《同济大学高等数学第七版§1.10--闭区间上连续函数的性质ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学高等数学第七版§1.10--闭区间上连续函数的性质ppt课件（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第十节 一 最值定理 二 零点定理与介值定理 闭区间上连续函数的性质 一 最大值与最小值 举例 最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f x 如果有x0 I 使得对于任一x I都有f x f x0 f x f x0 则称f x0 是函数f x 在区间I上的最大值 最小值 函数f x 1 sinx在区间 0 2p 上有最大值2和最小值0 函数f x sgnx在区间 内有最大值1和最小值 1 一 最大值与最小值 最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f x 如果有x0 I 使得对于任一x I都有f x f x0 f x f x0 则称f x0 是函数f x 在区间I上的最大值 最小值 举
2、例 一 最大值与最小值 最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f x 如果有x0 I 使得对于任一x I都有f x f x0 f x f x0 则称f x0 是函数f x 在区间I上的最大值 最小值 在开区间 0 内 sgnx的最大值和最小值都是1 举例 但函数f x x在开区间 a b 内既无最大值又无最小值 一 最大值与最小值 最大值与最小值 对于在区间I上有定义的函数f x 如果有x0 I 使得对于任一x I都有f x f x0 f x f x0 则称f x0 是函数f x 在区间I上的最大值 最小值 举例 注1 定理1说明 如果函数f x 在闭区间 a b 上连续 那么至少有一点x
3、1 a b 使f x1 是f x 在 a b 上的最大值 又至少有一点x2 a b 使f x2 是f x 在 a b 上的最小值 定理1 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值 注2 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 在开区间 a b 考察函数y x 函数f x x在开区间 a b 内既无最大值又无最小值 定理1 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值 注2 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 定理1 最大值和最小
4、值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值 在闭区间 0 2 考察函数 函数y f x 在开区间 0 2 内既无最大值又无最小值 证明设函数f x 在闭区间 a b 上连续 由定理1 函数f x 在区间 a b 上有最大值M和最小值m 使任一x a b 满足m f x M 上式表明 f x 在 a b 上有上界M和下界m 因此函数f x 在 a b 上有界 定理1 有界性定理 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 定理1 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值 二 零点定理与介值定理 注 1 如果x0使f x0 0 则x0称为函数f x 的零点
5、 几何解释 定理2 零点定理 使得 二 零点定理与介值定理 定理2 零点定理 使得 例1证明方程x3 4x2 1 0在区间 0 1 内至少有一个根 证明设f x x3 4x2 1 则f x C 0 1 并且f 0 1 0 f 1 2 0 根据零点定理 在 0 1 内至少 x 使得f x 0 即x3 4x2 1 0 这说明方程x3 4x2 1 0在区间 0 1 内至少有一个根是x 12 定理3 介值定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a f b 那么 对于f a 与f b 之间的任意一个数C 在开区间 a b 内至少有一点x 使得 几何意义 连续曲线弧y f x 与水平直线y C至少有一个交点 13 定理3 介值定理 证 零点定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且f a f b 那么 对于f a 与f b 之间的任意一个数C 在开区间 a b 内至少有一点x 使得 设j x f x C 则j x 在闭区间 a b 上连续 14 几何意义 之间的任何值 不会有任何遗漏 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 15 例 证 由零点定理 16 注意条件1 闭区间 2 连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立 三 小结 最值定理 有界性定理 零点定理 介值定理 四个定理
