《2020年高考数学（文）热点专练04 导数及其应用（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学（文）热点专练04 导数及其应用（解析版）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、热点04 导数及其应用【命题趋势】在目前高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容.函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的.对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解.本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的解题思路与解题套路
2、，从而在以后的导数【满分技巧】对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定.因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的.所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性.对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值.恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立问题可以采用选项中相对的特殊值
3、的验证比较快捷准确，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值.函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解.【考查题型】选择题，填空，解答题21题【限时检测】（建议用时：90分钟）1（2019四川高三月考（文）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是ABCD【答案】C【解析】试题分析：当时，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，令，得或时，；时，；时，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C考点
4、：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性2（2019全国高考真题（文）曲线y=在点(，1)处的切线方程为ABCD【答案】C【解析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当时，即点在此曲线 上则在点处的切线方程为，即故选C【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取导数法，利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程3（2019北京人大附中高三月考（文）设函数是奇函数（）的导函数，当时
5、，则使得成立的的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集.故选A.【名师点睛】：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.4（2019北京高考模拟（文）函数，函数，（其中为自然对数的底数，）若函数有两个零点，则实数取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】先分离变量，转化为求对应函数单调性及其值域，即可确定结果.【详解】由得，令，则,所以当时，,当时，,因此当时，函数有两个零点，
6、选C.【名师点睛】本题考查利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题5（2019江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是_.【答案】.【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点，则.又，当时，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，当时，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直
7、线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点6（2019重庆南开中学高三月考（文）已知函数有两个极值，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】将原问题转化为函数有两个交点的问题，考查临界条件，利用导函数研究函数的切线方程即可求得最终结果.【详解】,由题意知有两个零点，由可得，即有两个交点，如图所示，考查临界条件：设与的切点为，即，则，切线方程为.把代入切线方程可得，据此可得：，即，实数的取值范围为. 【名师点睛】本题主要考查导函数研究函数的极值，导函数研究函数的切线方程，数形结合的数学思想等
8、知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7（2019江苏高考模拟（文）已知定义在上的函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】根据为偶函数可得图像关于对称.由此求得，构造函数，利用导数研究的单调性，由将原不等式转化为，由此求得的取值范围.【详解】为偶函数，的图象关于对称，的图像关于对称，.又，.设，则.又，在上单调递减.，即.又，.【名师点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查函数图像变换，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数解不等式，综合性较强，属于中档题.8（2019首都师范大学附属中学高考模拟（文）关于的方程在区间 上有两个不等实根，则实数的取值范
9、围是_【答案】【解析】分析：首先将方程转化，分离参数，化为，将问题转化为函数图像与直线的交点个数来解决，之后构造函数，求导，利用导数研究函数单调性，从而得到函数图像的大致走向以及相应的最值，最后求得结果.详解：关于的方程，即：，令函数，若方程在区间上有两个不等实根，即函数与在区间上有两个不同的交点，令可得，当时，函数是减函数，当时，函数是增函数，所以函数的最小值为，所以函数的最大值为，所以关于的方程在区间上有两个不等实根，则实数的取值范围是.【名师点睛】：该题考查的是有关方程的解的个数对应的参数的范围问题，该题转化为函数与在区间上有两个不同的交点，结合函数图像的走向以及最值求得结果，还可以将方
10、程转化为，即曲线和直线在相应区间上有两个交点，也可以求得结果.三、解答题9（2019全国高考真题（文）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2) .【解析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增， 区间上单调递减，区间上单调递增.若，在区间单调递减， 在区间单调递增，所以区间 上最小值为.而，故所以区间上最
11、大值为 . 所以，设函 数，求导当时从而单调递减. 而，所以.即的取值范围是.若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 所以，而，所 以.即的取值范围是.综上得的取值范围是.【名师点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，对于此类题目应学会逐步递进，逆向推导.由结果到过程.10（2019河北高考模拟（文）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数在上有零点，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）先求导，对a分类讨论，利用导函数的正负可得f（x
12、）的单调性.（2）将已知进行转化，得到在上有解，分离参数a，构造函数，求导求得值域，可得a的范围.【详解】（1）因为，所以.当时，因为，所以在上单调递增；当时，令，解得或.令，解得，则在，上单调递增；在上单调递减.（2）因为，所以，在上有零点，等价于关于的方程在 上有解，即在上有解.因为，所以.令，则.令，解得；令，解得 ，则 上单调递减，在上单调递增，因为 ，所以 ，则， ，故的取值范围为.【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，考查了函数的最值的求法，考查了等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题11（2019江苏高考模拟（文）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（
13、2）若对，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）先求得函数的定义域，然后对函数求导，对分成四种情况，讨论函数的单调性.（2）根据（1）中所求函数的单调区间，对四种情况分别研究函数的函数值，结合来求得的取值范围.【详解】解：（1）由题意知，的定义域为，由，得.当时，令，可得，得，故函数的增区间为，减区间为；当时，令，可得，得 或，故的增区间为，减区间为、；当时，故函数的减区间为；当时，令，可得，得，或，故的增区间为，减区间为，.综上所述：当时，在上为减函数，在上为增函数；当 时，在，上为减函数，在上为增函数；当时，在为减函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数.（2）由（1）
14、可知：当时，此时；当时，当时，有，可得，不符合题意；当时，由函数的单调性可知，当时，不符合题意；当时，由函数的单调性可知，当时，不符合题意.综上可知，所求实数的取值范围为.【名师点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究函数值恒大于零的问题，考查分类讨论的数学思想方法，综合性较强，属于难题.12（2019山东高考模拟（文）已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数 的取值范围.【答案】（1）时，增区间为；时，增区间为；时，增区间为，；（2）.【解析】（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间；（2）由（1）知， 且， 恒成立，可化为恒成立，利用导数求出函数，的最小值即可得结果.【详解】（1）函数的定义域为，令，若时，在恒成立，函数在上单调递增.若，方程，两根为，当时，单调递增.当时，单调递增，单调递增.综上，时，函数单调递增区间为，时，函数单调递增区间为，时，函数单调递增区间为，.（2）由（1）知，存在两个极值点时，且，则，且，.此时恒成立，可化为恒成立，设，因为，所以，所以，故在单调递减，所以实数的取值范围是.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题
