给定 总存在正整数 那么就称常 或者称数列 是发散的 就说数列没有极限 称数列 5 函数
2、与极限 6 函数与极限 例1 证 所以 习题 用定义证明数列极限时 去证满足条件的正整数 的存在性 关键是对于任意给定的 7 函数与极限 例2 证 所以 说明 常数列的极限等于同一常数 2 数列极限与子列极限的关系 这样得到 8 函数与极限 定理1 收敛数列与其子数列间的关系 收敛数列的 证 证毕 任一子数列也收敛 且极限相同 9 函数与极限 定理 收敛子数列与数列间的关系 对于数列 若 证明 证 证毕 10 函数与极限 二 函数的极限 1 自变量趋于无穷大时函数的极限 自变量趋向无穷大的三种情况 定义2 设函数 大于某一正数时有定义 若 则称 时的极限 记作 常数A为函数 对应的函数值 无限
3、接近于某个确定的数 趋于无穷大时的极限 11 函数与极限 自变量趋向无穷大的其余两种情况 12 函数与极限 13 函数与极限 例3用定义证明 证 取 因此 就有 故 欲使 即 14 函数与极限 2 自变量趋于有限值时函数的极限 若函数 在点 的某个去心邻域内有定义 当 自变量 时 若对应的函数值 无限接近于 某个确定的常数 则称 为函数 在 时的极限 定义5 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 使得当 时 有 则称常数A为函数 当 时的极限 或 若 记作 15 函数与极限 使当 时 有 的几何意义 16 函数与极限 那么就证明了 的存在性 也就证明了极限的存在 用定义证函数极限存在时 关键是对
4、于任意给定的 寻找满足条件的正数 如果找到了这样的 17 函数与极限 例6 18 函数与极限 单侧极限 右极限 左极限 19 函数与极限 左右极限存在但不相等 例6 证 20 函数与极限 作业P361 2 2 2 3 1 4 5 21 函数与极限 思考题解答 等价 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用 适当放大 的值 22 函数与极限 从而时 仅有成立 但不是的充分条件 反而缩小为 23 函数与极限 练习题 24 函数与极限 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 25 函数与极限 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于
5、不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 26 函数与极限 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 27 函数与极限 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 28 函数与极限 1 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 一 概念的引入 29 函数与极限 1 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 一 概念的引入 30 函数与极限 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于
6、不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 31 函数与极限 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 32 函数与极限 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 33 函数与极限 三 数列的极限 34 函数与极限 三 数列的极限 35 函数与极限 三 数列的极限 36 函数与极限 三 数列的极限 37 函数与极限 三 数列的极限 38 函数与极限 三 数列的极限 39 函数与极限 三 数列的极限 40 函数与极限 三 数列的极限 41 函数与极限 三 数列的极限 42 函数与极限 三 数列的极限 43 函数与极限 三 数列的极限 44 函数与极限 三 数列的极限 45 函数与极限 三 数列的极限 46 函数与极限
