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1、第一编集合与常用逻辑用语 柯桥中学高三数学组何利民 1 2命题及其关系 充分条件与必要条件 要点梳理1 命题的概念在数学中用语言 符号或式子表达的 可以 的陈述句叫做命题 其中 的语句叫真命题 的语句叫假命题 判断真假 判断为真 判断为假 基础知识自主学习 命题的否定 一般地 对于一个命题的全盘否定 得到了一个新的命题 记作 p 读作 非p 或 p的否定 p与 p真假性相反 当p为真命题时 则 p为假命题 当p为假命题时 则 p为真命题 2 四种命题及其关系 若q 则p 逆命题 逆否命题 否命题 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们有 的真假性 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的
2、真假性 3 充分条件与必要条件 1 如果p q 则p是q的 q是p的 2 如果p q q p 则p是q的 4 特别注意 命题的否命题是既否定命题的条件 又否定命题的结论 而命题的否定是只否定命题的结论 相同 没有关系 充分条件 必要条件 充要条件 基础自测1 下列语句是命题的是 求证是无理数 x2 4x 4 0 你是高一的学生吗 一个正数不是素数就是合数 若x R 则x2 4x 7 0 A B C D C 2 命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是 A 若xy 则x2 y2 C 若x y 则x2 y2 D 若x y 则x2 y2 C 3 2009 江西文 1 下列命题是真命题的为 A B
3、若x2 1 则x 1C 若x y 则D 若x y 则x2 y2 A 4 2008 湖北理 2 若非空集合A B C满足A B C 且B不是A的子集 则 A x C 是 x A 的充分条件但不是必要条件B x C 是 x A 的必要条件但不是充分条件C x C 是 x A 的充要条件D x C 既不是 x A 的充分条件也不是 x A 的必要条件解析由题意知 A B C的关系可用右图来表示 若x C 不一定有x A 而x A 则必有x C x C 是 x A 的必要条件但不是充分条件 B 5 2009 四川文 7 已知a b c d为实数 且c d 则 a b 是 a c b d 的 A 充分而
4、不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析 c d cb a c与b d的大小无法比较 当a c b d成立时 假设a b cb 综上可知 a b 是 a c b d 的必要不充分条件 B 6 07江西 设p f x ex lnx 2x2 mx 1在 0 内单调递增 q m 5 则p是q的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 B 7 07湖北 已知p是r的充分条件而不是必要条件 q是r的充分条件 s是r的必要条件 q是s的必要条件 现有下列命题 s是q的充要条件 p是q的充分条件而不是必要条件 r是q的必要条件而不是充分条件
5、 p的 s必要条件而不是充分条件 r是s的充分条件而不是必要条件 则正确命题序号是 A B C D B 8 2009浙江理 已知是实数 则 a 0且b 0 是 a b 0且ab 0 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 C 9 2009年上海卷理 2 a 2是 实系数一元二次方程x2 ax 1 0有虚根 的 A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条 A 10 06湖南高考 集合A x 0 B x x b a 若 a 1 是 A B 的充分条件 则b的取值范围是 A 2 b 0B 0 b 2C 3 b 1D 1 b 2 D 题
6、型一命题的关系及命题真假的判断 例1 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 面积相等的两个三角形是全等三角形 2 若q 1 则方程x2 2x q 0有实根 3 若x2 y2 0 则实数x y全为零 写成 若p 则q 的形式 写出逆命题 否命题 逆否命题 判断真假 思维启迪 题型分类深度剖析 解 1 逆命题 全等三角形的面积相等 真命题 否命题 面积不相等的两个三角形不是全等三角形 真命题 逆否命题 两个不全等的三角形的面积不相等 假命题 2 逆命题 若方程x2 2x q 0有实根 则q 1 假命题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0无实根 假命题 逆否命题
7、若方程x2 2x q 0无实根 则q 1 真命题 3 逆命题 若实数x y全为零 则x2 y2 0 真命题 否命题 若x2 y2 0 则实数x y不全为零 真命题 逆否命题 若实数x y不全为零 则x2 y2 0 真命题 1 在写一个命题的逆命题 否命题 逆否命题时 首先要看这个命题是否有大前提 若有大前提 必须保留其大前提 大前提不能动 2 原命题和其逆否命题等价 探究提高 知能迁移1写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 并判断其真假 1 若m n都是奇数 则m n是奇数 2 若x y 5 则x 3且y 2 解 1 逆命题 若m n是奇数 则m n都是奇数 假命题 否命题 若m n不都是奇
8、数 则m n不是奇数 假命题 逆否命题 若m n不是奇数 则m n不都是奇数 假命题 2 逆命题 若x 3且y 2 则x y 5 真命题 否命题 若x y 5 则x 3或y 2 真命题 逆否命题 若x 3或y 2 则x y 5 假命题 题型二充要条件的判断 例2 指出下列命题中 p是q的什么条件 在 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 中选出一种作答 1 在 ABC中 p A B q sinA sinB 2 对于实数x y p x y 8 q x 2或y 6 3 非空集合A B中 p x A B q x B 4 已知x y R p x 1 2 y 2 2 0 q x
9、 1 y 2 0 首先分清条件和结论 然后根据充要条件的定义进行判断 思维启迪 解 1 在 ABC中 A B sinA sinB 反之 若sinA sinB 因为A与B不可能互补 因为三角形三个内角和为180 所以只有A B 故p是q的充要条件 2 易知 p x y 8 q x 2且y 6 显然q p 但pq 即q是p的充分不必要条件 根据原命题和逆否命题的等价性知 p是q的充分不必要条件 3 显然x A B不一定有x B 但x B一定有x A B 所以p是q的必要不充分条件 4 条件p x 1且y 2 条件q x 1或y 2 所以p q但qp 故p是q的充分不必要条件 探究提高判断p是q的什
10、么条件 需要从两方面分析 一是由条件p能否推得条件q 二是由条件q能否推得条件p 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题 除借助集合思想把抽象 复杂问题形象化 直观化外 还可利用原命题和逆否命题 逆命题和否命题的等价性 转化为判断它的等价命题 知能迁移2 2009 安徽理 4 下列选项中 p是q的必要不充分条件的是 A p a c b d q a b且c dB p a 1 b 1 q f x ax b a 0 且a 1 的图象不过第二象限C p x 1 q x2 xD p a 1 q f x logax a 0 且a 1 在 0 上为增函数 A 解析由于a b c d a c b d 而a c
11、 b d却不一定推出a b c d 故A中p是q的必要不充分条件 B中 当a 1 b 1时 函数f x ax b不过第二象限 当f x ax b不过第二象限时 有a 1 b 1 故B中p是q的充分不必要条件 C中 因为x 1时有x2 x 但x2 x时不一定有x 1 故C中p是q的充分不必要条件 D中p是q的充要条件 答案A 题型三充要条件的证明 例3 12分 求证方程ax2 2x 1 0有且只有一个负数根的充要条件为a 0或a 1 思维启迪 1 注意讨论a的不同取值情况 2 利用根的判别式求a的取值范围 证明充分性 当a 0时 方程变为2x 1 0 其根为方程只有一负根 2分当a 1时 方程为
12、x2 2x 1 0 其根为x 1 方程只有一负根 4分当a0 方程有两个不相等的根 解题示范 且 0 方程有一正一负根 6分必要性 若方程ax2 2x 1 0有且仅有一负根 当a 0时 适合条件 8分当a 0时 方程ax2 2x 1 0有实根 则 4 4a 0 a 1 当a 1时 方程有一负根x 1 10分若方程有且仅有一负根 综上 方程ax2 2x 1 0有且仅有一负根的充要条件为a 0或a 1 12分 探究提高 1 条件已知证明结论成立是充分性 结论已知推出条件成立是必要性 2 证明分为两个环节 一是充分性 二是必要性 证明时 不要认为它是推理过程的 双向书写 而应该进行由条件到结论 由结
13、论到条件的两次证明 3 证明时易出现必要性与充分性混淆的情形 这就要分清哪是条件 哪是结论 知能迁移3求证方程x2 ax 1 0的两实根的平方和大于3的必要条件是 a 这个条件是其充分条件吗 为什么 证明设x2 ax 1 0的两实根为x1 x2 则平方和大于3的等价条件是 a 这个条件是必要条件但不是充分条件 例4 已知抛物线y x2 mx 1点A 3 0 B 0 3 求抛物线与线段AB有两个不同交点的充要条件 设f x x2 1 m x 4则 1 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时 必须保留大前提 也就是大前提不动 对于由多个并列条件组成的命题 在写其它三种命题时 应把其中一个 或n个
14、 作为大前提 2 数学中的定义 公理 公式 定理都是命题 但命题与定理是有区别的 命题有真假之分 而定理都是真的 方法与技巧 思想方法感悟提高 3 命题的充要关系的判断方法 1 定义法 直接判断 若p则q 若q则p 的真假 2 等价法 即利用的等价关系 对于条件或结论是否定式的命题 一般运用等价法 3 利用集合间的包含关系判断 若A B 则A是B的充分条件或B是A的必要条件 若A B 则A是B的充要条件 1 否命题是既否定命题的条件 又否定命题的结论 而命题的否定是只否定命题的结论 要注意区别 2 判断p与q之间的关系时 要注意p与q之间关系的方向性 充分条件与必要条件方向正好相反 不要混淆
15、失误与防范 一 选择题1 2009 重庆文 2 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 A 若一个数是负数 则它的平方不是正数 B 若一个数的平方是正数 则它是负数 C 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 D 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 解析原命题的逆命题 若一个数的平方是正数 则它是负数 B 定时检测 2 2009 浙江理 2 已知a b是实数 则 a 0且b 0 是 a b 0且ab 0 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析当a 0且b 0时 一定有a b 0且ab 0 反之 当a b 0且ab 0时 一定有a 0
16、 b 0 故 a 0且b 0 是 a b 0且ab 0 的充要条件 C 3 2008 广东文 8 命题 若函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数 则loga20 a 1 在其定义域内不是减函数B 若loga20 a 1 在其定义域内不是减函数C 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内是减函数D 若loga20 a 1 在其定义域内是减函数 解析由互为逆否命题的关系可知 原命题的逆否命题为 若loga2 0 则函数f x logax a 0 a 1 在其定义域内不是减函数 答案A 4 已知A x x 1 1 x R B x log2x 1 x R 则 x A 是 x B 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析A x x 2或x 0 B x x 2 x Ax B 但x B x A B 5 集合A x x 4 x R B x x5 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析A x 4 x 4 若A B 则a 4 a 4a 5 但a 5 a 4 故 A