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1、偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATION P D E 2020 5 21 2 分离变量法 许多物理现象都具有叠加性 由几种不同原因同时出现时所产生的效果 等于各个原因单独出现时所产生的效果的叠加 这就是物理学中的叠加原理 在解决数学中的线性问题时 可应用物理学中的叠加原理 分离变量法又称Fourier方法 而在波动方程情形也称为驻波法 它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本方法 这个方法建立在叠加原理的基础上 其基本出发点是物理学中的机械振动和电磁振动 总可分解为一些简谐振动的叠加 2020 5 21 3 波动方程 有界弦的自由振动 热传导方程 椭圆方程 一维情形
2、高维情形 有界弦的强迫振动 齐次方程 非齐次方程 周期性条件 自然边界条件 一维情形 高维情形 2020 5 21 4 1 有界弦的自由振动 1 1 1 2 1 3 1 4 首先设法找到所有具有变量分离形式的满足方程 1 1 和边界条件 1 2 的非零特解 这些非零特解的线性叠加仍满足方程和边界条件 所谓函数u x t 具有变量分离形式 即它可表示为 1 5 I 2020 5 21 5 将 1 5 代入方程 1 1 和边界条件 1 2 得到 即 以及 1 6 1 7 1 6 式中 左端是t的函数 右端是x的函数 由此可得只能是常数 记为 从而有 1 8 1 9 1 10 2020 5 21 6
3、 II 本征值问题 1 9 1 10 情形 A 情形 B 其通解为 由 1 10 可推出 只有零解 其通解为 由 1 10 可推出 只有零解 2020 5 21 7 情形 C 方程的通解为 由边界条件X 0 0推出 再由 知道为了使 必须 于是有 这样就找到了一族非零解 本征值 本征函数 1 11 1 12 2020 5 21 8 由此 就得到方程 1 1 满足边界条件 1 2 的变量分离的非零特解 代入 1 8 可得 1 13 其通解为 2020 5 21 9 III 特解的叠加 为了求出原定解问题的解 还需满足初始条件 1 3 一般来讲 前面求出的特解不一定满足初始条件 为此 我们把所有特
4、解叠加起来 并使之满足初始条件 即取 使得 1 14 1 15 1 16 2020 5 21 10 因此 应分别是 在 0 L 区间上 正弦展开的Fourier级数的系数 即 1 17 1 18 这样 我们就给出了混合问题 1 1 1 4 的形式解 1 14 其中系数由公式 1 17 和 1 18 给出 2020 5 21 11 是 0 L 上的正交函数列 是 0 L 上的正交函数列 2020 5 21 12 分离变量法的解题步骤 第一步 第二步 第三步 令 适合方程和边界条件 从而定出 所适合的常微分方程齐次边值问题 以及 适合的常微分方程 本征值问题 求解该常微分方程齐次边值问题 求出全部
5、本征值和本征函数 并求出相应的的表达式 将所有变量分离形式的特解叠加起来 并利用初始条件定出所有待定系数 2020 5 21 13 物理意义 其中 对任意时刻 这说明 任一时刻弦的形状都是正弦波 其振幅 随不同的时间 而不同 2020 5 21 14 对任意一点 这表示在任意一点 处都作简谐振动 节点 固有频率 2020 5 21 15 例 令 是齐次方程和齐次边界条件的非零解 则有 2020 5 21 16 故有 其中 2020 5 21 17 2020 5 21 18 2 有界弦的强迫振动 2 1 2 2 2 3 2 4 方法一 方法二 齐次化原理 分离变量法 2020 5 21 19 齐
6、次化原理 若 混合问题 的解 则 2 6 2 5 就是混合问题 2 1 2 4 的解 2020 5 21 20 令 混合问题 2 5 就化为 2 7 由于方程和边界条件都是齐次的 由此根据上一小节的结论即得 其中 2 8 2 9 2020 5 21 21 根据齐次化原理 2 10 其中 2020 5 21 22 分离变量法 令 是混合问题的解 显见上述函数满足 2 2 2 11 2 1 2 3 2 4 2 12 2 13 2 14 2020 5 21 23 2 12 2 13 2 14 2020 5 21 24 非齐次边界条件的定解问题 我们注意到齐次的边界条件是分离变量法所必需的 为此作函数
7、变换 边界齐次化 2020 5 21 25 齐次边界条件的另一类定解问题 2020 5 21 26 3 有界细杆的热传导方程 2020 5 21 27 首先找到所有具有变量分离形式的满足齐次方程和齐次边界条件的非零特解 令 I 3 1齐次方程情形 代入方程和边界条件得到 即 以及 2020 5 21 28 II 本征值问题 本征值 本征函数 2020 5 21 29 III 特解的叠加 使得 其中 2020 5 21 30 3 2非齐次方程情形 方法一 方法二 齐次化原理 分离变量法 2020 5 21 31 4 矩形薄板的热传导方程 利用分离变量法 4 1 4 2 4 3 2020 5 21
8、 32 4 6 4 5 4 4 再设 4 7 4 8 4 9 2020 5 21 33 由边界条件 2020 5 21 34 从而有 且 代入 4 4 可得 2020 5 21 35 于是 特解的叠加 2020 5 21 36 系数的确定 二重Fourier级数展开式 若 则 2020 5 21 37 5 椭圆方程 以前的定解问题所在的区域都是区间或矩形域 均采用直角坐标系 但如果定解区域为圆形 圆柱形或者球形是 采用直角坐标系难以适用 而采用极坐标系 柱坐标系或者球面坐标系 5 1 2020 5 21 38 作自变量变换 2020 5 21 39 演算过程 2020 5 21 40 2020
9、 5 21 41 原定解问题转化为 5 2 下面采用分离变量法来求解 为此 令 代入 即得 分离变量 5 3 2020 5 21 42 5 4 5 5 5 6 5 7 周期性条件 自然边界条件 2020 5 21 43 现在求解本征值问题 5 4 5 5 其通解为 这不是周期函数 其通解为 这不是周期函数 是周期函数 其通解为 为了满足 5 5 必须 2020 5 21 44 本征值为 本征函数为 代入 5 6 欧拉方程 2020 5 21 45 特解叠加 系数确定 正交列 2020 5 21 46 2020 5 21 47 的解为 圆的Poisson积分 2020 5 21 48 6 柱域上
10、的分离变量法和Bessel函数 柱坐标系 2020 5 21 49 令 改记 Bessel方程 2020 5 21 50 7 球域中的分离变量法 Legendre多项式 球坐标系 2020 5 21 51 在第二式中令 改记 伴随Legendre方程 当 Legendre方程 2020 5 21 52 8 本征值理论 利用分离变量法求解定解问题必然导致本征值问题 即在一定的齐次边界条件下 求一个含参数的齐次常微分方程的非零解的问题 另外 在分离变量的过程中 主要涉及关于本征值和本征函数如下的问题 本征值是否存在 本征函数系是否构成完备的正交系 满足一定条件的函数是否能按这个函数系展开 2020 5 21 53 作业 P121Ex1 2 Ex2Ex6Ex11Ex12 1
