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1、1 第六章能控性能观性与极点配置设计 引言基于状态空间描述的多变量系统传递函数模型与状态空间模型的区别经典控制理论与现代控制理论的关系能控性和能观性概念 反映系统外部特性 反映内部状态信息 2 问题 已知某系统状态空间模型为 试求 该系统的传递函数 分析 哪些状态变量与输入信号有关 哪些无关 哪些状态变量与输出信号有关 哪些无关 传递函数与哪些系统特征值有关 与哪些特征值无关 发现什么规律 3 解 因 而 根据对角矩阵的逆矩阵性质 有 4 所以传递函数为 5 分析结果 与系统输入信号有关联的状态变量是x2 x4 与系统输出信号有关联的状态变量是x2 x3 传递函数仅与系统的特征值有关 状态空间
2、模型表现系统为4阶系统 而传递函数则表现系统仅为1阶系统 规律 传递函数仅能反映出系统既能与输入信号有关又能与输出信号有关的那部分特性 不能反映出系统的全部特性 能控性与能观性的概念 6 第六章能控性能观性与极点配置设计 设以定义在时间区间 t0 t1 上连续函数fij t 为元素的矩阵 时间函数向量无关性时间函数向量线性无关性定义 7 对于n个列向量fj t j 1 2 n 其线性相关是指存在某些不全含为零的实常数 j j 1 2 n 使下式对区间 t0 t1 中所有t均成立 如果只有 j j 1 2 n全为零时 上式才成立 则称fj t j 1 2 n为线性无关 注意 时间函数行向量线性无
3、关的定义 在前述列向量线性无关基础上稍加改动即可上述定义中 令m 1 即为过去所学的时间函数 标量 线性无关定义 8 时间函数向量线性无关性条件格兰姆矩阵及其行列式 设f1 t f2 t fn t 为m维列向量 则矩阵 称为f1 t fn t 的格兰姆矩阵 式中 内积 n n维实数阵 9 格兰姆矩阵还可表示为 格兰姆行列式则为 10 时间函数向量线性无关的充要条件 F t 的列向量f1 t f2 t fn t 线性无关的充要条件是 F t 的格兰姆矩阵非奇异 即detG0 11 第六章能控性能观性与极点配置设计 系统能控性定义若存在一个无约束的容许控制向量u t 能在有限的时间间隔内 t0 t
4、1 将系统某一状态xi t 初始状态xi t0 转移到任意终态xi t1 则称该状态xi t 是能控的 若系统所有状态 即状态向量的所有分量 都能控 则称该系统是完全能控的 12 3阶系统状态能控性概念示意图 13 第六章能控性能观性与极点配置设计 一般能控性判据能控性格兰姆矩阵非奇异对区间 0 的时间t行线性无关能控性矩阵满秩对A的每一个特征值的秩均为n 内积 14 第六章能控性能观性与极点配置设计 化A为约当标准型的能控性判据当系统矩阵A为对角型时 如果输入矩阵B没有全为零的行 则系统完全可控 若出现全为零的行 则该行对应特征值不能控 当系统矩阵A为约当标准型且每一个重特征值只对应一个约当
5、块时 如果各约当块最后一行所对应的输入矩阵B的相应行不全为零时 则系统完全可控 非奇异线性变换不改变系统能控性 15 第六章能控性能观性与极点配置设计 系统能观性及对偶原理定义设连续时间线性定常系统的状态空间模型为如果在有限的时间区间 t0 t1 内 根据量测的输出向量y t 和输入向量u t 能够唯一地确定系统在t0时刻的状态xi t0 则称xi t 在 t0 t1 上是能观的 若系统所有状态x t 都在 t0 t1 上能观 则称系统是完全能观的 16 第六章能控性能观性与极点配置设计 能观性判据一般能观性判据能观性矩阵格兰姆矩阵非奇异对区间 0 上的时间t列线性无关能观性矩阵满秩 内积 1
6、7 第六章能控性能观性与极点配置设计 对于A的每一特征值满秩 18 第六章能控性能观性与极点配置设计 化A为约当标准型的能观性判据当A具有互异的特征值 因而是对角阵时 则系统完全能观的充要条件是矩阵C没有全为零的列 若A具有重特征值 且A中每一个重特征值只对应一个约当块时 则系统完全能观的充要条件是 各约当块第一列所对应的C阵相应列不全为零 若A中某一特征值对应于n个约当块时 系统完全能观的充要条件是 各约当块第一列所对应的C阵相应列均不全为零且相同特征值的各约当块第一列所对应的C阵各相应列线性无关对单输出系统 只要同一特征值对应两个或两个以上约当块时 系统必不完全能观 非奇异线性变换不改变系
7、统能观性 19 第六章能控性能观性与极点配置设计 状态能控性与能观性只是系统状态空间模型的一种内在属性 而不是系统本身的内在属性 若系统不同状态变量的选取之间是非奇异线性变换的话 则能控性与能观性不变 20 第六章能控性能观性与极点配置设计 对偶性原理对偶系统对偶关系是相互的互为对偶的系统 其状态转移矩阵互为转置对偶系统的传递函数矩阵互为转置对偶性原理互为对偶的两系统S1和S2 S1的能控性等价于S2系统的能观性 系统S1的能观性等价于系统S2的能控性 21 第六章能控性能观性与极点配置设计 有关能控能观性的进一步讨论标准形特征值标准形对角阵标准阵约当标准形 22 第六章能控性能观性与极点配置
8、设计 表征系统状态的标准型能控和能观标准形能控标准形 单变量系统 能控标准型不仅能表示系统状态可控 而且和系统特征方程式的系数ai相关联 因而在分析与综合中应用较多 23 能控标准形 单变量系统 设一个状态能控的单输入单输出线性定长系统 由于系统能控 故 又设系统的特征方程式为 24 则可构造变换阵 25 第六章能控性能观性与极点配置设计 能观标准形 而其变换阵的逆 26 第六章能控性能观性与极点配置设计 系统的规范分解 一个不完全能控不完全能观系统 可将其状态空间划分为四部分 能控能观子空间能控不能观子空间能观不能控子空间不能控不能观子空间 27 按能控性典范分解 第六章能控性能观性与极点配
9、置设计 28 能控性分解结构图 第六章能控性能观性与极点配置设计 29 第六章能控性能观性与极点配置设计 按能观性分解 30 能观性分解结构图 第六章能控性能观性与极点配置设计 31 第六章能控性能观性与极点配置设计 能控能观性与传递函数关系系统能控且能观的充要条件是其传递函数不存在可对消的零极点最小实现问题状态空间模型的维数等于既约传递函数分母的阶次BIBO稳定性与能控能观性关系另一种稳定性定义 它不仅与系统矩阵A的特征值有关 还与系统的能控能观性有关 32 第六章能控能观性与极点配置设计 BIBO稳定性概念 如果在有界输入作用下 系统输出有界 该稳定性定义不仅与系统矩阵A的特征值有关 还与
10、系统的能控能观性有关 充要条件 系统传递函数的全部极点均在s平面的左半平面 系统能控能观性与BIBO稳定性的关系 充要条件 A矩阵的特征值实部不为负的特征值均为不能控振型或不能观振型 其余特征值的实部均为负数 若系统完全能控能观 则BIBO稳定与平衡状态渐进稳定是等价的 33 第六章能控性能观性与极点配置设计 状态反馈的极点配置设计法输出反馈与状态反馈 状态反馈有可能获得比输出反馈更好的控制效果 甚至可以做到闭环极点的任意配置 闭环极点只能沿根轨迹变动 极点可以任意变动 34 控制系统状态空间模型 输出反馈 状态反馈 凡是输出反馈L所能达到的控制效果 只要取状态反馈矩阵F LC则可达到同样控制
11、效果 但由F和C则从F LC中并不一定能解出矩阵L来 35 第六章能控性能观性与极点配置设计 状态反馈与极点配置 一组零 极点的分布对应一个系统的响应 而希望的极点组的选取是一个确定综合目标问题 一般讲是一个复杂的问题 是工程与理论相结合的问题 一般方法的设计待定系数法 36 第六章能控性能观性与极点配置设计 一般方法的设计步骤 判断受控系统是否能控由给定的动态指标或闭环极点要求确定希望的闭环特征多项式的n个系数确定原受控系统的特征多项式系数确定系统状态反馈矩阵的诸元素 37 第六章能控性能观性与极点配置设计 确定原受控系统化为能控标准形的变换阵的逆确定受控系统完成闭环极点配置任务的状态反馈阵
12、 38 第六章能控性能观性与极点配置设计 待定系数法设计步骤将状态反馈矩阵代入求出的特征多项式根据性能指标要求所决定的一组特征值计算出 39 第六章能控性能观性与极点配置设计 令的特征多项式与中对应幂次项的系数相等 得n个方程求解联立n个方程 得到状态反馈矩阵F 40 第六章能控性能观性与极点配置设计 镇定问题如果采用某种方法能将系统不稳定的特征值改变为稳定的特征值 则称系统是可镇定的如果系统不可控部分中包含有不稳定特征值 则无法用状态反馈方式将其改变为稳定特征值系统无法镇定 系统可用状态反馈来镇定的充要条件 其不可控特征值 振型 是稳定的 41 第六章能控性能观性与极点配置设计 调节器问题
13、非零给定值与常值干扰问题当给定值v 0时 即为调节器问题在干扰作用下系统状态或输出偏离零平衡状态后 利用状态反馈 使系统特征值所决定的调整时间恢复到零平衡状态的能力问题在上述要求之外 还要求通过改变r值使稳态值 输出 为一给定值 则为非零给定值问题如果系统受到未知常值干扰 如何使受到干扰的系统恢复到零平衡状态 或使输出达到非零给定值 则为常值干扰问题 42 第六章能控性能观性与极点配置设计 稳态时 引入积分反馈作用 即增加一个新的状态变量 满足 增广系统状态方程 43 第六章能控性能观性与极点配置设计 若引入增广状态反馈向量 增广系统闭环状态方程变为 选择状态反馈向量 使闭环系统稳定 则稳态时
14、有 44 第六章能控性能观性与极点配置设计 状态观测器设计及分离原理状态观测器设计 渐进等价指标 观测误差 45 第六章能控性能观性与极点配置设计 全维状态观测器结构图 问题 观测误差衰减快慢完全取决于矩阵A的特征值如A是非渐进稳定的 则不能实现状态重构 46 第六章能控性能观性与极点配置设计 修正前述方案 重构状态部分的状态方程为 故 47 第六章能控性能观性与极点配置设计 由于观测误差的衰减速度由A HC的特征值决定 故可选择H阵 以调整A HC矩阵的特征值大小 以达到合适的衰减速度 基本观测器进行极点任意配置的条件 完全可观测系统的基本观测器的极点配置的设计方法 可完全仿照完全可控系统用
15、状态反馈进行极点配置的方法进行 充要条件是原系统完全可观测的 48 第六章能控性能观性与极点配置设计 直接状态反馈的闭环系统 带状态观测器的状态反馈的闭环系统 带状态观测器的状态反馈系统的阶次是直接状态反馈系统的两倍 49 第六章能控性能观性与极点配置设计 简化的结构图 50 第六章能控性能观性与极点配置设计 故状态方程 51 第六章能控性能观性与极点配置设计 由前图及状态方程可见 带状态观测器的状态反馈系统的2n个极点具有分离特性特征多项式det SI A BF 的n个根 与直接状态反馈系统的n个极点一致 观测器特征多项式det sI A HC 的n个根 按可控性分解的概念看 A BF 部分的极点形成由参考输入v完全可控的模态 另一部分 A HC 的极点就是观测器极点 它们形成由v不可控的模态 52 第六章能控性能观性与极点配置设计 系统闭环极点的分离性质是一个很好的特性 利用闭环极点的分离特性可以分别设计受控系统控制与观测问题 先按闭环动态要求 确定 A BF 的极点 从而设计出反馈矩阵F 再按重构状态的误差衰减速度要求 确定 A HC 的极点 从而设计出矩阵H 53 补充习题 54
