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1、第一章导数及其应用第一课时:变化率问题教学目标:1理解平均变化率的概念;2了解平均变化率的几何意义;3会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念教学过程:一创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小
2、)值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度二新课讲授(一)问题提出问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?n 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是n 如果将半径r表示为体积V的函数,那么分析: ,hto 1 当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为2 当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了思考:当空气容量从V1增加到V2时
3、,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算:和的平均速度在这段时间里,;在这段时间里,探究:计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:运动员在这段时间内使静止的吗?你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探究过程:如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,所以,虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平
4、均速度不能精确描述运动员的运动状态(二)平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)3 则平均变化率为思考:观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?f(x2)y=f(x)yx= x2-x1f(x1)y =f(x2)-f(x1)x2x1Ox直线AB的斜率3 备选例题例2、已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 解:,四课堂练习1质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为 五回顾总结1平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率六布置作业第二课时 导数的概念教学目标:
5、1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3会求函数在某点的导数教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念; 教学难点:导数的概念教学过程:一创设情景(一)平均变化率(二)探究:计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:运动员在这段时间内使静止的吗?你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探究过程:如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,hto 所以,虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态二新课讲授1
6、瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,时的瞬时速度是多少?考察附近的情况: 思考:当趋近于0时,平均速度有什么样的变化趋势?结论:当趋近于0时,即无论从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于史的瞬时速度,因此,运动员在时的瞬时速度是为了表述方便,我们用表示“当,趋近于0时,平均速度趋近于定值”小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概
7、念从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数,记作或,即 说明:(1)导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 (2),当时,所以三典例分析例1求函数y=3x2在x=1处的导数.例2(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义解:在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义,所以同理可得:在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和5,说明在附近,原油温度大约以的速率下降,在第附近,原油温度大约以的速率上升注:一般地,反映了原油
8、温度在时刻附近的变化情况例3、质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为四课堂练习1例2中,计算第时原油温度的瞬时变化率,并说明它的意义2求质点运动规律为,求质点在的瞬时速度五回顾总结1瞬时速度、瞬时变化率的概念2导数的概念6 布置作业、课本P10 A组 第2和第4题第三课时 导数的几何意义教学目标:1了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2理解曲线的切线的概念;3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题;教学重点:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义; 教学难点:导数的几何意义教学过程:一创设情景(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道,导数表示函数y
9、=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢?二新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率:如图3.1-2,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么?图3.1-2我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即x0时,割线趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题:割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系? 切线PT的斜率为多少?容易知道,割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时,无限趋近于切线PT的斜率,即说明:(1)设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念: 提供了求曲线上某点
10、切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.(二)导数的几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率,即 说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;求出函数在点处的变化率 ,得到曲线在点的切线的斜率;利用点斜式求切线方程.(二)导函数:由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数,那么,当
11、x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.简称导数,记作:或,即: 三典例分析例1(课本例7)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、附近的变化情况解:我们用曲线在、处的切线,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况(1) 当时,曲线在处的切线平行于轴,所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降(2) 当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减(3) 当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减从图3.1-3可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢例2:
12、求曲线y=f(x)=x2+1上的横坐标为1的点处的切线方程.四课堂练习1课本P10 A组第5题2.(备选练习)五回顾总结1曲线的切线及切线的斜率;2导数的几何意义六布置作业版 权 所 有,侵 权 必 究 联 系Q Q68843242 本页为自动生成页,如不需要请删除!谢谢!如有侵权,请联系68843242删除!1,侵权必究 联系QQ68843242 1,版 权 所 有,侵 权 必 究 联 系Q Q68843242 本页为自动生成页,如不需要请删除!谢谢!如有侵权,请联系68843242删除!版 权 所 有,侵 权 必 究 联 系Q Q68843242 本页为自动生成页,如不需要请删除!谢谢!如有侵权,请联系68843242删除!侵权必究 联系QQ68843242 1