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1、长春外国语学校2019-2020学年高三年级第一学期期中考试数学试卷(理)本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
2、纸刀。第卷一、选择题：(本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合，则 ( )A. B. C. D. 2.设复数满足（为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.有6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法数 ( )A. 24 B.36 C.48 D.60 4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种
3、形式，如图所示.当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为 （ ）A. B. C. D. 5在等比数列中，和是方程的两根，则 ( )A B C D6.已知向量，且，则 ( )A8 B6 C. 6 D87.下列函数中，在内单调递减的是 ( )A. B. C. D. 8.函数的部分图象(如图所示，则 ( )A. B. C. D. 9.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围 A或 B或C D10.已知边长为的等边三角形，为的中点
4、，以为折痕，将折成直二面角，则过四点的球的表面积为 ( )A. B. C. D. 11.已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为6，若点为抛物线准线上的动点，则的最小值为 ( )A. B. C. D. 12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，则函数在区间上所有零点之和为A. B. C. D. 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22-23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)13.已知的展开式中的系数为，则 14. 曲线在点处的切线方程为 15. 的内角的对边分别为若的面积为，则 16.已知函数，数列的通项公式
5、为，则 ;此数列前2019项的和为 三、解答题：17. 已知等差数列满足的前项和为（1）求及；（2）令求数列的前项和为18.在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.(1)求证: 平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.19.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4 组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示0
6、.0300.0150.010频率/组距 15 25 35 45 55 65 年龄（岁）(1) 求的值；(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求在第1组已被抽到人的前提下，第3组被抽到人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出人，记关注“生态文明”的人数为，求的分布列与期望.20.在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于两点，求四边形面积的最大值.21. 已知，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若是的极值点，且曲线在两
7、点处的切线互相平行，这两条切线在轴上的截距分别为，求的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.（1）求与的交点的极坐标；（2）设点在上，求动点的轨迹的极坐标方程.23.选修45：不等式选讲设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若恒成立,求的取值范围.长春外国语学校2019-2020学年第一学期期中考试高三年级数学试卷(理)答案一、选择题123456789101112CCAACDABDDCD二、填空题：13. ; 14. 15. 16. ；2020三
8、、解答题：17.（1）， （2） 18. 解：（1）连接，由，是的中点，得，由平面平面，可得平面，又由于四边形是边长为2的菱形，所以，从而平面.（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，有，令平面的法向量为，由，可得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19. 解：（1）由，得，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人. 设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件，则 （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明
9、”的概率为的可能取值为0，1，2，3. ，所以的分布列为， 20. 解：（1）设动圆的半径为，由题意知从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点，从而轨迹的方程为.（2）设的方程为，联立，消去得，设点，有有，点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积令，有，由函数在单调递增有，故，四边形面积的最大值为.21. （1）， 当时，在上恒成立，在上单调递减；当时， 时，时，即在上单调递减，在单调递增； （）是的极值点， 由（1）可知， 设在处的切线方程为，在处的切线方程为若这两条切线互相平行，则,且，令，则，同理，. ，设，在区间上单调递减，即的取值范围是. 22. （1）联立， 交点坐标（2）设,且，由已知得，点的极坐标方程为23.(1) (2) - 8 -
