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1、1 银川九中 2015 届高三年级第一次模拟数学 理科 试卷 参考公式 样本数据 n xxx 21 的标准差锥体体积公式 222 12 1 n sxxxxxx n 1 3 VSh 其中x为样本平均数其中S为底面面积 h为高 柱体体积公式球的表面积 体积公式 VSh 2 4SR 3 4 3 VR 其中S为底面面积 h为高其中 R为球的半径 第 卷 选择题 共60 分 一 选择题 本大题共12 小题 每题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 复数 1 ai i 为纯虚数 则它的共轭复数是 A 2iB 2iC iD i 2 下列函数中 同时具有性质 1 图象
2、过点 0 1 2 在区间 0 上是减函数 3 是偶函数 这样的函数是 A y x 3 1 B y log2 x 2 C y 1 2 x D y 2 x 3 在 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 an 中 首 项a1 3 前 三 项 和 为21 则a3 a4 a5 A 33 B 72 C 84 D 189 4 角的终边经过点A 3 a 且点 A 在抛物线 21 4 yx 的准线上 则sin A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 5 某程序框图如图所示 该程序运行后 输出的x值为 31 则a等于 2 A 1B 0 C 2D 1 6 个几何体的三视图及其尺寸如右图所示 其中正 主
3、 视图是直角三角形 侧 左 视图是半圆 俯视图是等腰三角形 则这个几何体的体积是 单 位 cm 3 A B C D 7 已知实数m 是 2 8 的等比中项 则圆锥曲线 2 2 y x m 1 的离心 率为 A 3 2 B 5 C 5与 3 2 D 以上都不对 8 曲线 y 1 1 x x 在点 0 一 1 处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为 A 4 1 B 1 2 C 4 3 D 1 8 9 为了测算如图所示的阴影部分的面积 作一个边长为3 的正方形将其包含在 内 并向正方形内随机投掷600 个点 已知恰有200 个点落在阴影部分内 据此 可估计阴影部分的面积是 A 4 B 3 C 2
4、D 1 3 10 设函数 3cos 2 sin 2 2 f xxx 且其图象关于直线0 x对称 则 A yf x的最小正周期为 且在 0 2 上为增函数 B yf x的最小正周期为 且在 0 2 上为减函数 C yf x的最小正周期为 2 且在 0 4 上为增函数 D yf x的最小正周期为 2 且在 0 4 上为减函数 11 已知正方形ABCD 的边长为2 点 P Q 分别是边AB BC边上的动点且 AQDP 则 QPCP 的最小值为 A 1 B 2 C 3 D 4 12 已知 0 23 0 2 2 xx xx xf 若axxf 在 1 1 x上恒成立 则实数a的取值范围是 A 0 1 B
5、0 1 C 1 0 D 0 1 第 卷 非选择题 共90 分 二 填空题 本大题共4 小题 每题5 分 共 20 分 各题答案必须填写在答题卡上 只填 结果 不要过程 13 已知点 P在抛物线y 2 4x 上 那么点 P到点 Q 2 1 的距离与点P到抛物线焦点距离 之和取得最小值时 点P的坐标为 14 已知圆 C x 2 y 2 6x 4y 8 0 以圆 C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点 则适合上述条件的双曲线的标准方程为 15 如图 为了测得河的宽度CD 在一岸边选定两点A B 使 A B D在同一直线上 现测 得 CAB 30 CBA 75 AB 120 m 则河的宽度是
6、16 球内接正六棱锥的侧棱长与底面边长分别为 22 和 2 则该球的体积为 三 解答题 本大题共解答5 题 共 60 分 各题解答必须答在答题卡上 必须写出必要的 文字说明 演算步骤或推理过程 4 17 本小题满分12 分 已知函数 22 2 1 57f xxnxnn 设函数 yf x的图像的顶点的纵坐标构成数列 n a 求证 n a为等差数列 设函数 yf x的图像的顶点到 x轴的距离构成数列 n b 求 n b的前n项和 n S 18 本小题满分12 分 为了解某商场旅游鞋的日销售情况 现抽取部分顾客购鞋的尺码 将所得数据绘成如图所示频率分布直方图 已知图中从左到右前三组的频率之比为1 2
7、 3 第二组的频数为10 1 用频率估计概率 求尺码落在区间 37 5 43 5 的概率约是多少 2 从尺码落在区间 37 5 43 5 和 43 5 45 5 的顾客中任意选取两人 记在区间 43 5 45 5 内的人数为X 求 X的分布列及数学期望EX 19 本小题满分12 分 如图 正方形 ABCD 和四边形ACEF 所在平面互相垂直 CE AC EF AC AB 2 CE EF 1 1 求证 AF 平面 BDE 2 求证 CF 平面 BDE 3 求二面角A BE D 的大小 20 本小题满分12 分 在直角坐标系xOy中 长为21的线段的两端点C D 分别在 x 轴 y 轴上滑动 2C
8、PPD 记点 P的轨迹为曲线E I 求曲线E的方程 II 经过点 0 1 作直线l 与曲线 E相交于 A B两点 OMOAOB 当点 M 在曲线 E上时 求四边形OAMB 的面积 21 本小题满分12 分 已知 22 1 ln 0 2 f xxax a 5 I 求函数f x 的最小值 II 当 x 2a 证明 2 3 22 f xfa a xa 四 选做题 本小题满分10 分 请考生22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则 按所做的第一题记分 22 本题满分10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 在 ABC 中 BC 边上的点D 满足 BD 2DC 以 BD 为直径作圆O 恰与
9、CA相切于点A 过点 B 作 BE CA于 点 E BE交圆 D 于点 F I 求 ABC的度数 II 求证 BD 4EF 23 本题满分10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点 极轴为z轴的正半轴 两种坐标系的长度单 位相同 己知圆C1的极坐标方程为p 4 cos sin P 是 C1上一动点 点Q 在射线 OP 上且满足 OQ 1 2 OP 点 Q 的轨迹为 C2 I 求曲线C2的极坐标方程 并化为直角坐标方程 II 已知直线l 的参数方程为 2cos sin xt yt t 为参数 0 0 I 当 a l 时 解不等式f x 4 II 若 f x
10、 4恒成立 求实数a 的取值范围 C A B E D O F 6 参考答案 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D C C B D A C A B B C B 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 1 4 1 14 22 1 412 xy 15 60 m 16 3 32 三 解答题 本大题共解答5 题 共 60 分 17 本小题满分12 分 解 222 2 1 57 1 38f xxnxnnxnn 38 n an 2分 1 3 1 8 38 3 nn aann 数列 n a为等差数列
11、 4分 由题意知 38 nn ban 6分 当12n时 83 n bn 2 1 1 5 83 133 222 n nn n bbnnnn Sbb 8分 当3n时 38 n bn 123 521 38 nn Sbbbbn 2 2 1 38 31328 7 22 nnnn 10分 2 2 133 12 2 31328 3 2 n nn n S nn n 12分 7 18 本小题满分12 分 解 1 由频率分布直方图第四组第五组的频率分别为0 175 0 075 再由频率之比和互斥事 件的的和事件的概率等于概率之和 P 0 25 0 375 0 175 0 8 5 分 2 设抽取的顾客人数为n 则由
12、已知可得n 40 尺码落在区间 43 5 45 5 的人数为3 人 所以可知X可能取到的值为0 1 2 又尺码落在区间 37 5 43 5 的人数为10 人 所 以 P X 0 26 15 2 13 2 10 C C P X 1 13 5 2 13 1 3 1 10 C CC P X 2 26 1 2 13 2 3 0 10 C CC 11分 所以 X的数学期望EX 13 6 12分 19 本小题满分12 分 解析 1 设 AC 与 BD 交于点 G 因为 EF AG 且 EF 1 AG 1 2AC 1 所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以AF EG 因为 EG 平面 BDE AF 平面
13、BDE 所以 AF 平面 BDE 2 因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直 且 CE AC 所以 CE 平面 ABCD 如图以 C 为原点 建立空间直角坐标系C xyz 则 C 0 0 0 A 2 2 0 D 2 0 0 E 0 0 1 F 2 2 2 2 1 所以 CF 2 2 2 2 1 BE 0 2 1 DE 2 0 1 所以 CF BE 0 1 1 0 CF DE 1 0 1 0 所以 CF BE CF DE 所以 CF 平面 BDE 3 由 2 知 CF 2 2 2 2 1 是平面 BDE 的一个法向量 设平面 ABE 的法向量n x y z 则 n BA 0 n
14、 BE 0 即 x y z 2 0 0 0 x y z 0 2 1 0 所以 x 0 z 2y 令 y 1 则 z 2 所以 n 0 1 2 从而 cos n CF n CF n CF 3 2 因为二面角A BE D 为锐角 所以二面角A BE D 的大小为 6 20 本小题满分12 分 解 设C m 0 D 0 n P x y 8 由 CP 2PD 得 x m y 2 x n y x m 2x y 2 n y 得 m 2 1 x n 2 1 2 y 2 分 由 CD 2 1 得 m 2 n2 2 1 2 2 1 2x2 2 1 2 2 y 2 2 1 2 整理 得曲线E的方程为x2 y 2
15、2 1 5 分 设 A x1 y1 B x2 y2 由 OM OA OB 知点 M 坐标为 x1 x2 y1 y2 设直线 l 的方程为y kx 1 代入曲线E方程 得 k 2 2 x2 2kx 1 0 则 x1 x2 2k k 2 2 x1x2 1 k 2 2 7 分 y1 y2 k x1 x2 2 4 k 2 2 由点 M 在曲线 E上 知 x1 x2 2 y1 y2 2 2 1 即 4k 2 k 2 2 2 8 k 2 2 2 1 解得 k2 2 9 分 这时 AB 1 k2 x1 x2 3 x1 x2 2 4x 1x2 3 2 2 原点到直线l 的距离 d 1 1 k 2 3 3 平行
16、四边形OAMB 的面积 S AB d 6 2 12 分 21 本小题满分12 分 解 f x x a 2 x x a x a x 1 分 当 x 0 a 时 f x 0 f x 单调递减 当 x a 时 f x 0 f x 单调递增 当 x a 时 f x 取得极小值也是最小值f a 1 2 a 2 a2ln a 5 分 由 f x 在 2a 单调递增 则所证不等式等价于f x f 2a 3 2 a x 2a 0 7 分 9 设 g x f x f 2a 3 2 a x 2a 则当 x 2a 时 g x f x 3 2 a x a 2 x 3 2 a 2x a x 2a 2x 0 9 分 所以 g x 在 2a 上单调递增 当 x 2a 时 g x g 2a 0 即 f x f 2a 3 2 a x 2a 0 故 f x f 2a x 2a 3 2 a 四 选做题 本小题满分10 分 22 选修 4 1 几何证明选讲 22 解 连结OA AD AC是圆 O 的切线 OA OB OA AC OAB OBA DAC 2 分 又 AD是 Rt OAC斜边上的中线 AD OD DC OA AO
