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1、第一章统计案例 1 1回归分析的基本思想及其初步应用 a 比 数学3 中 回归 增加的内容 数学 统计画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程y bx a用回归直线方程解决应用问题 选修 统计案例引入线性回归模型y bx a e了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解分析方法与结果 问题1 正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是 问题2 某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 有一个确定性的关系 例如 在7块并排 形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验 得到如下所示的一组数据 复
2、习 变量之间的两种关系 自变量取值一定时 因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 1 定义 1 相关关系是一种不确定性关系 注 2 现实生活中存在着大量的相关关系 如 人的身高与年龄 产品的成本与生产数量 商品的销售额与广告费 家庭的支出与收入 等等 探索 水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律 1020304050 500450400350300 发现 图中各点 大致分布在某条直线附近 探索2 在这些点附近可画直线不止一条 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢 施化肥量 水稻产量 散点图 函数模型与回归模型之间的差别 函数模型 回归模型 可以提供选择模型的准则 根据最小二乘法
3、估计和就是未知参数a和b的最好估计 所以回归方程是 所以 对于身高为172cm的女大学生 由回归方程可以预报其体重为 探究P4 身高为172cm的女大学生的体重一定是60 316kg吗 如果不是 你能解析一下原因吗 探究P4 身高为172cm的女大学生的体重一定是60 316kg吗 如果不是 你能解析一下原因吗 答 身高为172cm的女大学生的体重不一定是60 316kg 但一般可以认为她的体重在60 316kg左右 60 136kg不是每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值 而是所有身高为172cm的女大学生平均体重的预测值 函数模型与回归模型之间的差别 函数模型 回归模型 线性回归模
4、型y bx a e增加了随机误差项e 因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定 即自变量x只能解析部分y的变化 在统计中 我们也把自变量x称为解析变量 因变量y称为预报变量 1 用相关系数r来衡量 2 公式 求出线性相关方程后 说明身高x每增加一个单位 体重y就增加0 849个单位 这表明体重与身高具有正的线性相关关系 如何描述它们之间线性相关关系的强弱呢 当时 x与y为完全线性相关 它们之间存在确定的函数关系 当时 表示x与y存在着一定的线性相关 r的绝对值越大 越接近于1 表示x与y直线相关程度越高 反之越低 3 性质 相关关系的测度 相关系数取值及其意义 r 对回归模型进行统计检验
5、思考P6 如何刻画预报变量 体重 的变化 这个变化在多大程度上与解析变量 身高 有关 在多大程度上与随机误差有关 假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响 那么所有人的体重将相同 在体重不受任何变量影响的假设下 设8名女大学生的体重都是她们的平均值 即8个人的体重都为54 5kg 在散点图中 所有的点应该落在同一条水平直线上 但是观测到的数据并非如此 这就意味着预报变量 体重 的值受解析变量 身高 和随机误差的影响 例如 编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上 她的体重为61kg 解析变量 身高 和随机误差共同把这名学生的体重从54 5kg 推 到了61kg 相差6 5kg 所以6
6、 5kg是解析变量和随机误差的组合效应 编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上 她的体重为50kg 解析变量 身高 和随机误差共同把这名学生的体重从50kg 推 到了54 5kg 相差 4 5kg 这时解析变量和随机误差的组合效应为 4 5kg 用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应 在例1中 总偏差平方和为354 那么 在这个总的效应 总偏差平方和 中 有多少来自于解析变量 身高 有多少来自于随机误差 假设随机误差对体重没有影响 也就是说 体重仅受身高的影响 那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上 但是 在图中 数据点并没有完全落在回归直线上 这些点散布在回归直线附近 所以一定是
7、随机误差把这些点从回归直线上 推 开了 在例1中 残差平方和约为128 361 例如 编号为6的女大学生 计算随机误差的效应 残差 为 解析变量和随机误差的总效应 总偏差平方和 解析变量的效应 回归平方和 随机误差的效应 残差平方和 显然 R2的值越大 说明残差平方和越小 也就是说模型拟合效果越好 在线性回归模型中 R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率 R2越接近1 表示回归的效果越好 因为R2越接近1 表示解析变量和预报变量的线性相关性越强 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析 则可以通过比较R2的值来做出选择 即选取R2较大的模型作为这组数据的模型 总的来说 相关指数R2是度
8、量模型拟合效果的一种指标 在线性模型中 它代表自变量刻画预报变量的能力 表1 3 从表3 1中可以看出 解析变量对总效应约贡献了64 即R2 0 64 可以叙述为 身高解析了64 的体重变化 而随机误差贡献了剩余的36 所以 身高对体重的效应比随机误差的效应大得多 在研究两个变量间的关系时 首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关 是否可以用回归模型来拟合数据 残差分析与残差图的定义 然后 我们可以通过残差来判断模型拟合的效果 判断原始数据中是否存在可疑数据 这方面的分析工作称为残差分析 我们可以利用图形来分析残差特性 作图时纵坐标为残差 横坐标可以选为样本编号 或身高数据 或体重估计值等
9、这样作出的图形称为残差图 表1 4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据 使用公式计算残差 残差图的制作及作用 坐标纵轴为残差变量 横轴可以有不同的选择 若模型选择的正确 残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域 对于远离横轴的点 要特别注意 身高与体重残差图 几点说明 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大 需要确认在采集过程中是否有人为的错误 如果数据采集有错误 就予以纠正 然后再重新利用线性回归模型拟合数据 如果数据采集没有错误 则需要寻找其他的原因 另外 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中 说明选用的模型比较合适 这样的带状区域的宽度越窄 说明模型拟合精度越高 回归方
10、程的预报精度越高 一般地 建立回归模型的基本步骤为 1 确定研究对象 明确哪个变量是解析变量 哪个变量是预报变量 2 画出确定好的解析变量和预报变量的散点图 观察它们之间的关系 如是否存在线性关系等 3 由经验确定回归方程的类型 如我们观察到数据呈线性关系 则选用线性回归方程y bx a 4 按一定规则估计回归方程中的参数 如最小二乘法 5 得出结果后分析残差图是否有异常 个别数据对应残差过大 或残差呈现不随机的规律性 等等 过存在异常 则检查数据是否有误 或模型是否合适等 什么是回归分析 内容 从一组样本数据出发 确定变量之间的数学关系式对这些关系式的可信程度进行各种统计检验 并从影响某一特
11、定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著 哪些不显著利用所求的关系式 根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值 并给出这种预测或控制的精确程度 回归分析与相关分析的区别 相关分析中 变量x变量y处于平等的地位 回归分析中 变量y称为因变量 处在被解释的地位 x称为自变量 用于预测因变量的变化相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量 回归分析中 因变量y是随机变量 自变量x可以是随机变量 也可以是非随机的确定变量相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度 回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小 还可以由回归方程进行预测和控制 练 某种产品的广告费支出x与销售额y之间有
12、如表所示数据 1 求x y之间的相关系数 2 求线性回归方程 离差平方和的分解 三个平方和的意义 总偏差平方和 SST 反映因变量的n个观察值与其均值的总离差回归平方和 SSR 反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响 或者说 是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化 也称为可解释的平方和残差平方和 SSE 反映除x以外的其他因素对y取值的影响 也称为不可解释的平方和或剩余平方和 样本决定系数 判定系数r2 回归平方和占总离差平方和的比例 反映回归直线的拟合程度取值范围在 0 1 之间r2 1 说明回归方程拟合的越好 r2 0 说明回归方程拟合的越差判定系数等于相关系数的平方 即r2 r
13、 2 2 现实生活中存在着大量的相关关系 如 人的身高与年龄 产品的成本与生产数量 商品的销售额与广告费 家庭的支出与收入 等等 探索 水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律 1020304050 500450400350300 发现 图中各点 大致分布在某条直线附近 探索2 在这些点附近可画直线不止一条 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢 施化肥量 水稻产量 散点图 什么是回归分析 回归 一词是由英国生物学家F Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的 根据遗传学的观点 子辈的身高受父辈影响 以X记父辈身高 Y记子辈身高 虽然子辈身高一般受父辈影响 但同样身高的父亲 其子身高并不一致
14、因此 X和Y之间存在一种相关关系 一般而言 父辈身高者 其子辈身高也高 依此推论 祖祖辈辈遗传下来 身高必然向两极分化 而事实上并非如此 显然有一种力量将身高拉向中心 即子辈的身高有向中心回归的特点 回归 一词即源于此 虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论 并不具有普遍性 但从它所描述的关于X为自变量 Y为不确定的因变量这种变量间的关系看 和我们现在的回归含义是相同的 不过 现代回归分析虽然沿用了 回归 一词 但内容已有很大变化 它是一种应用于许多领域的广泛的分析研究方法 在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用 作业 某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所示数据 1 求x y之间的相关系数 2 求线性回归方程 3 求总偏差平方和及残差平方和 4 求R2 说明模型的拟合效果 残差变量对销售额的影响百分比 看看课本第6页表1 3
