复数和复变函数及其极限PPT演示课件

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1、1 复变函数 2 复变函数与积分变换的应用背景 世界著名数学家M Kline指出 19世纪最独特的创造是复变函数理论 象微积分的直接扩展统治了18世纪那样 该数学分支几乎统治了19世纪 它曾被称为这个世纪的数学享受 也曾作为抽象科学中最和谐的理论 3 16世纪 解代数方程时引入复数 17世纪 实变初等函数推广到复变数情形 18世纪 J 达朗贝尔与L 欧拉逐步阐明复数的几何 物理意义 4 19世纪 奠定理论基础 A L Cauchy 维尔斯特拉斯分别用积分和级数研究复变函数 黎曼研究复变函数的映射性质 20世纪 发展为数学分支 在解析性质 映射性质 多值性质 随机性质 函数空间及多复变函数等方面

2、有重要成果 5 空气动力学 流体力学 电学 热学 复变函数论在空气动力学 流体力学 电学 热学 理论物理等领域有重要应用 复变函数论 6 复变函数与积分变换的主要内容 1引论 2解析函数 3复积分 4级数 5留数及应用 6保角映射 7积分变换 7 第一章复数和复变函数及其极限 1 1复数及其运算 1 2复平面上曲线和区域 1 3复变函数与整线性映射 1 4复变函数的极限和连续 8 1 1复数及其运算 一 复数的概念及其表示法二 复数的代数运算三 扩充复平面与复球面 9 一 复数的概念 对虚数单位 作如下规定 10 复数 11 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数 共轭复数 1

3、2 二 复数的表示方法 1 定义表示形式 13 2 复数的平面表示法 14 显然成立 3 复数的向量表示法 15 注意1 辐角不确定 没有辐角 注意2 复数辐角的定义 16 辐角主值的定义 17 18 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 4 复数的三角表示法 19 利用Euler公式 5 复数的指数表示法 20 例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式 解 故 21 故 22 三 复数的代数运算 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等 复数相等的概念 23 显然有 注 非实数的复数不能比较大小 24 两个复数的和与差 两个复数的积 两个复数的商 25 复数运算的性质 26 27

4、复数和与差的模的性质 共轭复数的几何性质 28 例2 解 29 例3 证 30 乘幂与方根 31 两复数相乘就是把模数相乘 辐角相加 从几何上看 两复数对应的向量分别为 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和 32 注意 而是两个数集相等 即左端任给一值 右端必有值与它相对应 反过来是如此 例如 33 n个复数相乘的情况 34 35 两个复数商的模等于它们模的商 两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 则 36 对于非零复数有 37 例4 解 38 n次幂 deMoivr公式 39 例5 解 40 41 可以推得 n次方根 从几何上看 42 43 推导过程

5、如下 44 当k以其他整数值代入时 这些根又重复出现 45 例6 解 即 46 47 例7 解 故原方程可写成 48 故原方程的根为 49 四 扩充复平面与复球面 50 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们用球面上的点来表示复数 球面上的北极N不能对应复平面上的定点 但球面上的点离北极N越近 它所表示的复数的模越大 51 我们规定 复数中有一个唯一的 无穷大 与复平面上的无穷远点相对应 记作 因而 球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示 52 包括无穷远点的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面 或简称复平面 引入复球面后 能将扩充复平面的

6、无穷远点明显地表示出来 球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应 这样的球面称为复球面或Riemann球面 53 的几何解释 由于在复平面上没有一点能与 相对应 所以 只得假想在复平面上添加一个 假想点 或 理想点 使它与 对应 我们称此 假想点 为无穷远点 关于无穷远点 我们约定 在复平面添加假想点后所成的平面上 每一条直线都通过无穷远点 同时 任一半平面都不包含无穷远点 54 这里要特别注意的是 这里的记号 是一个数 而在数学分析中所见的记号 或 均不是数 它们只是表示变量的一种变化状态 55 1 2复平面上曲线和区域 一 复平面上曲线方程的各种表示二 简单曲线与光滑曲线三 平

7、面点集与区域 56 一 复平面上曲线方程的各种表示 复平面上曲线方程有两种表示方式 直角坐标方程参数方程 57 1 复平面上曲线C直角坐标方程的复数形式 58 例试用复数表示圆的方程其中A B C D是实常数 59 如果A 0 B及C不全为0 这是直线方程 即为复平面上 直线方程的一般形式 60 1 用复数的实部或虚部的等式表示曲线 Re z z0 a是XOY平面上的直线x a Re z0 Im z z0 b是XOY平面上的直线y b Im z0 61 2 用复数模的等式表示曲线 z z0 表示动点z到定点z0的距离 z z0 a z z1 z z2 z z1 z z2 2a z1 z2 2a

8、 表示以z0为中心 以a为半径的圆周 表示到定点z1和z2等距离点的轨迹 即线段z1z2的垂直平分线 表示以z1和z2为焦点 以a为半长轴的椭圆 62 z z1 z z2 2a或 2a z1 z2 2 a 表示以z1和z2为焦点 以a为实半轴的双曲线 其中正号代表离焦点z2近的分支 负号代表另一分支 63 3 用含复数辐角的等式表示曲线 P16 10 4 从点z0出发 与实轴夹角 0的射线为 64 设复平面上曲线C的参数方程为 那么 复平面上曲线C上的动点z t 可表示为 依赖于参数t 2 曲线参数方程的复数形式 65 例指出方程表示什么曲线 解 因为等价于X t y t 消去t得y x x

9、0 66 67 例圆周的参数方程 x x0 Rcost y y0 Rsint 0 t 2 令z0 x0 iy0 则其等价的复数形式为 z z0 R cost isint 或z z0 Reit其中t 0 2 68 二 简单曲线与光滑曲线 1 连续曲线 设曲线C为z z t x t iy t a t b 若x t 和y t 在 a b 上连续 即z t 在 a b 上连续 则称曲线C为连续曲线 69 2 光滑曲线 设曲线C为z z t x t iy t a t b 如果在a t b上 x t 和y t 都是连续的 且对于t的每一个值 有 x t 2 y t 2 0 即切向量z t x t iy t

10、 在 a b 上连续且z t 0 则称曲线C为光滑曲线 70 逐段光滑曲线 由有限条光滑曲线依次首尾连接所组成的一条曲线称为逐段光滑曲线 71 3 Jordan曲线 除起点与终点外无重点的连续曲线C称为简单曲线或Jordan 若当 曲线 起点与终点重合的曲线C称为闭曲线 除起点与终点外无重点的连续闭曲线C称为简单闭曲线或简单闭路 72 Jordan曲线的性质 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集 内部 外部 边界 73 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线 答案 简单闭 简单不闭 不简单闭 不简单不闭 74 1 邻域 三 平面点集与区域 2 去心邻域 75 3 内点 4 开

11、集 如果G内每一点都是它的内点 那末称G为开集 76 5 区域 连通的开集称为区域 即 如果平面点集D满足以下两个条件 则称它为一个区域 D是一个开集 D是连通的 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来 6 边界点 边界 边界点 77 注意1 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的 注意2 区域D与它的边界一起构成闭区域 边界 E的所有边界点所组成的集合称为E的边界 进一步地 设D是一个平面区域 点P不属于D 但P的任一邻域内总有D的点 则称P为区域D的边界点 78 以上基本概念的图示 区域 邻域 边界点 边界 7 有界区域和无界区域 79 80 1 圆环域 课堂练习

12、 判断下列区域是否有界 2 上半平面 3 角形域 4 带形域 答案 1 有界 2 3 4 无界 81 任意一条简单闭曲线必将复平面唯一地分成三个点集 使它们满足 1 彼此不相交 2 是有界区域 称为曲线的内部 3 是无界区域 称为曲线的外部 4 C既是的边界又是的边界 外部 8 单连通域与多连通域的定义 82 复平面上的一个区域G 如果在其中任作一条简单闭曲线 而曲线的内部总属于G 就称为单连通区域 一个区域如果不是单连通域 就称为多连通区域 单连通域 多连通域 83 例设 84 例题 例1 指出下列不等式所确定的点集 是有界的还是无界的 单连通的还是多连通的 解 无界的单连通域 如图 85

13、是角形域 无界的单连通域 如图 无界的多连通域 86 表示到1 1的距离之和为定值4的点的轨迹 是椭圆 有界的单连通域 87 有界集 但不是区域 88 例2 满足下列条件的点集是什么 如果是区域 指出是单连通域还是多连通域 是一条平行于实轴的直线 不是区域 单连通域 89 是多连通域 不是区域 90 1 3复变函数与整线性映射 91 一 复变函数的概念 复变函数这门课程研究的对象是解析函数 而解析函数是一种特殊的复变函数 因此 在讨论了复数集后 我们还需要讨论复变函数的有关概念 进而为研究解析函数作好准备 92 定义 设在复平面上已给点集D 如果存在一个法则f使得对于每点z x yi D 都有

14、确定的复数w u vi与之对应 则称在D上确定一个复变函数 记作 w f z 若依f对于z D只有一个确定的w与之对应 则称f为单值函数 否则 称f为多值函数 93 例如 为单值函数 为多值函数 注 若无特殊声明 则我们讨论的复变函数均为单值复变函数 94 同实变函数一样 在上述定义中 我们称集合D为函数的定义域 称复数集C的子集G f D 为函数的值域 z与w分别称为函数的自变量与因变量 95 函数f也称为映射 自变量z所在的复平面称为z平面 而函数值 所在的复平面称为 平面 二 复映射 复变函数的定义类似于数学分析中实函数的定义 不同的是前者是复平面到复平面的映射 着重刻划点与点之间的对应

15、关系 所以无法给出它的图形 而实函数则着重刻划数与数之间的对应关系 96 例如 是复平面上的单叶函数 复平面是该函数的单叶性区域 设有函数w f z G为区域 若对z1 z2 G 当z1 z2时 f z1 f z2 则称w f z 为G上的单叶函数 而称G为w f z 的单叶性区域 97 例求直线y x在映射w iz下的象 解 将y x代入w iz得 98 99 三 整线性映射及其保圆性 整线性映射是指 其中为复常数 令 则1 伸缩2 旋转3 平移 100 因此整线性映射w az b具有保圆性 注 整线性映射具有保圆性 证 只需证明伸缩保圆性 将代入 101 1 4复变函数的极限和连续 102

16、 注意 一 复变函数的极限 103 定理1定理2设 则有 104 注复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论 即 105 定理3设 则有1 2 3 当时 106 证明 107 二 函数的连续性 108 举例说明如下 109 110 1 多项式 2 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的 111 例2 证 112 证明 113 在D内连续 114 例4 证 115 复数 平面表示法 定义表示法 三角表示法 曲线与区域 球面表示法 复数表示法 指数表示法 复数的运算 共轭运算 代数运算 乘幂与方根 本章主要内容 向量表示法 116 复数运算和各种表示法 复数方程表示曲线以及不等式表示区域 本章注意两点 117 1707 4 15生于瑞士 巴塞尔1783 9 18卒于俄罗斯 彼得堡 L Euler 欧拉 简介 Euler是18世纪的数学巨星 是那个时代的巨人 科学界的代表人物 历史上几乎可与Archimedes Newton Gauss齐名 他在微积分 几何 数论 变分学等领域有巨大贡献 可以说Newton Leibniz发明了微积分 而Euler则是数学大厦的主