《【数学】广东省东莞市实验中学2015届高三模拟考试试题(三)(理)..pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】广东省东莞市实验中学2015届高三模拟考试试题(三)(理)..pdf（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 广东省东莞市实验中学2015 届高三模拟考试试题 三 理 参考公式 S表示底面积 h表示底面的高 柱体体积ShV 锥体体积ShV 3 1 一 选择题 共 8 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 学 1 设全集 6 x NxU 集合3 1A 5 3 1B 则 BACU等于 A 4 1 B 5 1 C 5 2 D 4 2 2 复数 5i 2i 2i z i是虚数单位 的共轭复数为 A 5 i 3 B 5 i 3 C i D i 3 若函数 3 5 2 5 xx fx fxx 则2f的值为 A 2 B 3 C 4 D 5 4 已知等差数列 n a中 前 10 项
2、的和等于前5 项的和 若0 6 aam 则m A 10 B 9 C 8 D 2 5 某几何体的三视图如图所示 且该几何体的体积是3 则正视图中的x的 值是 A 2 B 9 2 C 3 2 D 3 6 已知在平面直角坐标系xOy上的区域 D由不等式组 12 2 2 x y xy 给定 目标 函数25zxy的最大值为 A 1 B 0 C 1 D 5 7 已知 m n为两条不同的直线 为两个不同的平面 给出下列4 个命题 若 mnmn则 若 mnmn则 若 mm则 若 mnmn则 其中真命题的序号为 A B C D 8 若 曲 线C在 顶 点O的 角的 内 部 A B分 别 是 曲 线C上 相 异
3、的 任 意 两 点 且 AOB 我们把满足条件的最小角叫做曲线C相对点O的 确界角 已知O为坐 2 D C B A 标原点 曲线C的方程为 2 2 1 21 x y x 0 0 x x 那么它相对点O的 确界角 等于 A 3 B 5 12 C 7 12 D 2 3 二 填空题 本大题共7 小题 每小题5 分 满分30 分 其中14 15 题是选做题 考生 只能选做一题 二题全答的 只计算前一题得分 9 已知 0 x y 31 2 2 xy 则 14 xy 的最小值为 10 二项式 26 1 x x 的展开式中含 3 x的项的系数是 用数字作答 11 如 图 已知ABC中 4ABAC 90BAC
4、 D是BC的 中 点 若 向 量 1 4 AMABm AC 且AM的终点M在ACD的内部 不含边界 则AMBM的 取值范围是 12 过点 1 1 M作斜率为 1 2 的直线与椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 相交于A B 若M是线段 AB的中点 则椭圆C的离心率为 13 对任意实数a b 若 ab的运算原理如下图所示 1x是函数 1 1y x 的零点 1y是 二次函数 2 23yxx在 0 3 上的最大值 则 11 xy 14 坐标系和参数方程选做题 已知两曲线参数方程分别为 3 cos 0 sin x y 和 2 3 2 xt tR yt 它们的交点坐标为 3 15 几何证明选讲
5、选做题 如图所示 AB与 CD是 O的直径 AB CD P是 AB延长线上一点 连 PC交 O于点 E 连 DE交 AB于点 F 若 AB 2BP 4 则 PF 三 解答题 本大题共6 小题 共80 分 解答应写出文字说明 证明过 程或演算步骤 16 本题满分12 分 已知函数 2 3sincoscos2 Rf xxxx x 1 求函数 f x的单调递增区间 2 在ABC中 内角ABC 所对边的长分别是abc 若 2 C 2 4 f Ac 求ABC的面积 ABC S 的值 17 本小题满分12 分 某校 1 位老师和6 名学生暑假到甲 乙 丙三个城市旅行学习 每个城市随机安排2 名学 生 教师
6、可任意选择一个城市 学生 a 与老师去同一城市 记为事件A 学生 a 和 b 去 同一城市 为事件 B 1 求事件BA 的概率 AP和 BP 2 记在一次安排中 事件BA 发生的总次数为 求随机变量的数学期望 E 18 本小题满分14 分 四棱锥PABCD中 PA底面ABCD 且 1 2 PAABADCD ABCD 90ADC 1 在侧棱PC上是否存在一点Q 使 BQ平面PAD 证明你的结论 2 求证 平面PBC平面PCD 3 求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值 A P B C D Q 4 19 本小题满分14 分 已知数列 n a中 11 1 2 2 n n aa a 数列
7、 n b中 1 1 n n b a 其中Nn 1 求证 数列 n b是等差数列 2 设 n S是数列 1 3 n b 的前 n 项和 求 12 111 n SSS 3 设 n T是数列 1 3 n n b 的前 n 项和 求证 3 4 n T 20 本小题满分14 分 已知椭圆C过点 3 1 2 A 两焦点为 1 3 0 F 2 3 0 F O是坐标原点 不经过原 点的直线lykxm 与椭圆交于两不同点 P Q 1 求椭圆C的方程 2 当1k时 求OPQ面积的最大值 3 若直线OP PQ OQ的斜率依次成等比数列 求直线l的斜率k 21 本小题满分14 分 已知函数 ln 1 Rax x a
8、xf 1 当2a时 比较 xf与 1 的大小 2 当 2 9 a时 如果函数kxfxg 仅有一个零点 求实数k的取值范围 3 求证 对于一切正整数n 都有 12 1 7 1 5 1 3 1 1ln n n 5 参考答案 一 选择题 每小题5 分 共 40 分 序号1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBAD A B B 二 填空题 本大题共6 小题 每小题5 分 共 30 分 9 3 10 2011 6 212 2 2 13 714 3 6 1 15 3 三 解答题 来源 16 解 1 2 3sincoscos2Rf xxxxx 2sin 2 6 f xx 3 分 由222 262 kxkk
9、Z 解得 63 kxkkZ 函数 f x的单调递增区间是 63 kkkZ 6 分 2 在 ABC中 2 2 4 f ACc 2sin 2 2 6 A 解得 3 AkkZ 7 分 又0A 3 A 8 分 依据正弦定理 有 6 sinsin 34 ac a解得 5 12 BAC 10 分 6 116233 sin26 2242 ABC SacB 12 分 17 解 1 3 1 AP 5 13 2 2 2 4 2 6 2 2 2 4 CCC CC BP 5 分 2 的可能取值为0 1 2 7 分 baPP 2 与老师去同一城市 15 1 3 1 5 1 9 分 baPP 1 同城 但a 与老师不同
10、baP 不同 a 与老师同 5 2 15 6 5 1 3 2 5 4 3 1 10 分 baPP 0 不同 a 与老师也不同 15 8 5 4 3 2 11 分 所以 15 8 15 8 0 5 2 1 15 1 2E 12 分 18 1 解 当Q为侧棱PC中点时 有 BQ平面PAD 证明如下 如图 取PD的中点E 连AE EQ Q为PC中点 则EQ为PCD的中位线 EQCD且 1 2 EQCD ABCD且 1 2 ABCD EQAB且EQAB 四边形ABQE为平行四边形 则 BQAE BQ平面PAD AE平面PAD BQ平面PAD 4 分 2 证 PA底面ABCD PACD ADCD PAA
11、DA CD平面PAD AE平面PAD CDAE PAAD E为PD中点 AEPD CDPDD AE平面PCD BQAE BQ平面PCD BQ平面PBC 平面PBC平面PCD 9 分 3 解法一 设平面PAD平面PBCl BQ平面PAD BQ平面PBC BQl 7 BQ平面PCD l平面PCD lPD lPC 故DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角 12 分 CD平面PAD CDPD 设 1 2 PAABADCDa 则 22 2PDPAADa 22 6PCCDPDa 故 3 cos 3 PD DPC PC 平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为 3 3 14 分 解法二 如
12、图建立直角坐标系 设1 2PAABADCD 则 0 0 0 A 0 1 0 1 2 0 0 0 1 BCP 则 0 1 1 PB 1 1 0 BC 设平面PBC的法向量为 nx y z 则 由 0 0 n PB n BC 0 0 yz xyz xy 取 1 1 1 n 11 分 由CD平面PAD ABCD 知AB平面PAD 平面PAD的法向量为 0 1 0 AB 12 分 设所求锐二面角的大小为 则 13 cos 3 13 AB n ABn 所求锐二面角的的余弦值为 3 3 14 分 19 解 1 1 1 11 1 11 1 n n nn n a b aa a 而 1 1 n n b a 1
13、1 1 11 n nn nn a bb aa Nn n b 是首项为 1 1 1 1 1 b a 公差为 1 的等差数列 4 分 2 由 1 可知 n bn 111 1 12 3336 nn n n bnSn 6 分 于是 16 1 n Sn n 11 6 1nn 7 分 故有 12 111 n SSS 111 6 1 223nn 8 6 16 1 11 n nn 9 分 3 证明 由 1 可知 1 3 n n b 1 3 n n 则 2111 12 333 n n Tn 231 11111 1 2 1 33333 n n n Tnn 则 232111 3333 n T 111 33 nn n
14、 1111 1 233 nn n n T 131 113 44 3234 nnn 14 分 20 解 1 由题意得3c 可设椭圆方程为 22 22 1 3 xy bb 则 22 13 1 34bb 解得 2 1b 所以椭圆 C的方程为 2 2 1 4 x y 4 分 2 22 440 yxm xy 消去 y 得 22 584 1 0 xmxm 2 1212 84 1 55 mm xxx x 则 22 16 5 005mm 6 分 设d为点O到直线l的距离 则 12 11 2 22 2 OPQ m Sd PQxx 22 22 1212 1225 451 2552 mm mxxx xmm 当且仅当
15、 2 5 2 m时 等号成立所以OPQ面积的最大值为1 9 分 3 22 440 ykxm xy 消去y得 222 1 4 84 1 0kxkmxm 则 222222 6416 1 4 1 16 41 0k mkmkm 9 2 121222 84 1 1414 kmm xxx x kk 故 22 12121212 y ykxm kxmk x xkm xxm 11 分 因 为 直 线OPPQOQ 的 斜 率 依 次 成 等 比 数 列 2 2 1 1 x y k x y k OQOP 2121 mkxmkxyy 所以 22 22 121212 12 1212 0 yyk x xkm xxm kk
16、m xxm xxx x 22 2 2 8 0 14 k m m k 由于0 m故 211 42 kk 14 分 21 解 1 当2a时 x x xfln 1 2 其定义域为 0 1分 因为 0 1 11 1 2 2 2 2 xx x xx xf 所以 xf在 0 上是增函数 3 分 故当1x时 1 1 fxf 当1x时 1 1 fxf 当1x时 1 1 fxf 4分 2 当 2 9 a 时 x x xfln 1 2 9 其定义域为 0 22 1 2 2 12 1 1 2 9 xx xx xx xf 令 0 xf得 2 1 1 x 2 2 x 6 分 因为当 2 1 0 x或2x时 0 xf 当2 2 1 x时 0 xf 所以函数 xf在 2 1 0 上递增 在 2 2 1 上递减 在 2 上递增 且 xf的极大值为2ln3 2 1 f 极小值为2ln 2 3 2 f 7分 10 又当0 x 时 xf 当x时 xf 因为函数kxfxg 仅有一个零点 所以函数 xfy的图象与直线ky仅 有一个交点 所以2ln3k或2ln 2 3 k 9分 3 方法一 根据 1 的结论知当1x时 1 xf
