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1、1 鄂州市 2015届高三摸底考试 文 第 卷 一 选择题 本大题共10 小题 每小题5 分 满分 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设全集U R 2 540 3 4 5 Ax xxxNB 则图中阴影表示的集合为 D A 1 2 3 4 B 1 2 5 C 2 3 D 1 2 2 若 log f x x 则 f x的定义域为 B A B C D 3 已知平面向量 且 则b A A 2 5B 3C 5D 22 4 已知 a b为非零向量 则 是 函数为偶函数 的 C A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 5 已知 3 44
2、6 sin 43 1 cos 43 则s in 的值是 B A 6 3 B 6 9 C 6 9 D 6 3 6 已知数列 n a为等差数列 1 1 a公差0d 1 a 2 a 5 a成等比 则 2014 a的值为 C A 4023B 4025C 4027D 4029 7 函数 y xsinx 在 上的图象是 A 1 2a2 bm ab 2 A B C D 8 定义在上的函数 xf满足 2 2 xfxfxfxf且 0 1 x时 5 1 2 x xf则 20 log2f D A 1 B 4 5 C 4 5 D 1 9 在中 点M是BC的中点 若 1 2 AB AC 则AM的最小值 是 D A 1
3、B 2 2 C 1 4 D 1 2 10 若函数 xf满足 存在 0TR T 对定义域内的任意 x fxTfxf T恒 成立 则称 xf为T函数 现给出下列函数 x y 1 2yx nxy1 xysin 2 xy其中为T函数的个数是 B A 1 B 2 C 3 D 4 第 卷 二 填空题 本大题共7 小题 每小题5 分 共 35 分 将答案填在答题卷相应位置上 11 已知i是虚数单位 复数 i i 32 5 的模为2 12 已知76sin m用含m的式子表示7cos 22 2 m 13 函数 sin 0 x f xx x 的一个极值点是 则 1 tan 41 0 14 函数 sin 0 0 2
4、 f xx的周期为 一条对称轴是 6 x 则 f x表达式为 sin 2 6 f xx 15 已知函数 0 1 0 2 xnx xkx xf 若0k 则方程 0 x f xe的解的个数有 3 个 R ABC120A 3 16 已知定义在实数集R上的函数 f x满足 1 2f 且 f x的导函数 fx 在R上恒 有 1fx 则不等式 1f xx 的解集为 1 17 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 他们研究 过如图所示的三角形数 将三角形数1 3 6 10 记为数列 将可被3 整除的三角形数按从小到大的 顺序组成一个新数列 可以推测 1 2014 b是数列中的第
5、3021 项 2 2 3k 3k 1 用 k 表示 三 解答题 本大题共5 小题 满分65 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 18 本小题满分12 分 已知命题p 函数 21 3 f xxax在区间 1 1 2 上不单调 命 题 q 函数 2 x f xa 在 R 上单调递增 其中21且aa 若 p且q 是 真命题 求实数a的取值范围 18 解 若 p 为真命题 则 11 1 22 a 即21a 分 若 q 为真命题 则211aa 6分 pq且是真命题 21 211 1 或 或 aa aa a 12 分 19 本小题满分12 分 已知函数 xf 2 2 3sincos2cosxxxm
6、在区间 0 3 上的最大值为2 求常数m的值 n a n b n a 21kb 4 在ABC中 角 A B C所对的边是a b c 若 1f A sin3sinBC ABC面积为 3 3 4 求边长a 19 解 mxxxxf 2 cos2cossin32 1 6 2sin 2mx 2 分 3 0 x 6 5 66 2x 3分 函数tysin在区间 2 6 上是增函数 在区间 6 5 2 上是减函数 当 26 2x即 6 x时 函数 xf在区间0 3 上取到最大值 5 分 此时 23 6 max mfxf得1m 6 分 1 Af 2sin 2 1 6 A 1 sin 2 62 A 解得0A 舍去
7、 或 3 A 8分 CBsin3sin C c B b A a sinsinsin cb3 9分 ABC面积为 4 33 4 33 3 sin 2 1 sin 2 1 bcAbcS即3bc 由 和 解得1 3 cb 3 cos13213cos2 22222 Abccba 7a 12 分 20 本小题满分13 分 某工厂年固定成本为10 万元 每生产千件产品需另投入2 7 万元 设工厂年产量为x千件 每千件的销售收入为 R x万元 且 假设产销平衡 年利润 销售总收入总成本 I 求年利润W 万元 关于年产量 x 千件 的函数解析式 II 年产量为多少千件时 该工厂所获年利润最大 2 10 8 0
8、10 30 76lg 10 x x R x x x x 5 20 解 1 当 010 时 66lg2 7xx 4分 3 8 110010 30 66lg2 710 x xx W xxx 6 分 2 当 010 时 W x 随 x 增大而减小 所以W x 66lg102 7 1038 12 分 综合 知x 9 时 W 取最大值 以当年产量为9 千件时 该工厂所获利润最大 13 分 21 本小题满分14 分 已知数列 an 的前 n项和为 Sn 且 2Sn 9 an 3 32log n a n b 1 求数列 an 和 b n 的通项公式 2 令 n n n b c a 求数列 cn 的前 n 项
9、和 Tn 3 证明 当n 2 时 a2nbn 1 解 1 数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 2Sn 9 an n 2 时 2Sn 1 9 an 1 得2an an an 1 n 2 2 分 又 n 1 时 2S1 2a1 9 a1 a1 3 数列 an 是以 3 为首项 为公比的等比数列 bn 3 2log3an 2n 1 b n 是首项为1 公差为2 的等差数列 4分 10 30 1 8 7 210 3 x xxxxRW x xxxRW7 2 3 1000 98 7 210 0 9 0 90 10 1 8 2 Wxx x W时且当得 9 10 0 xW时 6 38109 30 1 91
10、 8 3 max W 6 2 n n n b c a 2n 1 3n 2n 1 3 n 1 得 2n 1 3n 1 9 分 3 证明 由 知a2nbn a2 n 1 bn 1 a2nbn 数列 a2nbn 为单调递减数列 当 n 2 时 a2nbn a2b1 1 即当 n 2 时 a2nbn 1 14 分 22 本小题满分14 分 设函数 ln 2 axxxxf 1 若 2 1 x时 xf取得极值 求a的值 2 若 xf在其定义域内为增函数 求a的取值范围 3 设 1 2 xxfxg 当1a时 证明0 xg在其定义域内恒成立 并证明 2 1 2 12ln 3 3ln 2 2ln 2 2 2 2
11、 2 2 2 nNn n nn n n 22 1 因为 1 2 x时 f x取得极值 所以 1 0 2 f 即2 10 a 故3a 3 分 2 f x的定义域为0 要使 f x在定义域0 内为增函数 只需在0 内有 2 210 xax恒成立 7 即 1 2 ax x 在0 恒成立 5 分 又 11 222 2 2 2xx xx 7 分 22a 因此 若 f x在其定义域内为增函数 则 a的取值范围是 2 2 8 分 3 证明 ln1g xxax 当a 1 时 ln1g xxx 其定义域是0 令 1 10g x x 得1x 则 g x在1x 处取得极大值 也是最大值 而 1 0g 所以 0g x 在0 上恒成立 因此ln 1xx 10 分 因为2n nN 所以 22 ln1nn 则 22 222 ln11 1 nn nnn 所以 222 222222 ln 2ln 3ln111 1 1 1 2323 n nn 222 111 1 23 n n 111 1 2334 1 n n n 11 1 21 n n 2 21 2 1 nn n 14 分
