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1、一 连续函数的和 积及商的连续性 二 反函数与复合函数的连续性 三 初等函数的连续性 1 9连续函数的运算与初等函数的连续性 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一 连续函数的和 积及商的连续性 定理1 例1因为sinx和cosx都在区间 内连续 所以tanx和cotx在它们的定义域内是连续的 三角函数sinx cosx secx cscx tanx cotx在其有定义的区间内都是连续的 首页 二 反函数与复合函数的连续性 定理2 如果函数f x 在区间Ix上单调增加 或减少 且连续 那么它的反函数x f 1 y 在区间Iy y y f x x Ix 上也是单调增加 或减少 且连续的 所以它的反
2、函数y arcsinx在区间 1 1 上也是连续的 下页 例2 同样 y arccosx在区间 1 1 上是连续的 y arctanx在区间 内是连续的 y arccotx在区间 内是连续的 反三角函数arcsinx arccosx arctanx arccotx在它们的定义域内都是连续的 下页 二 反函数与复合函数的连续性 定理2 如果函数f x 在区间Ix上单调增加 或减少 且连续 那么它的反函数x f 1 y 在区间Iy y y f x x Ix 上也是单调增加 或减少 且连续的 所以它的反函数y arcsinx在区间 1 1 上也是连续的 例2 注 1 把定理中的x x0换成x 可得类
3、似的定理 提示 定理3 例3 解 下页 设函数y f g x 由函数y f u 与函数u g x 复合而成 设函数y f g x 由函数y f u 与函数u g x 复合而成 U x0 Dfog 若函数u g x 在点x0连续 函数y f u 在点u0 g x0 连续 则复合函数y f j x 在点x0也连续 下页 定理4 定理3 设函数y f g x 由函数y f u 与函数u g x 复合而成 sinu当 u 时是连续的 例4 首页 解 内是连续的 三 初等函数的连续性 结论 注 所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间 下页 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数
4、的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 三 初等函数的连续性 结论 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如 的连续区间为 端点为单侧连续 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 例6 例5 解 解 下页 利用连续性求极限举例 例7 令ax 1 t 解 则x loga 1 t x 0时t 0 于是 利用连续性求极限举例 例题 下页 解 因为 利用定理3及极限的运算法则 便有 利用连续性求极限举例 结束 思考与练习 续 反例 反之是否成立 提示 反之 不成立 堂上练习 P653 6 7 4 5 6 5 作业P653 3 5 4 4 6
