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1、1 数值分析复习 2 考试时带计算器 上机题请在11月30日晚9 30之前交 交打印稿 答疑时间 11月28 29 30 即星期3 4 5 晚上7 30 9 30 上机作业也在答疑时间交 答疑地点 中教816 3 第一章误差 绝对 相对 误差 限 有效数字 4 有效数字 x 精确值 x 近似值 其科学记数法为 若 则称近似值x 具有n位有效数字 5 第二章解线性方程组的直接方法 列主元素法 LU分解法 Doolittle分解法 追赶法 平方根法与改进的平方根法 条件数 求 6 对i 2 3 n 7 直接三角分解法或Doolittle分解法 8 A 对称正定阵 Cholesky分解 设li L的
2、第i个行向量 则 对i 2 3 n 9 先求Ly b 再求LTx y 平方根法或Cholesky分解法 10 第三章解线性方程组的迭代解法 Jacobi迭代法 Gauss Seidel迭代法 迭代法收敛的条件 充要条件 充分条件 求 11 Jacobi迭代法 k 1 12 Gauss Seidel迭代法 13 迭代法收敛的充分必要条件 任意 收敛 迭代法收敛的充分条件 若A为严格对角占优或不可约对角占优 则求解Ax b的Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法均收敛 若A为对称正定阵 则求解Ax b的Gauss Seidel迭代法收敛 14 第四章特征值与特征向量的计算 幂法和反幂法
3、 15 设A为n阶实矩阵 其特征值为 1 2 n 相应的特征向量为u1 u2 un 且满足条件 u1 u2 un线性无关 幂法 幂法 求 1及其相应的特征向量 此时 1一定是实数 1通常称为主特征值 16 幂法的计算公式 任取初始向量x 0 y 0 0 对k 1 2 构造向量序列 x k y k 当k充分大时 17 反幂法用于计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量 也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量 是目前求特征向量最有效的方法 反幂法 18 反幂法迭代公式为 任取初始向量x 0 y 0 0 构造向量序列 迭代向量x k 1 可以通过解方程组求得 当k充分大时 19 第五章插值法 L
4、agrange插值 Newton插值 Hermite插值 20 问题 求Ln x 21 Lagrange插值 其中li x 为插值基函数 1 n次多项式 截断误差 2 22 差商 一阶差商 二阶差商 k阶差商 23 Newton插值公式 一般通过差商表进行计算 截断误差同Lagrange插值公式 24 Hermite插值多项式 求H x 1 至多 2n 1 次多项式 2 25 2n 1 次多项式 其中li x 是Lagrange插值基函数 26 2n 1 次多项式 其中li x 是Lagrange插值基函数 27 截断误差 Hermite插值的一般形式 见课本122页 28 第六章函数逼近 最
5、小二乘一次 二次 多项式拟合 函数的最佳平方逼近 29 问题 给定n个数据点 xi yi i 1 2 n 求 或y a0 a1x 使得 达到最小 最小二乘一次 二次 多项式拟合 30 令 利用多元函数取极值的必要条件得到正则方程组 由上式求得a0 a1 a2 得到最小二乘拟合二次多项式 31 最小平方线性多项式逼近 3函数的最佳平方逼近 设f x 是区间 a b 上的连续函数 求线性多项式函数 x a0 a1x使得 x 称为函数f x 在区间 a b 上的一次最佳平方逼近多项式 即求a0 a1使得 32 二次最佳平方逼近多项式 设f x 是区间 a b 上的连续函数 求二次多项式函数 x a0
6、 a1x a2x2使得 x 称为函数f x 在区间 a b 上的二次最佳平方逼近多项式 33 第七章数值微分与数值积分 复化梯形公式 复化Simpson公式 Romberg算法 Gauss型求积公式 代数精确度截断误差 34 代数精确度 设有求积公式 若它对f x 1 x x2 xm都能精确成立 即上式等号成立 但对f x xm 1上式等号不成立 则称该求积公式具有m次代数精确度 35 复化梯形公式 其中 截断误差 36 复化Simpson公式 区间 a b n等分 n 2m 其中 截断误差 37 梯形值序列 递推算法 所有新增加节点的函数值之和 其中 38 Romberg算法 39 Gaus
7、s型求积公式 Ak 求积系数 xk 求积节点 如果该求积公式具有 2n 1 阶代数精确度 则称其为Gauss型求积公式 设有求积公式 40 区间 1 1 上的Guass型求积公式 其中求积节点 xk 为n阶Legendre多项式的零点 Ak xk的值可查表得到 一般 a b 上的Gauss型求积公式可用换元法转化成 1 1 上的Gauss型求积公式 41 第八章非线性方程解法 二分法 对分区间法 求f x 0的根 简单迭代法 收敛的充分条件 牛顿法 42 设 a b 是f x 0的有根区间 用二分法迭代 给定精度 迭代次数k满足下式 能保证满足精度 二分法 对分区间法 43 简单迭代法 构造递
8、推公式 适当选取 以逐次逼近f x 0的根 如何构造收敛的迭代法 44 定理 考虑方程x g x g x C a b 若 I 当x a b 时 g x a b II 0 L 1使得 g x L对 x a b 成立 则任取x0 a b 由xk 1 g xk 得到的序列收敛于g x 在 a b 上的唯一不动点 并且有误差估计式 45 牛顿法 原理 将非线性方程线性化 Taylor展开 46 第九章常微分方程数值解法 构造常微分方程离散格式的三种方法 单步法常见格式 多步法常见格式 重要概念 局部截断误差 47 用差商近似导数 数值积分方法 Taylor多项式近似方法 构造常微分方程离散格式的三种方
9、法 48 Euler法 改进Euler法 经典四阶RK方法 单步法常见格式 49 多步法常见格式 Simpson公式 Adams显隐公式 Adams预测 校正公式 50 局部截断误差 整体截断误差 Taylor展开方法 几个重要概念 数值方法的阶数 51 数值分析总复习例题 52 分析 对称 其中li为矩阵L的第i个行向量 一 用平方根法求线性方程组AX b 其中 53 解 一 用平方根法求线性方程组AX b 其中 54 一 用平方根法求线性方程组AX b 其中 解 55 解 先解Ly b 再解LTx y 一 用平方根法求线性方程组AX b 其中 56 二 设有方程组 写出Jacobi迭代 G
10、auss Seidel迭代的计算公式 两种迭代法是否收敛 为什么 Jacobi迭代法不收敛 Gauss Seidel迭代法 57 三 按下表求f x 的四次Hermite插值多项式H x 并写出截断误差R x f x H x 的表达式 0 1 2 1 2 1 0 1 58 四 1 求形如 的求积公式 使其至少具有两次代数精确度 该公式是否具有三次代数精确度 解 1 由已知 当f x 分别为1 x x2时 求积公式等号成立 即 故该公式具有3次代数精确度 59 四 2 选用合适的数值积分方法计算的近似值 要求计算结果具有3位有效数字 解 设f x cos x2 xk k 8 k 0 1 8 fk
11、 f xk 则 f0 1f1 0 999877932f2 0 998047511f3 0 990128588f4 0 968912422f5 0 924671261f6 0 845924499f7 0 720949381f8 0 540302306 梯形值序列T1 0 770151152T2 0 869531786T4 0 895758895T8 0 902332842 Simpson值序列S2 0 902658664S4 0 904501264S8 0 904524157 梯形值序列的逐次分半算法 故 60 五 设 1 用迭代公式求方程f x 0在x0 2 0附近的一个根 试问此迭代法是否收
12、敛 2 用合适的方法求f x 0在x0 2 0附近的根 要求计算结果具有4位有效数字 解 1 迭代函数为 验证g x 在区间 1 7 2 0 上满足压缩映像定理 故该迭代法收敛 2 可用Newton迭代法求根 取x0 2 0 写出迭代公式后计算三次得x1 1 857142857 x2 1 839544514 x3 1 839286811 故x3即为所求方程近似根 61 六 确定求解初值问题 的二步隐式Adams方法 中的参数 使该方法成为三阶方法 并写出其局部截断误差主项 可用数值积分方法或Taylor展开方法 62 七 据资料记载 某地某年间间隔30天的日出日落时间如下 5月1日 5月31日
13、 6月30日 4 51 4 17 4 16 19 38 19 50 日出 日落 19 04 日出日落时间表 请问 这一年中哪一天白天最 长 解用Newton插值公式较为方便 答案为 这一年中以6月22日的白天最 长 63 练习 1 第126页 求解线性方程组Ax b 其中A如右图所示 试构造一个与求解三对角方程组的追赶法类似的直接方法 其中 64 2 确定如下求积公式中的求积系数 使其具有尽可能高的代数精确度 提示 用三次Hermite插值多项式来近似函数f x 65 3 若干年以前 美国原子能委员会准备将浓缩的放射性废料装入密封的圆桶内沉至海底 但是 当时一些科学家与生态学家都反对这种作法
14、科学家用实验测定出圆桶能够承受的最大撞击速度为v 12 2m s 如果圆桶到达海底时的速度超过这个速度 将会因撞击海底而破裂 从而引起严重的核污染 然而原子能委员会却认为不存在这种可能性 根据圆桶的质量 体积以及海水的密度与海底的深度 通过建立数学模型得知圆桶到达海底时的速度v m s 满足如下方程 那么圆桶到达海底时的速度究竟会不会超过12 2m s呢 试选用合适的方法求此速度 要求计算结果具有5位有效数字 66 4 1601年德国天文学家开普勒根据已有的行星观测数据得出了天文学上著名的开普勒第三定律 其中T为行星绕太阳运行的周期 单位天 a为行星椭圆轨道的长半轴长 单位百万公里 C与g均是常数 试根据以下数据 用最小二乘法确定上式中的常数C与g 67 5 伞兵下降的速度满足如下公式 其中 g是重力加速度 10米 秒2 m是伞兵的质量 c是拽拉系数 14千克 秒 经实际测量在下落7秒时速度为35米 秒 试计算出伞兵的质量 误差不大于0 5千克 68 完毕
