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1、第13章远期和期货的定价 2 第一节远期价格和期货价格的关系 一 基本假设与基本符号 一 基本假设1 没有交易费用和税收 2 市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 3 远期合约没有违约风险 4 允许现货卖空行为 5 我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格 6 期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率 3 二 基本符号 4 二 远期价格和期货价格的关系 1 当无风险利率恒定 且对所有到期日都不变时 交割日相同的远期价格和期货价格应相等 2 当利率变化无法预测时 远期价格和期货价格就不相等 1 两者的大小取决于标的资产价格与利率的相关性 当标的资产价格与利率呈正相关时 期货价格高
2、于远期价格 当标的资产价格与利率呈负相关时 远期价格高于期货价格 5 2 两者的差异幅度取决于合约有效期限的长短 当有效期只有几个月时 两者的差距通常很小 在现实生活中 由于远期和期货价格与利率的相关性很低 以致远期和期货价格的差别可以忽略不计 在以下的分析中 对远期合约的定价同样适用于期货合约 6 第二节无收益资产远期合约的定价 无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产 如贴现债券和不付红利的股票 一 无套利定价法基本思路 构建两种资产组合 让其终值相等 则其现值一定相等 否则的话 就可以进行套利 即卖出现值较高的投资组合 买入现值较低的投资组合 并持有到期末 套利者就可赚取无风险收益 7
3、 众多套利者这样做的结果 将使较高现值的投资组合价格下降 而较低现值的投资组合价格上升 直至套利机会消失 此时两种组合的现值相等 这样 就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格 8 例如 构建如下两种组合 组合A 一份远期合约多头加上一笔数额为的现金 组合B 一单位标的资产 9 10 二 现货 远期平价定理 例1 假设有一份标的证券为一年期贴现债券 剩余期限为6个月的远期合约多头 其交割价格为 960 6个月期的无风险年利率 连续复利 为6 该债券的现价为 940 则该远期合约多头的价值为 f 940 960e 0 5 0 06 8 48 11 例2 假设一年期的贴现债券价格为 960 3个
4、月期无风险年利率为5 则3个月期的该债券远期合约的交割价格应为 F 960e0 05 0 25 972 12 三 远期价格的期限结构 设 F为在T时刻交割的远期价格 F 为在T 时刻交割的远期价格 r为T时刻到期的无风险即期利率 r 为T 时刻到期的无风险即期利率 为T到T 时刻的无风险远期利率 13 对于无收益资产而言 可知 两式相除消掉S后 得 根据 可得不同期限远期价格之间的关系 14 第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价 支付已知现金收益的资产是指在到期前会产生完全可预测的现金流的资产 如附息债券和支付已知现金红利的股票 黄金 白银等贵金属本身不产生收益 但需要花费一定的存储成本
5、存储成本可看成是负收益 15 定义 已知现金收益的现值为I 对黄金 白银来说 I为负值 构建如下两种组合 组合A 一份远期合约多头加上一笔数额为的现金 组合C 一单位标的资产加上利率为无风险利率 期限为从现在到现金收益派发日 本金为I的负债 16 在T时刻 两种组合都等于一单位标的资产 由此可以断定 这两种组合在t时刻的价值相等 即 根据的F定义 可从上式中求得 17 例3 假设6个月期和12个月期的无风险利率分别为9 和10 再假定某十年期债券的现货价格为 990 而该证券一年期远期合约的交割价格为 1001 假定该债券在6个月和12个月后将收到 60的利息 且第二次付息日在远期合约的交割日
6、之前 则该远期合约多头的价值为 相应地 该合约空头的价值为27 39元 18 例4 假设黄金的现货价格为每盎司 450 其存储成本为每年每盎司 2 假定该费用在年底支付 假定无风险利率为7 则一年期黄金的远期价格为 19 第四节支付已知收益率资产远期合约的定价 支付已知收益率的资产是指在到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产 外汇使这类资产的典型代表 其收益率就是该外汇发行国的无风险利率 股价指数也可近似地看作是支付已知收益率的资产 远期利率协议和远期外汇综合协议也可看作是支付已知收益率资产的远期合约 20 一 支付已知收益率资产远期合约定价的一般方法 构建如下两种组合 组合A 一
7、份远期合约多头加上一笔数额为的现金 组合D 单位标的资产并且所有收入都再投资于该证券 其中为该资产按连续复利计算的已知收益率 21 组合A在T时刻的价值等于一单位标的资产 组合D拥有的证券数量则随着获得红利的增加而增加 在T时刻 正好拥有一单位标的资产 因此在t时刻两者的价值也应相等 即 根据F的定义 可从上式中算出支付已知收益率的资产的远期价格 22 例5 假设S P500指数现在的点数为1000点 该指数所含股票的红利收益率预计为每年5 连续复利 假定无风险利率为10 3个月S P500指数期货的市价为1080点 则该期货合约的价值为 由于S P500指数合约规模为指数乘以 500 因此一
8、份该合约的价值为 65 75 500 32877 23 该指数期货的理论价格为 24 二 外汇远期与外汇期货的定价 外汇属于支付已知收益率的资产 其收益率是该外汇发行国连续复利的无风险利率 用表示 S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格 K表示远期合约中约定的以本币表示的一单位外汇的交割价格 S K均为用直接标价法表示的外汇的汇率 25 则可以得出外汇远期合约的价值为 外汇远期和期货的价格为 这就是利率平价关系式 26 三 远期利率协议的定价 由于FRAs是空方承诺在未来的某个时刻 T时刻 将一定数额的名义本金 A 按约定的合同利率 在一定的期限 T T 贷给多方的远期协议 本金A在借贷期间会
9、产生固定的收益率 因此其属于支付已知收益率资产的远期合约 27 FRAs多方的现金流为 这些现金流的现值即为FRAs多头的价值 即 28 这里的远期价格就是远期利率 根据远期价格的定义 远期利率就是使远期合约价值为0的协议价格 在这里为 即 29 例7 假设2年期即期利率为10 5 3年期即期年利率为11 本金为100万美元的2年 3年远期利率协议的合同利率为11 则该合约的理论合同利率为 而该合约的价值为 30 四 一般结论 在签署时 远期合约的交割价格等于当期的远期价格 因此其初期价值等于0 随着时间的推移 远期合约的价值会变为正值或负值 根据远期合约中的交割价格 K 与当前的远期价格 F
10、 给出t时刻远期合约多头的价值 f 的一般表达式 31 证明 引入另一种内容基本相同 但交割价格为F的远期合约 由于交割价格与远期价格相同 按定义t时刻其初始价值为0 两者的区别只是在T时刻购买标的资产时支付的价格不同 在T时刻两者支出现金流差为 F K 转换为t时刻的初始现金流差为 32 即在t时刻 交割价格为K的远期合约多头的价值比交割价格为F的远期合约多头的价值要高 因为后者为0 所以交割价格为的远期合约多头的价值为 得证 33 第五节期货价格与现货价格的关系 一 期货价格与现在的现货价格的关系基差 现货价格 期货价格当标的资产没有收益 或者已知现金收益较小 或者已知收益率小于无风险收益
11、率时 期货价格应高于现货价格 当标的资产的已知现金收益较大 或者已知收益率大于无风险收益率时 期货价格应小于现货价格 34 35 二 期货价格与未来现货价格的预期之间的关系 以无收益资产为例 1 考虑如下含有期货多头的投机组合 的现金加上一份期货多头 其现金流为 36 该投机组合的现值为 其中y为此项投机相对应的贴现率 它是投机者对该投机组合的预期收益率 假设市场是有效率的 即市场上所有投机机会的净现值为0 则 37 38 2 考虑如下含有期货空头的投机组合 的现金加上一份期货空头其现金流为 该投机组合的现值为 39 假设市场是有效率的 即市场上所有投机机会的净现值为0 则 0即 40 在现实
12、生活中 投机者既可以做多头 也可以做空头 综合以上两种情况 我们可以得出如下结论 在市场对未来标的资产的现货价格的预期一致的前提下 无论该标的资产的系统性风险如何 在均衡状态下 期货价格应等于预期未来的现货价格 41 练习 1 假定某10月期远期合约以股票为基础资产 股票的价格为每股50元 无风险年利率为8 预计3个月 6个月和9个月后要分别支付股息 每股股息为0 75元 则该远期合约的远期价格为多少 2 以某种价格为 900的5年期债券为例 如果这种债券的远期合约交割价格为 910 远期合约的期限为1年 6个月和12个月时各支付一次债息 付息额为 60 第二次付息日恰好在远期合约交割日之前
13、6月期和12月期的无风险利率分别为9 和10 则求多头的远期合约的价值为多少 42 3 某股票预期2个月后和5个月后将分别支付每股1美元的现金股利 当前股价为50美元 无风险利率 连续复利 为年利率8 某投资者卖出了一份6个月期的以该股票为标的的远期合约 1 计算远期价格以及该远期合约的初始价值 2 3个月后 股价变为48美元 无风险利率不变 计算此时股票的远期价格以及该合约的价值 43 4 假定当前某股票指数为350 无风险利率 连续复利 为年利率8 已知现金收益率为年利率4 则4个月期的股指期货的价格为多少 5 假定某日市场上美元对人民币的即期汇率为1美元 8 2人民币 美元6个月利率为年利4 12个月利率为4 5 人民币6个月利率为年利1 5 12个月利率为2 请根据上述资料计算美元对人民币6个月和12个月的远期汇率
